三角函数及解直角三角形知识点

三角函数及解直角三角形知识点《三角函数及解直角三角形》1(三角函数定义:如图Rt?ABC中，?C,90?，A的对边asinA,sinA,正弦:;c斜边b，A的邻边cosA,cosA,余弦:;斜边ca，A的对边tanA,tanA,正切:;，A的邻边b根据定义，写出?B的三个三角函数值sinB,cosB,tanB,___________;____________;_______________;BcaACb2(三角函数之间关系1)同角三角函数关系(sinA22tanA,;sinA，cosA,1cosA22tanB,模仿写出:____________;sinB，cosB,1(2)互余角三角函数关系(A，B,90)sinA,cosBcosA,sinB;一个角的正弦等于它余角的余弦;一个角的余弦等于它的余角的正弦3(特殊角的三角函数值0?、30?、45?、60?、90?三角函数30?45?60?sin,cos,tan,4(会设计并根据三角函数关系计算15?、75?角的三角函数BDCA5(根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性当0???90?时，,sin随的增大而_______;cos随的增大而_______;tan随的增大而_______,,,,,,6(已知一个三角函数值，求其他三角函数值。(根据三角函数关系)2例题:sinA,，求cosA、tanA5注意:(1)正弦、余弦、正切、都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义;(2),,,,不是,,,与,的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“,,,,”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的;(3)锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。(4)当,??α?,,?时，,?,,,α?,，,?;,,α?,。(解直角三角形的定义及应用7(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。视线铅垂线水平线仰角俯角视线hhl(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即。坡度一i,l1:mi,1:5般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么,h。i,,tan,l(3)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90?的水平角，叫做方向角。如图,OA、、OC、OD的方向角分别是:北偏东45?(东北方向)，南偏东45?(东南方向)，OB南偏西45?(西南方向)，北偏西45?(西北方向)。(4)解非直角三角形的方法对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是:作垂线构成直角三角形;利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。(5)解直角三角形的实际应用的步骤审题?分析题意，理解实际问题的意义，看懂题目给出的示意图或自己画出的示意图，找出要解的直角三角形;?把实际问题中的数量关系，转移到直角三角形的各元素上，找出已知元素和未知元素;?根据已知元素和未知元素之间的关系，选择合适的三角函数关系式。解题注意精确度答注意答的完整及注明单位(6)解斜三角形所根据的定理(在?ABC中)abc,,正弦定理:,2R.(R是?ABC外接圆半径).sinAsinBsinC222222222余弦定理:c,a，b,2abcosC;b,c，a,2cacosB;a,c，b,2bccosA.如图，在?ABC中，证明上面公式中的一个即可CBA111S,absinC,bcsinA,acsinB三角形的三角函数计算面积:,ABC222在下面图形中证明上面面积公式中的一个即可CBA(7)解直角三角形应用常见基本图形AA26322145?30?45?60?CBB1CD313DA22130?45?BC1D-13AA632323260?45?60?30?BC1DB213-1CD例题讲解例题1:计算210-1(1)sin45?，sin60?,2cos45?;(2)(1，)-,1-sin30?,1，();22211-30(3)sin60?，;(4)2,(，π),cos60?,.20031,tan60:1,25例题2:已知sinα+cosα=，求sinα?cosα的值43例题3:α为锐角，若sinα,,求α的范围23α为锐角，若cosα,,求α的范围2例题4:已知45?,α,90?,化简1,2sin,cos,,例题5:如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即?和B城市的北偏西45?的方向线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么,(结果保留根号)例题6:如图，AB，DC分别表示甲、乙两建筑物的高，AB?BC，DC?BC，从点B测得点D的仰角α为60?，从点A测得点D的仰角β为30?，已知甲建筑物高AB,36m。1)求乙建筑物的高DC;((2)求甲、乙两建筑物之间的距离BC(结果保留根号)。例题7:如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，?BCE沿BE折叠为?BFE,点F落在AD上.(1)求证:?ABE??DFE12)若sin?DFE,，求tan?EBC的值.(3FDAECB,例题8:已知:四边形ABCD中，?A,60，CB?AB，CD?AD，CB,2，CD,1.求:AC的长.DCAB例题9:已知:如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD,a.试写出表示AB的算式.,例题10:已知:?ABC中，?A,45，AB,6，BC,2，求AC及?ACB.(福建省初中数学联赛题)12例题11:已知:二次方程mx,(m,2)x，(m,1),0两个不相等的实数根，恰好是直角4三角形两个锐角的正弦值.求:这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.练习试题321(如图，?ABC中，cosB,，sinC,，则?ABC的面积是【】5221A(B(12C(14D(2122(如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是【】33A(10mB(10mC(15mD(5m23(如果?ABC中，sinA,cosB,，则下列最确切的结论是【】2A.?ABC是直角三角形B.?ABC是等腰三角形C.?ABC是等腰直角三角形D.?ABC是锐角三角形sinB4(在?ABC中，?A,120?，AB,4，AC,2，则的值是【】5732121A(B(C(D(145714ABCDMMCD5(如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点(点在长边上)出发沿mMNBCABMCn,，,CMN,PP虚线射向边，然后反弹到边上的点.如果，.那么点B与点的距离为.AAC6(在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60?方向的处，BC他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30?方向走，恰能到达目的地(如图)，BC、那么，由此可知，两地相距m.7(如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos?AOB的值等于_________(58(如图,在Rt?ABC中，?ACB=90?,CD?AB,垂足为D.若AC=,BC=2,则sin?ACD的值为【】25255A.B.C.D.33529(如图