高中数学 第三章 函数的应用 3.2 函数模型及其应用 3.2.2 函数模型的应用实例教学设计 新人教A版必修1

高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例教学设计新人教A版必修1学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析高中数学第三章函数的应用，特别是3.2.2节函数模型的应用实例，紧密联系实际生活，旨在帮助学生理解和运用函数模型解决实际问题。本节课内容与学生所学函数概念、性质和图像密切相关，通过具体实例分析，强化学生将理论知识应用于实践的能力，符合新课标对培养学生创新思维和解决问题能力的培养目标。核心素养目标1.培养学生运用数学语言描述现实问题的能力。

2.提升学生分析问题和解决问题的逻辑思维能力。

3.强化学生将数学模型应用于实际情境的创新能力。

4.增进学生对数学与生活、科技、社会等领域的联系的认识。教学难点与重点1.教学重点

①理解并掌握不同类型函数模型的特点及其在生活中的应用。

②能够根据实际问题选择合适的函数模型，并能够运用所学知识对模型进行初步分析。

2.教学难点

①理解并灵活运用函数模型解决实际问题时，如何将实际问题转化为数学模型。

②分析函数模型时，如何准确识别和提取问题中的关键信息，构建数学关系。

③在处理复杂问题时，如何运用函数模型进行有效决策和预测，并解释其结果。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：系统讲解函数模型的基本概念和应用实例，帮助学生建立知识框架。

2.讨论法：引导学生针对实际问题进行小组讨论，培养合作学习和批判性思维能力。

3.案例分析法：通过分析具体案例，让学生学会如何运用函数模型解决实际问题。

教学手段：

1.多媒体教学：利用PPT展示函数图像和模型，直观展示函数变化规律。

2.实际数据应用：引入现实生活中的数据，让学生通过计算和模型分析，体验数学的实用性。

3.在线教学平台：利用在线资源，提供课后练习和讨论空间，巩固学习效果。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。例如，要求学生预习函数模型的基本类型和例子。

设计预习问题：围绕“函数模型的应用”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。如：“你能从生活中找到哪些可以用函数模型描述的现象？”

监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。例如，通过查看学生提交的预习笔记或思维导图来评估预习情况。

学生活动：

自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解函数模型的基本类型和例子。

思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。例如，学生可能思考如何将身高与年龄的关系用函数模型表示。

提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示实际生活中的函数模型案例（如天气预报中的温度变化），引出“函数模型的应用”课题，激发学生的学习兴趣。

讲解知识点：详细讲解函数模型的选择、构建和分析方法，结合实例帮助学生理解。例如，讲解线性函数模型在描述直线关系中的应用。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生根据预习内容，分析并解决实际问题。如：“小组合作，选择一个生活中的场景，构建并分析一个函数模型。”

解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。例如，解答学生在构建函数模型时遇到的数学问题。

学生活动：

听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

参与课堂活动：积极参与小组讨论，体验函数模型在解决问题中的应用。

提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置与函数模型应用相关的课后作业，如：“分析一家超市的销售数据，构建销售量与价格的关系模型。”

提供拓展资源：提供与函数模型应用相关的拓展资源，如相关书籍、在线课程或学术论文。

反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导，例如，指出学生在模型构建和分析中的错误，并给出改进建议。

学生活动：

完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考，例如，研究更复杂的函数模型，如指数函数或对数函数在现实生活中的应用。

反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议，例如，思考如何将所学的函数模型应用到其他学科中。教学资源拓展1.拓展资源：

a.函数模型的历史背景与演变：介绍函数模型的发展历程，从简单的线性模型到复杂的非线性模型，以及它们在不同学科中的应用。

b.不同类型的函数模型：详细探讨一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数模型的特点、图像和性质。

c.函数模型的实际应用案例：收集并整理各类实际应用案例，如经济学中的供需模型、物理学中的运动学模型、生物学中的种群增长模型等。

d.函数模型的软件工具：介绍MATLAB、Python、R等软件在函数模型构建、分析和可视化方面的应用。

2.拓展建议：

a.阅读相关书籍和文献：推荐学生阅读《数学建模与数学实验》、《高等数学》等书籍，深入了解函数模型的理论和应用。

b.参加数学建模竞赛：鼓励学生参加数学建模竞赛，通过实际案例分析，提高运用函数模型解决实际问题的能力。

c.开展小组研究项目：组织学生开展小组研究项目，选择一个感兴趣的实际问题，运用函数模型进行分析和预测。

d.利用在线资源进行学习：推荐学生访问一些在线教育平台，如Coursera、edX等，学习相关课程，拓宽知识面。

e.关注现实生活中的函数模型：引导学生关注日常生活中的函数模型，如房价与地段、交通流量与时间等，培养他们的数学思维。

f.制作函数模型演示文稿：要求学生制作函数模型演示文稿，展示其构建和分析过程，提高学生的表达能力和沟通能力。

g.开展课堂讨论与分享：组织学生进行课堂讨论与分享，交流各自在学习函数模型过程中的心得体会，激发学生的学习兴趣。

h.探索函数模型与其他学科的交叉应用：引导学生探索函数模型在物理学、化学、生物学等学科中的应用，培养他们的跨学科思维。

i.参观相关企业或实验室：组织学生参观相关企业或实验室，了解函数模型在实际工程中的应用，增强他们的实践能力。

j.撰写论文或报告：鼓励学生撰写论文或报告，总结自己在函数模型学习过程中的收获和体会，提高他们的学术水平。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.互动式教学：在课堂上，我尝试了更多的互动环节，比如小组讨论、角色扮演等，让学生在参与中学习，这样的教学方式不仅提高了学生的积极性，也让他们在合作中学会了如何沟通和解决问题。

2.案例教学：我引入了多个实际案例，让学生通过分析案例来理解函数模型的应用，这种方法让学生感受到了数学的实用性，也激发了他们的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生基础差异较大：在教学过程中，我发现学生的数学基础存在较大差异，这导致部分学生在理解函数模型时感到困难。

2.教学方式单一：虽然我尝试了多种教学方法，但在实际操作中，我发现教学方式还是相对单一，缺乏针对不同学生的个性化教学。

3.评价方式不够全面：目前的评价方式主要依赖于课堂表现和作业完成情况，缺乏对学生实际应用能力的评估。

反思改进措施（三）

1.个性化教学：针对学生基础差异，我将尝试分层教学，为不同层次的学生提供适合他们的学习材料和指导，确保每个学生都能跟上教学进度。

2.丰富教学手段：除了传统的讲授法，我还将引入更多互动式和探究式的教学方法，如项目式学习、翻转课堂等，以激发学生的学习兴趣和主动性。

3.完善评价体系：我将设计更加全面的评价体系，包括课堂表现、作业完成、小组合作、实际应用等多个方面，以更全面地评估学生的学习成果。

4.加强与学生的沟通：我将定期与学生交流，了解他们的学习需求和困难，及时调整教学策略，确保教学效果。

5.拓展校企合作：寻求与企业合作，为学生提供实习和实训机会，让他们在实际工作中应用所学知识，提高解决实际问题的能力。典型例题讲解例题1：某商品的原价为200元，商家为了促销，决定每降价10元，销量增加20件。求商家降价x元时的利润函数，并求出最大利润及对应的降价金额。

解答：

设降价x元后的售价为p元，则售价为200-10x元。销量为20x件。利润为售价乘以销量减去成本，即：

利润=(200-10x)*20x-200*20

化简得：

利润=-200x^2+4000x-4000

这是一个二次函数，开口向下，其顶点即为最大利润点。顶点的x坐标为：

x=-b/(2a)=-4000/(2*-200)=10

将x=10代入利润函数得最大利润：

利润=-200*10^2+4000*10-4000=6000元

所以，最大利润为6000元，对应的降价金额为10元。

例题2：某工厂生产一批产品，固定成本为1000元，每生产一件产品需要可变成本5元。若产品售价为20元，求生产x件产品时的总利润函数，并求出最大利润及对应的生产数量。

解答：

总成本函数为固定成本加上可变成本，即：

总成本=1000+5x

总收入函数为售价乘以销售数量，即：

总收入=20x

总利润函数为总收入减去总成本，即：

总利润=20x-(1000+5x)=15x-1000

这是一个一次函数，斜率为正，因此总利润随着生产数量的增加而增加。最大利润发生在生产数量无限大时，但实际生产中不可能无限大，因此我们需要找到总利润增长速度减慢的点。由于总利润函数是线性的，最大利润发生在总成本等于总收入的点，即：

15x-1000=20x

解得：

x=100

将x=100代入总利润函数得最大利润：

总利润=15*100-1000=500元

所以，最大利润为500元，对应的生产数量为100件。

例题3：某公司生产一种产品，每生产一件产品需要原材料成本10元，加工成本5元，总成本为15元。若产品售价为20元，求生产x件产品时的总利润函数，并求出最大利润及对应的生产数量。

解答：

总成本函数为固定成本加上可变成本，即：

总成本=15x

总收入函数为售价乘以销售数量，即：

总收入=20x

总利润函数为总收入减去总成本，即：

总利润=20x-15x=5x

这是一个一次函数，斜率为正，因此总利润随着生产数量的增加而增加。最大利润发生在生产数量无限大时，但实际生产中不可能无限大，因此我们需要找到总利润增长速度减慢的点。由于总利润函数是线性的，最大利润发生在总成本等于总收入的点，即：

5x=20x

解得：

x=4

将x=4代入总利润函数得最大利润：

总利润=5*4=20元

所以，最大利润为20元，对应的生产数量为4件。

例题4：某商店销售一种商品，每件商品的进价为50元，售价为100元。若销售量为x件，求销售利润函数，并求出最大利润及对应的销售量。

解答：

销售利润为售价减去进价，即：

销售利润=100-50=50元/件

销售利润函数为销售利润乘以销售量，即：

销售利润函数=50x

这是一个一次函数，斜率为正，因此销售利润随着销售量的增加而增加。最大利润发生在销售量无限大时，但实际销售中不可能无限大，因此我们需要找到销售利润增长速度减慢的点。由于销售利润函数是线性的，最大利润发生在销售量等于进价与售价之比时，即：

50x=100

解得：

x=2

将x=2代入销售利润函数得最大利润：

销售利润=50*2=100元

所以，最大利润为100