2024-2025学年新教材高考数学 第2章 平面解析几何 3.4 圆与圆的位置关系教学实录 新人教B版选择性必修第一册

2024-2025学年新教材高考数学第2章平面解析几何3.4圆与圆的位置关系教学实录新人教B版选择性必修第一册科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高考数学第2章平面解析几何3.4圆与圆的位置关系教学实录新人教B版选择性必修第一册设计意图本节课旨在通过讲解圆与圆的位置关系，帮助学生掌握圆的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。通过实例分析和练习，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下坚实基础。核心素养目标培养学生运用数学语言描述几何图形的能力，提升空间想象和逻辑推理能力。通过圆与圆的位置关系的学习，增强学生解决实际问题的能力，培养其数学建模和数学应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。

学生在进入本节课之前，已具备平面直角坐标系的基本知识，能够进行基本的点坐标运算和直线方程的求解。同时，学生对圆的定义和性质有初步的了解，包括圆的方程、圆心到点的距离等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。

学生对几何图形通常有较强的兴趣，喜欢直观和形象的学习方式。在学习能力方面，学生具备一定的空间想象力和逻辑思维能力，能够进行简单的几何推理。学习风格上，部分学生可能偏好通过实例和练习来理解概念，而另一部分学生则可能更倾向于理论分析和推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战。

在学习圆与圆的位置关系时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是对空间关系的理解不够直观，难以想象两个圆在不同位置时的相对位置；二是圆的位置关系涉及多种情况，学生可能难以记忆和区分；三是几何问题的解决往往需要综合运用多种数学知识和方法，这对学生的数学综合能力提出了较高要求。教学资源-黑板或白板

-圆规、直尺等传统教学工具

-多媒体投影仪

-计算机及投影软件（如PowerPoint）

-教学课件（包括圆与圆的位置关系的相关图形和动画）

-互动式电子白板

-教学视频或动画资源

-实物教具（如圆形卡片，用于演示圆的位置关系）

-学生练习册或练习题集教学过程一、导入新课

1.老师首先引导学生回顾上节课学习的内容，提问：“同学们，还记得我们上节课学习了什么吗？”

2.学生回答后，老师总结：“上节课我们学习了圆的基本性质，包括圆的定义、圆心坐标、半径等。今天我们将继续学习圆与圆的位置关系。”

二、新课讲解

1.老师板书：“圆与圆的位置关系”，并提问：“同学们，你们知道圆与圆之间有哪些可能的位置关系呢？”

2.学生积极思考，老师引导学生回答：“圆与圆之间可能存在以下位置关系：相离、相切、相交。”

3.老师详细讲解每种位置关系的特征和判定方法：

a.相离：两个圆之间没有任何交点，圆心距离大于两圆半径之和。

b.相切：两个圆恰好有一个公共点，圆心距离等于两圆半径之和。

c.相交：两个圆有两个公共点，圆心距离小于两圆半径之和。

4.老师结合实例，演示如何判断两个圆的位置关系，并引导学生总结出判断方法。

三、巩固练习

1.老师分发练习题，要求学生在规定时间内完成。

2.学生独立完成练习，老师巡视课堂，解答学生疑问。

3.老师选取典型题目，请学生上台展示解题过程，并进行点评。

四、课堂小结

1.老师提问：“同学们，今天我们学习了圆与圆的位置关系，谁能简要概括一下？”

2.学生回答后，老师总结：“今天我们学习了圆与圆的相离、相切、相交三种位置关系，以及如何判断两个圆的位置关系。希望大家能够掌握这些知识，并在今后的学习中灵活运用。”

五、布置作业

1.老师布置课后作业，要求学生完成以下任务：

a.复习本节课所学内容，巩固圆与圆的位置关系。

b.完成课后练习题，加深对知识的理解。

c.选择一个生活中的实例，运用所学知识解决实际问题。

六、课堂反思

1.老师引导学生进行课堂反思，提问：“同学们，这节课你们觉得哪里学得比较困难？有哪些收获？”

2.学生分享学习心得，老师针对学生提出的问题进行解答，帮助学生巩固知识。

七、课堂总结

1.老师总结本节课的教学内容，强调重点：“本节课我们学习了圆与圆的位置关系，希望大家能够熟练掌握这些知识，为后续学习打下坚实基础。”

2.老师鼓励学生：“同学们，学习几何知识需要不断练习和思考，希望大家能够在今后的学习中不断进步。”学生学习效果学生学习效果

1.**概念理解与记忆**：学生能够准确理解圆与圆的相离、相切、相交三种位置关系的定义和特征，并能通过图形和实例加深对概念的记忆。

2.**空间想象能力**：学生在学习圆与圆的位置关系过程中，通过观察和操作教具，提高了空间想象能力，能够更好地理解几何图形在空间中的位置关系。

3.**逻辑推理能力**：学生在判断圆与圆的位置关系时，需要运用逻辑推理，通过比较圆心距离与半径之间的关系，培养了逻辑推理能力。

4.**数学建模能力**：学生在解决实际问题时，能够将实际问题转化为数学模型，运用圆与圆的位置关系知识进行建模，提高了数学建模能力。

5.**问题解决能力**：学生通过练习和课堂讨论，学会了如何运用所学知识解决实际问题，例如在平面设计中确定两个圆的位置关系，或者在工程问题中计算圆的相对位置。

6.**合作学习能力**：在小组讨论和合作练习中，学生学会了如何与他人交流想法，共同解决问题，提高了合作学习能力。

7.**自主学习能力**：学生在完成课后作业和预习新内容时，能够独立思考，查找资料，提高了自主学习能力。

8.**数学应用意识**：学生通过本节课的学习，认识到数学知识在现实生活中的应用价值，增强了数学应用意识。

总体来看，学生在本节课的学习后，不仅在知识层面上有了扎实的掌握，而且在能力培养上也取得了显著的进步，为后续的数学学习打下了坚实的基础。课堂1.**课堂提问与回答**：

-通过在课堂上提问，如“谁能举例说明两个相切圆的特征？”来评估学生对圆与圆位置关系的理解。

-观察学生在回答问题时是否能够清晰地表达自己的想法，是否能正确应用所学知识解决简单问题。

2.**课堂练习**：

-安排一些课堂练习，让学生在短时间内完成，以评估他们对新知识的掌握程度。

-练习可能包括识别圆与圆的位置关系、计算圆心距离、确定交点等。

3.**小组讨论**：

-在小组讨论环节，观察学生之间的互动，是否能够积极交流，共同解决问题。

-评估学生是否能够将理论知识与实际应用相结合，提出合理的解决方案。

4.**实时反馈**：

-在学生回答问题或完成练习后，立即提供反馈，指出他们的错误和不足，并给予正确的指导。

-通过正面的反馈鼓励学生，增强他们的自信心和学习动力。

5.**测试与评估**：

-定期进行小测验或测试，以评估学生对圆与圆位置关系的全面掌握情况。

-测试可能包括选择题、填空题和简答题，以全面考察学生的理解能力和应用能力。

6.**学生自我评价**：

-鼓励学生进行自我评价，反思自己在课堂上的表现和学习成果。

-通过自我评价，学生可以认识到自己的学习进度和需要改进的地方。

7.**作业评价**：

-对学生的作业进行认真批改，确保作业质量。

-在批改作业时，注意学生的解题思路、计算准确性和问题解决能力。

-通过作业反馈，及时告知学生他们的学习效果，并指出改进的方向。

8.**教学效果评估**：

-在课程结束后，通过问卷调查或个别访谈，了解学生对课程的满意度和学习收获。

-根据学生的反馈，调整教学策略，以更好地满足学生的学习需求。课后作业1.**题目**：已知两个圆的方程分别为\((x-2)^2+(y+1)^2=4\)和\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)，判断这两个圆的位置关系。

**答案**：两个圆的圆心分别为\((2,-1)\)和\((-1,2)\)，半径分别为2和3。计算两圆心之间的距离\(d\)：

\[

d=\sqrt{(2-(-1))^2+(-1-2)^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}

\]

因为\(3\sqrt{2}<2+3\)，所以两个圆相交。

2.**题目**：已知圆\(x^2+y^2=25\)的半径为5，圆心为原点。另一圆的圆心在直线\(y=-x\)上，且与原圆相切。

**答案**：设另一圆的圆心为\((a,-a)\)，半径为\(r\)。因为两圆相切，所以圆心距离等于两圆半径之和或之差：

\[

\sqrt{a^2+(-a)^2}=5+r\quad\text{或}\quad\sqrt{a^2+(-a)^2}=|5-r|

\]

解得\(a=\pm5\)，因此另一圆的圆心为\((5,-5)\)或\((-5,5)\)，半径为0。

3.**题目**：在平面直角坐标系中，有两个圆\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)和\((x+2)^2+(y+3)^2=16\)，求两圆的交点坐标。

**答案**：将两个圆的方程相减，得到公共弦的方程：

\[

(x-1)^2+(y-2)^2-(x+2)^2-(y+3)^2=4-16

\]

化简得\(4x+4y=0\)，即\(x+y=0\)。将\(x=-y\)代入任一圆的方程，解得交点坐标为\((1,-1)\)和\((-1,1)\)。

4.**题目**：已知圆\(x^2+y^2=1\)和圆\((x-3)^2+(y-4)^2=25\)，求两圆的公切线方程。

**答案**：两圆的圆心分别为\((0,0)\)和\((3,4)\)，半径分别为1和5。圆心距离\(d\)为：

\[

d=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5

\]

因为\(d=5\)，所以两圆相外切。公切线可以通过连接两圆心与切点的直线来求得，设公切线方程为\(y=kx+b\)。代入圆的方程求解\(k\)和\(b\)，得到公切线方程。

5.**题目**：在平面直角坐标系中，圆\(x^2+y^2=4\)与直线\(2x+y=1\)相交于两点\(A\)和\(B\)，求弦\(AB\)的长度。

**答案**：将直线方程代入圆的方程，得到关于\(x\)的二次方程。解得\(x\)的两个值，从而得到\(A\)和\(B\)的坐标。利用两点间的距离公式计算\(AB\)的长度。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学：在讲解圆与圆的位置关系时，我尝试引入实际案例，如城市规划中的圆环道路设计，让学生在实际情境中理解数学知识的应用。

2.多媒体辅助：利用多媒体技术，制作动画演示圆与圆的位置关系变化，使抽象的数学概念更加直观，提高学生的学习兴趣。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生空间想象力不足：部分学生在处理空间问题时显得较为吃力，需要加强空间想象能力的培养。

2.教学节奏把握不当：在讲解过程中，我发现部分学生对某些概念理解不够，而有些内容讲解过快，导致学生跟不上教学进度。

3.评价方式单一：主要依赖作业和测试来评价学生的学习效果，缺乏多元化的评价手段。

反思改进措施（三）改进措施

1.加强空间想象力训练：通过布置一些需要学生动手操作的任务，