2024-2025学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.32.3.2离散型随机变量的方差（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.32.3.2离散型随机变量的方差（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3教材分析2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.32.3.2离散型随机变量的方差（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3。本节课内容围绕离散型随机变量的方差展开，旨在帮助学生理解方差的定义、计算方法及其在数据分析中的应用。通过实例分析和练习，使学生能够熟练运用方差来描述随机变量的离散程度。核心素养目标培养学生数据分析观念，通过离散型随机变量的方差学习，使学生能够理解随机变量的波动性，提高对数据变异性的敏感度。发展数学抽象能力，通过方差的定义和计算，引导学生从具体情境中抽象出数学模型。增强逻辑推理能力，通过方差公式的推导和应用，训练学生进行严密的数学推理。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在本节课之前已经学习了概率的基本概念、随机事件及其概率、离散型随机变量的分布列等基础知识。这些知识为理解方差提供了必要的数学背景。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学学科普遍持有较高的兴趣，尤其是与实际问题相关的数学概念。学生的数学能力参差不齐，但普遍具备较强的逻辑思维能力。在学习风格上，学生中既有偏好理论推导的，也有倾向于实践应用的。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习方差时可能遇到以下困难：一是对方差的定义理解不够深入，容易混淆方差与其他统计量；二是计算方差时容易出错，特别是在涉及多个变量的情况下；三是将方差应用于实际问题分析时，可能难以准确把握数据的波动性。此外，学生可能缺乏将离散型随机变量与实际情境相结合的能力。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，包括人教A版选修2-3中的相关章节内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如离散型随机变量分布图、方差计算示例等，以增强学生的直观理解。

3.教学工具：准备计算器或统计软件，以便学生在课堂上进行方差计算和分析。

4.教室布置：布置教室环境，设置分组讨论区，确保学生能够在小组合作中完成方差计算和问题讨论。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：通过在线平台发布预习资料，包括PPT、视频讲解离散型随机变量分布列的基本概念和方差的基本公式。

设计预习问题：设计问题如“如何计算离散型随机变量的期望？方差的计算方法与期望有何关系？”引导学生思考。

监控预习进度：通过班级微信群收集学生的预习反馈，确保学生能够完成预习任务。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生阅读相关内容，理解期望和方差的计算方法。

思考预习问题：学生针对预习问题进行思考，形成初步的理解和疑问。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过自主阅读和思考，培养学生的自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台和微信群实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前了解离散型随机变量的期望和方差，为课堂学习做好准备。

培养学生的自主学习能力和问题解决能力。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过实例引入，如抛硬币实验，引出离散型随机变量的方差概念。

讲解知识点：讲解方差的定义、计算公式以及方差的性质。

组织课堂活动：分组进行方差计算竞赛，让学生在计算中巩固知识。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考方差的计算方法和应用。

参与课堂活动：学生积极参与计算竞赛，体验方差的应用。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解方差的计算和应用。

实践活动法：通过计算竞赛，让学生在实践中掌握方差的计算。

作用与目的：

帮助学生深入理解方差的计算方法，掌握方差在数据分析中的应用。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置关于离散型随机变量方差的实际问题计算，如某市高考分数的分布情况分析。

提供拓展资源：提供方差相关书籍或网站链接，鼓励学生课后拓展学习。

学生活动：

完成作业：学生完成作业，巩固课堂所学。

拓展学习：利用拓展资源，深入了解方差的统计意义。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过课后作业和拓展学习，培养学生的自主学习能力。

反思总结法：引导学生对作业进行反思，总结学习过程中的经验和不足。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的方差的计算和应用知识。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）离散型随机变量的分布律：介绍离散型随机变量的分布律的概念，包括分布律的性质和计算方法。通过具体的例子，如抛硬币、掷骰子等，展示分布律在现实生活中的应用。

（2）离散型随机变量的期望：探讨离散型随机变量的期望的定义、计算方法以及期望的性质。分析期望在数据分析中的重要性，如评估随机变量的平均行为。

（3）离散型随机变量的方差：讲解方差的定义、计算方法以及方差在数据分析中的作用。介绍方差的性质，如方差的非负性、方差的期望等。

（4）离散型随机变量的协方差：介绍协方差的定义、计算方法以及协方差在数据分析中的作用。分析协方差在描述两个随机变量之间关系中的应用。

（5）离散型随机变量的相关系数：讲解相关系数的定义、计算方法以及相关系数的性质。分析相关系数在评估两个随机变量之间线性关系中的应用。

2.拓展建议：

（1）阅读相关教材或参考书籍，如《概率论与数理统计》、《随机过程》等，深入了解离散型随机变量的相关概念和性质。

（2）通过在线课程或视频教程，如Coursera、edX等平台上的概率论与数理统计课程，进一步学习离散型随机变量的相关知识。

（3）参与数学竞赛或挑战活动，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克竞赛（IMO）等，提升对离散型随机变量的理解和应用能力。

（4）进行实际案例分析，如分析某公司员工年龄分布、某地区气温变化等，将离散型随机变量的知识应用于实际问题。

（5）与同学组成学习小组，共同讨论和解决离散型随机变量相关的问题，培养团队合作和交流能力。

（6）尝试编写自己的数学论文或研究报告，对离散型随机变量的某个特定方面进行深入研究。

（7）关注数学领域的最新研究成果，如离散型随机变量的新理论、新方法等，拓宽知识视野。

（8）通过实际操作，如编程实现离散型随机变量的模拟实验，加深对离散型随机变量性质的理解。

（9）参与数学讲座或研讨会，与专家学者交流，了解离散型随机变量的最新研究动态。

（10）关注数学教育领域的改革和发展，了解离散型随机变量在教育中的应用和教学策略。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.融入实际案例：在讲解离散型随机变量的方差时，我尝试结合实际生活中的案例，如股市波动、考试成绩分布等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生的学习兴趣。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体技术，展示离散型随机变量分布图、方差计算示例等，帮助学生直观理解抽象的数学概念。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.教学组织方面：课堂时间安排不够紧凑，导致部分学生未能充分参与到课堂活动中。

2.教学方法方面：对一些较复杂的概念，讲解时未能做到深入浅出，导致学生理解困难。

3.教学评价方面：评价方式单一，主要依赖作业和考试，未能全面评估学生的学习成果。

反思改进措施（三）改进措施

1.优化课堂时间分配：在保证学生充分参与课堂活动的前提下，合理调整课堂时间，确保每个学生都能有所收获。

2.改进教学方法：针对较复杂的概念，采用分层教学，先讲解基础知识，再逐步引入复杂概念，降低学生的理解难度。

3.丰富教学评价方式：除了作业和考试，增加课堂表现、小组讨论等评价方式，全面评估学生的学习成果。

4.加强师生互动：鼓励学生在课堂上提出问题，及时解答学生的疑惑，提高学生的学习积极性。

5.利用信息技术手段：结合在线平台，提供丰富的教学资源，如教学视频、习题库等，方便学生课后复习和巩固。

6.跨学科融合：将离散型随机变量的方差与其他学科知识相结合，如统计学、经济学等，拓宽学生的知识面。

7.定期开展教学反思：定期对教学效果进行反思，总结经验教训，不断优化教学方法，提高教学质量。板书设计①离散型随机变量的方差定义

-方差（Variance）的定义

-记号：\(D(X)\)或\(\sigma^2\)

-计算公式：\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)

②方差的性质

-非负性：\(D(X)\geq0\)

-离散型随机变量的方差总是非负的

-方差为零的充分必要条件是随机变量为常数

③方差的计算步骤

-确定随机变量的取值及其概率

-计算随机变量的期望值\(E(X)\)

-计算每个取值与期望值的差的平方

-计算这些平方差的加权平均，权重为对应的概率

④方差的实际应用

-描述随机变量的波动程度

-比较不同随机变量的离散程度

-在统计分析中的应用，如假设检验、置信区间等

⑤方差的公式推导

-利用期望的线性性质

-通过展开平方差公式

-利用概率分布列的性质进行计算

⑥方差的图形表示

-方差与随机变量分布图的关系

-方差与随机变量取值分布的形状

⑦方差的局限性

-方差对极端值的敏感度

-方差不能完全描述随机变量的分布形状课后作业1.已知离散型随机变量X的分布列为：

\[

\begin{array}{c|ccc}

X&1&2&3\\

\hline

P&0.1&0.3&0.6\\

\end{array}

\]

计算随机变量X的期望\(E(X)\)和方差\(D(X)\)。

答案：\(E(X)=1\times0.1+2\times0.3+3\times0.6=2.3\)

\(D(X)=(1-2.3)^2\times0.1+(2-2.3)^2\times0.3+(3-2.3)^2\times0.6=0.81\)

2.一袋装有5个红球和3个蓝球，随机从中取出一个球，设X为取出的球的编号，求X的分布列、期望和方差。

答案：\(P(X=1)=\frac{5}{8},P(X=2)=\frac{3}{8}\)

\(E(X)=1\times\frac{5}{8}+2\times\frac{3}{8}=1.75\)

\(D(X)=(1-1.75)^2\times\frac{5}{8}+(2-1.75)^2\times\frac{3}{8}=0.234375\)

3.一批产品的质量检测中，质量等级X的概率分布如下：

\[

\begin{array}{c|ccc}

X&1&2&3\\

\hline

P&0.1&0.6&0.3\\

\end{array}

\]

计算该批产品平均质量等级\(E(X)\)。

答案：\(E(X)=1\times0.1+2\times0.6+3\times0.3=2.1\)

4.某地区降雨量的分布近似为正态分布，平均降雨量为500毫米，标准差为100毫米。求该地区降雨量在400毫米至600毫米之间的概率。

答案：由于正态分布的对称性，概率约为\(\frac{1}{2}\)（具体计算需要查正态分布表或使用统计软件）

5.投掷一枚均匀的六面骰子两次，设X为第一次投掷的结果，Y为两次投掷的和，求X和Y的分布列、期望和方差。

答案：\(X\)的分布列为\(P(X=1)