2025届高考数学专题九线性规划精准培优专练理

PAGEPAGE1培优点九线性规划一、求目标函数的最值一、求目标函数的最值例1：已知、满意．（1）若，求的最值；（2）若，求的最值；（3）若，求的最值．【答案】（1），；（2），；（3），．【解析】（1）画出可行域如图：画出直线，并平移得在点处最大，在点处最小．由，求出为，由，求出为，，．（2）画出可行域如图：表示可行域内的点到原点的距离的平方，由图可在点处最大，在点处最小．∴，．（3）画出可行域如图：，表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图可在点处最大，在点处最小．由，可得为，，．二、二、依据目标函数最值求参数例2：已知，满意，若使取得最小值的点有无穷多个，则．【答案】【解析】将变形，得，若要使取最小值的点有无穷多个，则直线与平行，∴．例3：已知不等式组，所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，不等式组，所表示的平面区域如图：三角形的一个顶点的坐标为．∵直线与轴的交点的坐标为，直线与的交点的坐标为，∴，即，∴三角形的面积为，解得（舍去）．故选D．三、线性规划的应用三、线性规划的应用例4：某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质个单位，含淀粉个单位，售价元；米食每百克含蛋白质个单位，含淀粉个单位，售价元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有个单位的蛋白质和个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？【答案】每份盒饭中有面食百克，米食为百克，费用最省．【解析】设每份盒饭中面食为百克，米食为百克，费用元．目标函数为，线性约束条件为，画出可行域如图：画出直线并平移，得在点处最小，求出点为．所以每份盒饭中有面食百克，米食为百克，费用最省．对点对点增分集训一、选择题1．已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，所以，所以．2．已知，满意，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作出不等式组，表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴的截距最大，有最小值，．3．已知满意，则的最大值等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域（如图），而，表示点和的连线的斜率，由图知点和连线的斜率最大，所以．4．不等式组表示的平面区域的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出约束条件所表示的平面区域（如图），，，所以三角形面积为．5．已知，，满意约束条件，若的最小值为，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，画出可行域（如图内部），目标函数可化为，当直线经过时取到最小值，则，即．6．设实数，满意约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由实数，满意约束条件，作可行域如图，由图可知，当过时，取得最大值，由，解得，此时取最大值．7．已知实数，满意不等式组，若目标函数的最大值为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】不等式的可行域，如图所示，令，则可得，当最大时，直线的纵截距最大，将直线平移可知，目标函数经过点时，取最大值，可得，∴．8．实数，满意条件，目标函数的最小值为，则该目标函数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】画出满意条件的可行域，可知目标函数在点处取得最小值，所以，求得，从而目标函数在点处取得最大值，即．二、填空题9．设，满意约束条件，求的最大值．【答案】【解析】可行域如图所示中的区域，得，，，作出直线，再将直线平移，当经过点时，轴截距最大，即达到最大值，得，所以最大值是．10．不等式组表示的平面区域的面积为．【答案】【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，易求得，点坐标，，∴．11．某农户安排种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过亩，投入资金不超过万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量；成本和售价如下表：为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本）最大，那么黄瓜的种植面积（单位：亩）为．【答案】【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为，亩，总利润为万元，则目标函数为，线性约束条件为，即，画出可行域如图所示，作出直线，向上平移至过点时，总利润最大，．三、解答题12．某公司安排年在甲，乙两个电视台做总时间不超过分钟的广告，广告总费用不超过万元，甲，乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和元/分钟，假定甲，乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为万元和万元，问该公司如何安排在甲，乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大整理是多少？【答案】见解析．【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得，目标函数为，不等式组等价于可行域如图所示，作直线，即，平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值，联立，解得，，∴点的坐标为，∴元，该公司在甲电视台做分钟广告，在乙电视台做分钟广告，公司收益最大，最大收益是万元．13．老师安排在晚自习解答同学甲，乙的问题，预料解答完一个学生的问题须要分钟，若甲，乙两人在晚自习的随意时刻去