2024-2025学年高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课内容为新教材人教A版选修2-3第1章1.2.2组合与组合数公式。主要内容包括组合的定义、组合数的计算公式、组合数的性质以及简单的应用。通过本节课的学习，学生能够掌握组合数的计算方法，能够运用组合数解决实际问题。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。通过本节课的学习，学生能够抽象出组合的概念，运用逻辑推理理解组合数的计算公式，通过实际问题进行数学建模，并能够直观地理解组合数在现实生活中的应用。重点难点及解决办法重点：

1.组合数的定义和计算公式：学生需要准确理解组合数的概念，并能熟练运用组合数公式进行计算。

2.组合数性质的应用：学生能够灵活运用组合数的性质解决实际问题。

难点：

1.组合数计算公式的推导与应用：学生可能难以理解组合数公式的推导过程，以及如何在实际问题中应用。

2.组合数性质的理解与运用：学生可能对组合数性质的理解不够深入，导致在解决复杂问题时难以灵活运用。

解决办法与突破策略：

1.通过实例讲解组合数的定义和计算公式，引导学生逐步理解并掌握。

2.通过小组讨论和合作学习，让学生参与公式的推导过程，增强理解。

3.设计一系列实际问题，让学生在解决问题的过程中应用组合数公式和性质，提高解决问题的能力。

4.对组合数性质进行分类总结，帮助学生形成知识体系，便于记忆和应用。

5.通过变式练习和拓展题，帮助学生深化对组合数概念和性质的理解，提高解题技巧。教学资源-软硬件资源：多媒体教学设备（投影仪、电脑）、白板、粉笔、黑板擦

-课程平台：学校内部教学平台、在线教学资源库

-信息化资源：组合数计算公式动画演示、组合数性质的应用案例库、互动教学软件

-教学手段：实物教具（如骰子、扑克牌等，用于演示组合概念）、课堂提问、小组讨论、练习题和习题册教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-教师展示一些日常生活中的实际问题，如生日派对邀请多少人、选班干部等，引导学生思考如何用数学方法解决这类问题。

-提问：在这些问题中，我们需要从多个元素中选择一部分，那么如何计算这种选择的可能性呢？

-引出本节课的主题：排列与组合。

2.新课讲授（用时15分钟）

-（1）组合数的定义

-教师通过实例讲解组合数的概念，如从5个不同的水果中选择3个，不考虑顺序。

-引导学生理解组合数与排列数的区别，强调组合数不考虑顺序。

-（2）组合数公式

-教师推导组合数公式C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]，通过实例说明公式的来源和意义。

-学生跟随教师一起推导公式，加深对公式的理解。

-（3）组合数性质

-教师讲解组合数的性质，如组合数的对称性、组合数的递推关系等。

-学生通过练习题巩固对组合数性质的理解。

3.实践活动（用时10分钟）

-（1）计算组合数

-学生独立完成练习题，计算给定的组合数，如C(10,3)。

-教师巡视指导，纠正学生的错误，确保学生掌握计算方法。

-（2）应用组合数解决实际问题

-教师给出实际问题，如从5名同学中选出3名代表参加比赛，引导学生运用组合数公式解决问题。

-学生独立完成，教师点评并讲解解题思路。

-（3）小组讨论

-学生分组讨论，尝试找出组合数在生活中的应用实例，如生日派对、选课等。

-教师巡视指导，帮助学生拓展思维，提高解决问题的能力。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-举例回答：

-（1）生日派对：假设有5个不同的水果，从中选择3个，有多少种不同的组合方式？

-学生回答：C(5,3)=10种。

-（2）选课：某学生需要从4门数学课程中选择2门，有多少种不同的选课组合？

-学生回答：C(4,2)=6种。

-（3）班干部选举：班级有10名同学，需要从中选出3名班干部，有多少种不同的选举方式？

-学生回答：C(10,3)=120种。

5.总结回顾（用时5分钟）

-教师总结本节课的主要内容，强调组合数的定义、计算公式和性质。

-学生回顾本节课的重难点，如组合数公式的推导、组合数性质的应用等。

-教师提问：如何运用组合数解决实际问题？

-学生回答：通过实例分析，运用组合数公式和性质解决问题。

-教师点评并给予鼓励，强调数学在实际生活中的应用价值。

本节课用时共计45分钟，教学流程环环相扣，既注重知识传授，又注重学生能力的培养，体现了本节课的重点和难点。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.理解并掌握组合数的概念：学生在学习后能够清晰地区分组合数与排列数的区别，理解组合数的定义和意义。他们能够通过实例和公式推导过程，对组合数的概念有深刻的认识。

2.熟练运用组合数公式：学生能够熟练地运用组合数公式C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]进行计算，解决实际问题。他们在练习题和课堂活动中展示了良好的计算能力和准确性。

3.掌握组合数性质：学生理解并掌握了组合数的性质，如对称性、递推关系等。他们能够在解决问题时灵活运用这些性质，提高解题效率。

4.提高逻辑推理能力：通过本节课的学习，学生的逻辑推理能力得到提升。他们在推导组合数公式、分析组合数性质时，需要运用逻辑推理来得出结论。

5.增强数学建模能力：学生在解决实际问题时，能够将实际问题转化为数学模型，运用组合数进行计算和分析。这有助于他们提高数学建模能力，为解决更复杂的数学问题打下基础。

6.提升直观想象能力：学生在学习组合数的过程中，通过实例和图形的展示，能够直观地理解组合数的概念和性质。这有助于他们提升直观想象能力，将数学知识与实际生活相联系。

7.培养团队合作精神：在实践活动和小组讨论环节，学生需要与他人合作，共同解决问题。这有助于他们培养团队合作精神，学会倾听他人意见，提高沟通能力。

8.增强问题解决能力：学生在本节课的学习中，通过解决实际问题，提高了问题解决能力。他们能够运用所学知识解决生活中的各种问题，增强自信心。

9.提高学习兴趣：通过对组合数的学习，学生对数学产生了浓厚的兴趣。他们能够将数学知识与实际生活相联系，感受到数学的魅力。

10.形成知识体系：学生在学习组合数的过程中，逐渐形成了一个关于组合数的知识体系。他们能够将所学知识与其他数学知识相联系，提高整体数学素养。重点题型整理1.组合数的计算

-题型：计算给定条件下的组合数。

-例题：从5个不同的水果中选择3个，不考虑顺序，有多少种不同的组合方式？

-答案：C(5,3)=5!/[3!*(5-3)!]=10种。

2.组合数在生活中的应用

-题型：运用组合数解决实际问题。

-例题：一个班级有10名同学，需要从中选出3名代表参加比赛，有多少种不同的选举方式？

-答案：C(10,3)=10!/[3!*(10-3)!]=120种。

3.组合数与排列数的比较

-题型：比较组合数和排列数在计算上的区别。

-例题：从5个不同的水果中选择3个，如果考虑顺序，有多少种不同的排列方式？

-答案：P(5,3)=5!/(5-3)!=60种。

4.组合数性质的运用

-题型：运用组合数的性质解决实际问题。

-例题：一个篮球队有5名球员，教练需要从中选择3名首发球员，有多少种不同的首发组合？

-答案：由于组合数的对称性，C(5,3)=C(5,2)=10种。

5.组合数与排列数的递推关系

-题型：运用组合数与排列数的递推关系解决实际问题。

-例题：一个班级有10名同学，需要从中选出3名代表参加比赛，且至少有1名女生。如果班级中女生有5名，男生有5名，有多少种不同的选举方式？

-答案：先计算所有可能的组合数，即C(10,3)。然后减去没有女生的组合数，即C(5,3)。所以，C(10,3)-C(5,3)=120-10=110种。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，主动参与讨论。

-学生在理解组合数概念和计算公式时，表现出较强的逻辑思维能力。

-学生在解决实际问题时，能够将所学知识应用到具体情境中，体现了良好的数学应用能力。

2.小组讨论成果展示：

-小组讨论环节中，学生能够积极参与，提出自己的观点和见解。

-学生在讨论中能够倾听他人意见，尊重他人观点，展现出良好的团队合作精神。

-学生通过讨论，能够更深入地理解组合数的性质和应用，提高了问题解决能力。

3.随堂测试：

-测试内容涵盖了本节课的主要知识点，如组合数的定义、计算公式、性质等。

-学生在测试中能够准确回答问题，表现出对知识点的掌握程度较高。

-测试结果反映出学生对组合数的理解和应用能力，为后续教学提供了参考。

4.学生自评与互评：

-学生在课后进行自评，反思自己在课堂上的表现，包括参与度、问题回答、小组讨论等方面。

-学生之间进行互评，互相指出优点和不足，共同进步。

-通过自评和互评，学生能够认识到自己的不足，进一步提高学习效果。

5.教师评价与反馈：

-针对学生在课堂上的表现，教师给予及时、具体的评价和反馈。

-教师针对学生在理解组合数概念、计算公式和性质方面的不足，提供针对性的辅导和指导。

-教师鼓励学生在遇到困难时，主动寻求帮助，培养他们的自主学习能力。

-教师关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，制定个性化的教学策略。

-教师通过课后辅导和作业批改，了解学生的学习进度，及时调整教学计划。板书设计①组合数概念

-重点知识点：组合数的定义

-关键词：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，不考虑顺序，组成一个整体。

②组合数公式

-重点知识点：组合数计算公式

-关键词：C(n,k)=n!/[k!*(n-k)!]

③组合数性质

-重点知识点：组合数的性质

-关键词：对称性C(n,k)=C(n,n-k)

-关键词：递推关系C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)（k≥2）

-关键词：组合数的和C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n

④应用实例

-重点知识点：组合数在实际问题中的应用

-关键词：实例分析、问题解决

⑤练习题

-重点知识点：组合数的计算和应用

-关键词：计算步骤、解题思路教学反思教学反思

今天这节课，我主要讲解了组合数的概念、计算公式和性质，以及它们在实际问题中的应用。回顾一下，我觉得有几个方面值得反思。

首先，我觉得在导入新课的时候，我用了生活中的实例来吸引学生的兴趣，这是很必要的。但是，我发现有些学生对于这些实例的理解并不够深入，他们在解决实际问题时，还是不太能够灵活运用组合数的知识。这可能是因为我对实例的讲解还不够细致，或者是对学生的引导不够到位。接下来，我需要在讲解实例时，更加注重引导学生分析问题，让他们自己发现如何运用组合数来解决问题。

其次，我在讲解组合数公式时，用了推导的方法，这样可以让学生理解公式的来源，但我也注意到，有些学生对于公式的推导过程感到困惑。我意识到，在讲解公式推导时，我可能需要更加简洁明了，避免过多的步骤和符号，让学生能够更容易地跟随我的思路。

然后，我在课堂上安排了小组讨论环节，目的是让学生通过合作学习，加深对组合数性质的理解。但是，我发现讨论过程中，部分学生参与度不高，有的小组讨论氛围不够热烈。这可能是因为我对讨论环节的指导不够明确，或者是学