2024-2025学年山东省泰安市新泰一中老校区（新泰中学）高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年山东省泰安市新泰一中老校区高一下学期第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知点A0,1，B1,2，向量AC=2,3，则向量A.(1,2) B.(−1,−2) C.(3,6) D.(−3,−5)2.若e1,e2A.{e1−e2,e2−3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(A+B)=13，a=3，c=4，则sinA=A.23 B.14 C.344.已知M是边长为1的正▵ABC的边AC上靠近C的四等分点，N为AB的中点，则BM⋅MN的值是(

)A.−12 B.−14 C.5.在▵ABC中，已知b2+c2−bc=a2，且A.直角三角形 B.等腰直角三角形

C.有一个角为60∘的直角三角形 6.已知ΔABC中，AB=AC=10,BC=12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则MD⇀⋅MCA.−32 B.−74 C.7.已知单位向量a，b互相垂直，若存在实数t，使得a+(1−t)b与(1−t)a+b的夹角为60A.−1±22 B.−1±2 8.在锐角△ABC中，cosA=35，则ABAC的取值范围为A.(12,2) B.(25,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知三个非零向量a，b，c共面，则(

)A.若a=b，b=c，则a=c

B.若a⊥b，b⊥c，则a//c

C.10.下列说法中错误的是(

)A.单位向量都相等

B.对于任意向量a，b，必有a+b≤a+b

C.平行向量不一定是共线向量

D.若a，b满足a11.▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若acosA=bsinB，则A=B

B.A>B是sinA>sinB的充要条件

C.若a=1，b=2，A=30°，则解此三角形必有两解

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若点A、B的坐标分别为2,−2、B4,3，向量a=2k−1,7，且a//AB，则k13.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a与b的夹角是锐角，则实数x的取值范围是

．14.▵ABC外接圆圆心为O，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若b2−2b+c2=0，则四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知a=2，b=3，且(1)若a+kb⊥(2)求b与a+b16.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB+3bcos(B+C)=0，a=19．

(1)求A；

(2)若17.(本小题12分)如图所示，在▵ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC=3，点D在线段BC上，且(1)AD的长；(2)∠DAC的大小．18.(本小题12分)已知锐角△ABC中的三个内角分别为A，B，C．(1)设BC⋅CA=(2)设向量s=(2sinC,−3)，t=(cos19.(本小题12分)如图，A、C两岛相距107海里，上午9点整有一客轮在位于C岛的北偏西40°且距C岛10海里的D处，沿直线方向匀速开往A岛，在A岛停留10分钟后前往B市，上午9：30测得客轮位于C岛的北偏西70°且距C岛103海里的E处，此时小张从C岛乘坐速度为v海里/小时的小艇沿直线方向前往A(1)求客轮的速度；(2)若小张能乘上这班客轮，问小艇的速度至少为多少海里/小时？(由小艇换乘客轮的时间忽略不计)(3)现测得∠BAC=120∘，sin∠ACB=2114，已知速度为v海里/时v∈(0,30]的小艇每小时的总费用为12参考答案1.A

2.D

3.B

4.A

5.D

6.C

7.D

8.C

9.ABD

10.ACD

11.BD

12.191013.(−8,2)∪(2,+∞)

14.[−115.解：(1)由已知a+k则a+kb⋅a=(2)由已知|a且b⋅所以cos 

16.解：(1)asinB+3bcos(B+C)=0，可得sinAsinB−3sinBcosA=0，

∴sinA=3cosA，

∴tanA=3，

∵A∈(0,π)

∴A=π3;

(2)因为A=17.解：(1)设AB=a，则AD=∴|AD∴AD=(2)设∠DAC=θ，则向量AD与AC的夹角为θ．∵cos∴θ=90∘，即

18.解：(1)因为BC⋅CA=又AB+BC+所以−(AB所以AB2所以AB|2=故△ABC为等腰三角形．(2)∵s//t∴sin2C=−∵C为锐角，∴2C∈(0,π)，∴2C=2π3，∴A=2π3−B又sinA=23∴cosA=

19.解：(1)根据题意得：CD=10，CE=103，AC=10在▵CDE中，由余弦定理得，DE==所以客轮的航行速度V1=10×2=20(海里/(2)因为CD=DE，所以∠DEC=∠DCE=30所以∠AEC=180在△ACE中，由余弦定理得，AC整理得：AE2+30AE−400=0，解得AE=10或AE=−40(所以客轮从E处到岛A所用的时间t1小张若能赶上这班客轮，则满足107v所以，小艇的速度至少为157海里(3)