高中数学第二章推理与证明231数学归纳法9省公开课一等奖新课获奖课件

2.3

数学归纳法1/261、已知数列{an}通项公式为

分别计算a1、a2、a3、a4、值,猜测an3、三角形内角和为180°，四边形内角和为2•180°,五边形内角和为3•180°，于是有：凸n边形内角和为Sn=(n-2)•180°。2、对于数列｛｝，已知，求出数列前4项,你能得到什么猜测？怎样经过有限个步骤推理，证实n取全部正整数都成立？问题引入2/26数学归纳法对于一些与相关命题经常采取下面方法来证实它正确性：先证实当n取第一个值n0时命题成立；2.

当n=k(k

N*，k≥n0)时命题成立，当n=k+1时命题也成立。这种证实方法就叫做

。数学归纳法正整数n假设证实

3/264/26多米诺骨牌课件演示

5/26例1：用数学归纳法证实：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

从n=k到n=k+1有什么改变利用假设凑结论证实:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝则当n=k+1时，

+＝=∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。

=1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立6/26数学归纳法步骤，用框图表示为：验证n=n0时命题成立。若n=k(k≥n0)时命题成立，证实当n=k+1时命题也成立。命题对从n0开始全部正整数n都成立。归纳奠基归纳递推

注：两个步骤,一个结论,缺一不可7/26上如证实对吗？为何？证实：①当n=1时，左边＝②设n=k时，有即n=k+1时，命题成立。依据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。思索：用数学归纳法证实:当右边＝等式成立。第二步证实中没有用到假设，这不是数学归纳法证实。则，当n=k+1时8/261＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝正确解法：用数学归纳法证实n2即当n=k+1时等式也成立。依据（1）和（2）可知，等式对任何都成立。证实：1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］那么当n=k+1时（2）假设当n＝k时，等式成立，即（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝k2＝

+[2(k+1)－1］k2＝

＋2k＋1k2＝（k+1）2（假设）（利用假设）注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘记。证实传递性（凑结论）9/26用数学归纳法证实恒等式步骤及注意事项：①明确首取值n0并验证真假。（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式。③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式差异。搞清左端应增加项。④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形惯用方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。10/26课堂练习11/262、求证：1+2+3+…+n=n(n+1)12/26课堂小结1、数学归纳法能够处理哪一类问题？普通被应用于证实一些与正整数相关数学命题2、数学归纳法证实命题步骤是什么？两个步骤和一个结论，缺一不可3、数学归纳法证实命题关键在哪里？关键在第二步，即归纳假设要用到，解题目标要明确4、数学归纳法表达关键思想是什么？递推思想，利用“有限”伎俩，来处理“无限”问题注意类比思想利用13/26作业：求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证实：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)

=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•

=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。

14/26谢谢大家再见15/26多米诺骨牌游戏原理这个猜测证实方法（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻第k+1块也倒下。依据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜测成立。（2）若当n=k时猜测成立，即，则当n=k+1时猜测也成立，即。依据（1）和（2），可知对任意正整数n，猜测都成立。已知数列16/26从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以这类推，…从此，他不再去上学，家长发觉问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己名字，“万百千”写名字结果可想而知。”"万百千"的笑话17/26费尔马(1601.8—1665.1)，法国数学家。

(费马猜测)结论是错误。18/26例4．求证：凸n边形对角线条数为证实：（1）当n=4时，四边形对角线有2条，f(4)=2，所以对于n=2，命题成立.（2）设凸k边形对角线条数为当n=k+1时，k+1边形比k边形多了一个顶点,19/26解：猜测：怎样经过有限个步骤推理，证实n取全部正整数都成立？证实2、对于数列｛｝，已知，求出数列前4项,你能得到什么猜测？20/26依据(1)(2)可知对任意正整数n猜测都成立.证实：(2)假设n=k时猜测成马上1k=ak21/26练习：1、假如{an}是一个等差数列，则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。

证实:(1)当n=1时,左边=a1,右边=a1+（1-1）d=a1,∴当n=1时，结论成立(2)假设当n=k时结论成立,即ak=a1+(k-1)d∴当n=k+1时，结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N*都成立。利用假设凑结论22/2623/26注意

1.用数学归纳法进行证实时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.2(1)(归纳奠基)是递推基础.找准n0(2)(归纳递推)是递推依据n＝k时命题成立