2023七年级数学下册 第三章 变量之间的关系 3 用图象表示的变量间关系第1课时 曲线型图像教学实录 （新版）北师大版

2023七年级数学下册第三章变量之间的关系3用图象表示的变量间关系第1课时曲线型图像教学实录（新版）北师大版主备人备课成员设计意图本节课旨在通过引导学生观察和分析曲线型图像，理解并掌握用图象表示的变量间关系。通过实际操作和练习，使学生能够将实际问题转化为数学问题，并能运用曲线型图像解决问题，培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。核心素养目标分析培养学生数学建模意识，通过分析曲线型图像，让学生理解数学模型与实际问题的关联。提升数据分析能力，学会从图像中提取信息，培养逻辑推理和数学表达的能力。增强几何直观，提高学生空间想象力和图形理解力。教学难点与重点1.教学重点

-理解曲线型图像的几何意义：重点强调学生能够识别并理解不同类型的曲线（如直线、抛物线等）所代表的变量关系，并能够根据图像判断变量之间的正负相关性。

-建立数学模型：通过具体例子，让学生学会如何将实际问题转化为数学模型，并用曲线型图像表示这些模型。

2.教学难点

-曲线型图像的解读：学生可能难以理解如何从曲线型图像中提取信息，如确定曲线的交点、极值点等。

-变量关系的判断：在复杂图像中，学生可能难以准确判断变量之间的依赖关系，尤其是在图像呈现非线性关系时。

-图像与实际问题的对应：学生可能难以将抽象的数学图像与具体的生活情境或实际问题相对应。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：结合实例，讲解曲线型图像的基本概念和性质，帮助学生建立初步的认识。

2.讨论法：引导学生分组讨论，分析具体案例，培养合作学习和解决问题的能力。

3.实验法：通过绘制曲线图像的实践活动，让学生亲身体验变量关系的变化。

教学手段：

1.多媒体演示：利用PPT展示不同类型的曲线图像，直观展示变量之间的关系。

2.教学软件：运用数学软件进行动态演示，让学生观察曲线的生成过程和变化规律。

3.互动平台：利用在线平台进行课堂练习和讨论，提高学生的参与度和学习效果。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：展示生活中常见的曲线图像，如抛物线、正弦曲线等，提问学生这些图像在现实生活中有哪些应用，激发学生的好奇心和探索欲。

-回顾旧知：简要回顾一次函数、二次函数的基本性质，强调函数图象与实际问题的联系。

2.新课呈现（约20分钟）

-讲解新知：

-介绍曲线型图像的概念，强调曲线图像在表示变量关系中的重要性。

-讲解不同类型曲线（如直线、抛物线、指数曲线等）的图像特征和性质。

-通过实例分析，展示如何从曲线图像中提取信息，如交点、极值点等。

-举例说明：

-以直线图像为例，讲解一次函数图像的斜率和截距如何影响图像的形状和位置。

-以抛物线图像为例，讲解二次函数图像的开口方向、顶点坐标等性质。

-互动探究：

-引导学生分组讨论，分析给定曲线图像所代表的变量关系。

-学生通过实验绘制曲线图像，观察变量变化对图像的影响。

3.巩固练习（约30分钟）

-学生活动：

-学生独立完成课本中的练习题，巩固对曲线型图像的理解和应用。

-学生分组合作，解决实际问题，如根据生活情境绘制曲线图像。

-教师指导：

-教师巡视课堂，观察学生的练习情况，及时解答学生提出的问题。

-教师针对学生的错误和困惑，进行针对性的讲解和指导。

4.拓展延伸（约10分钟）

-引导学生思考曲线型图像在其他学科中的应用，如物理学中的振动图像、经济学中的供需曲线等。

-鼓励学生尝试用曲线型图像解决实际问题，培养学生的创新思维。

5.总结反思（约5分钟）

-学生总结本节课所学内容，分享自己的学习心得。

-教师对本节课的教学内容进行总结，强调重点和难点，并提出改进建议。

6.课后作业（约10分钟）

-布置课本中的相关练习题，巩固学生对曲线型图像的理解和应用。

-布置课后思考题，引导学生思考曲线型图像在生活中的应用，培养学生的自主学习能力。

教学过程中，教师应注重引导学生积极参与，培养学生的创新思维和解决问题的能力。同时，教师应根据学生的实际情况，灵活调整教学内容和教学方法，确保教学效果。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握程度

-学生能够准确理解并描述曲线型图像的概念，包括直线、抛物线、指数曲线等基本类型。

-学生能够识别和分析不同类型曲线图像的特征，如斜率、截距、开口方向、顶点坐标等。

-学生能够将实际问题转化为数学模型，并用曲线型图像表示这些模型。

2.技能提升

-学生能够运用曲线型图像解决实际问题，如计算交点、极值点等。

-学生能够根据图像判断变量之间的正负相关性，分析变量变化对图像的影响。

-学生能够通过观察曲线图像，发现并解释生活中的现象，如物体的运动轨迹、经济数据的趋势等。

3.思维发展

-学生在分析曲线型图像的过程中，培养了逻辑推理和数学表达的能力。

-学生通过小组讨论和合作学习，提高了沟通协作和团队解决问题的能力。

-学生在探索曲线型图像的应用时，培养了创新思维和自主学习的能力。

4.学习兴趣和动机

-学生对曲线型图像的学习产生了浓厚的兴趣，愿意主动探索和思考。

-学生在解决实际问题的过程中，体会到数学的实用性和价值，增强了学习动机。

-学生通过参与课堂活动和课后作业，提高了学习积极性和自我效能感。

5.综合素养

-学生在掌握曲线型图像知识的同时，培养了良好的数学素养，如严谨的数学思维、精确的数学表达等。

-学生在运用曲线型图像解决实际问题的过程中，提高了批判性思维和问题解决能力。

-学生在参与课堂讨论和合作学习的过程中，培养了团队精神和社交能力。板书设计①变量之间的关系

-变量定义

-变量表示

-变量间的关系类型

②曲线型图像

-直线型图像：斜率、截距、一次函数图像

-抛物线型图像：顶点、开口方向、二次函数图像

-指数型图像：增长或减少、指数函数图像

③曲线型图像的绘制

-数据点的确定

-图象的连接

-图象的标注

④曲线型图像的分析

-交点的识别

-极值点的确定

-变量关系的判断

⑤应用实例

-物理现象：抛物线运动轨迹

-经济数据：供需曲线

-生活现象：温度与时间的关系典型例题讲解1.例题一：

已知一次函数的图像经过点（2，5）和（4，-1），求该一次函数的表达式。

解答：

设一次函数表达式为y=ax+b。

根据题意，有：

2a+b=5

4a+b=-1

解这个方程组，得到：

a=-2

b=9

因此，一次函数的表达式为y=-2x+9。

2.例题二：

已知抛物线的顶点为（-1，3），且开口向下，求该抛物线的标准方程。

解答：

抛物线的标准方程为y=a(x-h)²+k，其中（h，k）为顶点坐标。

因为顶点为（-1，3），且开口向下，所以a<0。

代入顶点坐标，得到：

y=a(x+1)²+3

为了得到标准方程，需要将方程转换为一般形式：

y=a(x²+2x+1)+3

y=ax²+2ax+a+3

因为a是常数，我们可以设a=-1（开口向下的标准抛物线），得到：

y=-x²-2x+2

3.例题三：

已知指数函数的图像经过点（0，1）和（1，2），求该指数函数的表达式。

解答：

设指数函数表达式为y=a^x，其中a>0且a≠1。

根据题意，有：

a^0=1

a^1=2

从第二个等式得到a=2。

因此，指数函数的表达式为y=2^x。

4.例题四：

已知曲线y=kx+b与直线y=3x-2相交于点A，求k和b的值。

解答：

两个方程联立，得到：

kx+b=3x-2

整理得到：

(k-3)x=-2-b

由于A点在两条曲线上，所以k-3≠0，否则x将无解。

由此得到：

k=3，b=2

因此，曲线的表达式为y=3x+2。

5.例题五：

已知抛物线y=a(x-h)²+k与x轴相交于点（h-1，0）和（h+1，0），求抛物线的标准方程。

解答：

抛物线