第3节　电势差与电场强度的关系-物理人教版必修第三册

第3节电势差与电场强度的关系学习目标1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB＝Ed，能够推导出这个关系式。2.知道电场强度的另一种关系，了解电场强度的另一个单位“伏每米”的意义。3.会用关系式UAB＝Ed或E＝eq\f(UAB,d)进行有关的计算。知识点一匀强电场中电势差与电场强度的关系1.匀强电场中电势差与电场强度的关系(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。(2)公式：UAB＝Ed。2.公式E＝eq\f(UAB,d)的意义(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。(2)电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。(3)电场强度的另一个单位：由E＝eq\f(UAB,d)可导出电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1V/m＝1N/C。【思考】公式E＝eq\f(UAB,d)对任何电场都适用吗？式中d指的是两点间的距离吗？提示公式E＝eq\f(UAB,d)只适用于匀强电场，公式中的d指的是两点沿电场方向的距离，而不是两点间的距离。1.关系式表明了电场强度与电势差的关系(1)大小关系：由E＝eq\f(UAB,d)可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小。(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。2.匀强电场中两点间电势差的三种求法(1)应用定义式UAB＝φA－φB来求解。(2)应用关系式UAB＝eq\f(WAB,q)来求解。(3)应用关系式UAB＝Ed来求解。例1如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm。(1)求P板及A点的电势；(2)保持两板间的电势差不变，将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少？答案(1)－50V－30V(2)－10V解析板间电场强度方向水平向左，可知Q板电势最高。Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值。(1)电场强度大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(50,10×10－2)V/m＝5×102V/mQ、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2V＝30V所以A点电势φA＝－30V，同理可求得P板电势φP＝UPQ＝－50V。(2)当Q板向左平移5cm时，两板间距离d″＝(10－5)cm＝5cmQ板与A点间距离变为d＝(10－4)cm－5cm＝1cm电场强度大小E′＝eq\f(U,d″)＝eq\f(50,5×10－2)V/m＝1.0×103V/mQ、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V所以A点电势φA′＝－10V。训练1如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10－4C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.2J，已知A、B两点间距离为2cm，两点连线与电场方向成60°角，求：(1)电荷由A移到B的过程中，静电力所做的功WAB；(2)A、B两点间的电势差UAB；(3)该匀强电场的电场强度E。答案(1)－0.2J(2)1000V(3)1×105V/m解析(1)因负电荷由A移到B的过程中，负电荷的电势能增加了ΔE＝0.2J，所以这个过程中电场力对负电荷所做的功WAB＝－ΔE＝－0.2J。(2)A、B两点间的电势差UAB＝eq\f(WAB,q)＝eq\f(－0.2,－2×10－4)V＝1000V。(3)匀强电场的电场强度E＝eq\f(UAB,LAB×cos60°)＝eq\f(1000,0.02×0.5)V/m＝1×105V/m。知识点二定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系在电场中沿着电场线方向电势降低，如图所示，ab＝bc，若a点电势为8V，b点电势为6V，思考：c点电势为4V吗？请说明理由。提示不一定，a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，由于不知电场的性质，所以电势差Uab与Ubc的大小关系不能确定。1.UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。2.在同一幅等势面图中，相邻等差等势面间的间距越小(等差等势面越密)，电场强度E就越大。实例分析：如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大；如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab<Ubc。例2(多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知φa＝5V，φc＝3V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中电场力做功的大小，|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小，则()A.φb>4V B.φb<4VC.|Wac|＝2|Wdc| D.|Wac|>2|Wdc|答案BD解析由电场线的疏密程度可知ab段上各点电场强度大于bc段上各点电场强度，由U＝Ed可定性判断出Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb<eq\f(φa＋φc,2)＝4V，故A错误，B正确；又因为Uac＝Uab＋Ubc，所以Uac>2Ubc，b、d在同一等势面上，有φb＝φd，故Uac>2Udc，由静电力做功W＝qU，得|Wac|>2|Wdc|，故C错误，D正确。训练2(多选)图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子()A.带负电B.在c点受力最大C.在b点的电势能大于在c点的电势能D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化答案CD解析物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明粒子带正电，A错误；由库仑定律F＝keq\f(q1q2,r2)知离圆心越远，粒子所受的力越小，B错误；粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确；点电荷的等势面与虚线重合，依题意得Uab>Ubc，又静电力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。知识点三用等分法确定匀强电场中的等势线和电场线1.等分法：由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的eq\f(1,n)，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作等分法。2.两个重要结论结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图甲所示。结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。3.确定匀强电场的电场方向的方法先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。例3(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是()A.电场强度的大小为2.5V/cmB.坐标原点处的电势为1VC.电子在a点的电势能比在b点的低7eVD.电子从b点运动到c点，静电力做功为9eV答案ABD解析如图所示，设a、c之间的d点的电势与b点的电势相同，则eq\f(ad,dc)＝eq\f(7,9)，d点坐标为(3.5cm，6cm)，过c点作cf⊥bd于f，由几何关系可得cf＝3.6cm，则电场强度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(26－17,3.6)V/cm＝2.5V/cm，A正确；因为四边形Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，解得坐标原点O处的电势为1V，B正确；a点的电势比b点的电势低7V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的电势能高7eV，C错误；b点电势比c点电势低9V，电子从b点运动到c点，静电力做功为9eV，D正确。用等分法找等势点的技巧(1)在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点。(2)在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向。(3)等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线。(4)用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。训练3(2023·湖南岳阳一中高二期中)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一个以坐标原点为圆心、半径为1m的圆与两坐标轴的交点，已知A、B、D三点的电势分别为φA＝3V、φB＝－2V、φD＝8V，由此可知电场强度的大小为()A.4V/m B.5V/mC.6V/m D.7V/m答案B解析在匀强电场中，由U＝Ed可知沿着同一方向(非等势面上)，每前进相同的距离，电势的降低相等；根据几何知识可知AB＝CD，且AB∥CD，说明AB间的电势差等于CD间的电势差。故φA－φB＝φD－φC，代入数据，解得φC＝3V，即C点的电势为3V，可知AC为等势面，电场强度方向与等势面垂直，从高电势到低电势，即由D指向B，根据U＝Ed，可得电场强度大小为E＝eq\f(UDB,2r)＝eq\f(8－（－2）,2×1)V/m＝5V/m，故B正确。随堂对点自测1.(UAB＝Ed的理解)关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是()A.任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积B.沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等C.电势降落的方向一定是电场强度的方向D.电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向答案B解析公式UAB＝Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离，A错误；沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确；在匀强电场中，沿不同方向电势均可减小，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。2.(UAB＝Ed的应用)如图所示，匀强电场的电场强度E＝100V/m，A、B两点相距10cm，A、B连线与电场线夹角为60°，若取A点电势为0，则B点电势为()A.－10V B.10VC.－5V D.5V答案C解析A、B两点沿电场线方向的距离d＝lcos60°＝0.1×eq\f(1,2)m＝0.05m，B点电势低于A点电势UBA＝－Ed＝－100×0.05V＝－5V，因UBA＝φB－φA，φA＝0，则φB＝－5V，C正确。3.(定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系)如图所示的同心圆是电场中的一簇等差等势线，一个电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，B为线段AC的中点，则下列说法正确的是()A.电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越小B.电子沿AC方向运动时具有的电势能越来越大C.电势差UAB＝UBCD.电势φA<φB<φC答案B解析由等势线分布和电子速度变化可知该电场类似于负点电荷的电场，电势φA>φB>φC，电子沿AC方向运动时受到的静电力越来越大，选项A、D错误；根据电子只在静电力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越小，可知电子具有的电势能越来越大，选项B正确；根据U＝Ed，由于电场为非匀强电场，平均电场强度EAB<EBC，可知电势差UAB<UBC，选项C错误。4.(用等分法确定匀强电场中等势线和电场线)如图所示，在匀强电场中有一长方形区域ABCD，边长AB＝0.3m、BC＝0.4m，匀强电场方向与ABCD所在平面平行，A、B、C三点的电势φA＝55V，φB＝19V，φC＝－45V，则匀强电场的电场强度大小和方向为()A.120V/m，沿AB方向B.200V/m，沿AC方向C.160V/m，沿AD方向D.300V/m，沿BD方向答案B解析连接AC，过B点作BB′⊥AC交AC于B′，由几何关系知AB′＝0.18m，B′C＝0.32m，据题知UAC＝100V，UAB＝36V，UBC＝64V，UAB′∶UAC＝AB′∶AC可知UAB′＝36V，所以B′与B等电势，则BB′为等势线；利用等势线与电场线垂直确定电场强度方向，可知匀强电场的电场强度方向沿AC方向，匀强电场的电场强度大小E＝eq\f(UAB′,AB′)＝eq\f(36,0.18)V/m＝200V/m，故A、C、D错误，B正确。对点题组练题组一UAB＝Ed的理解及应用1.关于电场强度、电势、电势差、电势能，下列叙述正确的是()A.以点电荷为圆心、r为半径的球面上，各点的电场强度都相同B.以点电荷为圆心、r为半径的球面上，各点的电势都相同C.正点电荷q在静电力作用下沿电场线方向移动一段距离，其电势能增大D.匀强电场中，两点间的距离越大，这两点间的电势差越大答案B解析根据点电荷的电场线和等势面分布特点可知，在以点电荷为圆心、r为半径的球面上，各点的电势相同，电场强度大小相等，但方向不同，A错误，B正确；正点电荷q在静电力作用下沿电场线方向移动一段距离时，静电力做正功，电势能减小，C错误；在匀强电场中，U＝Ed，d为沿电场线方向的距离，d越大，两点间的电势差越大，但两点间的距离大，d不一定大，若这两点在同一等势面上，不管距离多大，U都为0，D错误。2.如图所示是匀强电场中的一组等势面，每两个相邻等势面的距离是25cm，由此可确定电场强度的方向及大小为()A.竖直向下，E＝0.4N/CB.水平向右，E＝0.4N/CC.水平向左，E＝40N/CD.水平向右，E＝40V/m答案D解析题图为一组等差等势面，电场方向垂直等势面且指向电势降低的方向，故电场强度方向水平向右，E＝eq\f(U,d)＝eq\f(10,0.25)V/m＝40V/m，故D正确。3.空气中的负离子对人的健康极为有益，人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示，在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电，电压达5000V左右，使空气发生电离，从而产生负氧离子(负氧离子为－1价离子)，使空气清新化。针状负极与环形正极间距为5mm，且视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力大小为F，则()A.E＝103N/C，F＝1.6×10－16NB.E＝106N/C，F＝1.6×10－16NC.E＝103N/C，F＝1.6×10－13ND.E＝106N/C，F＝1.6×10－13N答案D解析针状负极与环形正极间的电场为匀强电场，所以E＝eq\f(U,d)＝eq\f(5000,5×10－3)V/m＝106V/m；负氧离子受力F＝qE＝1.6×10－19×106N＝1.6×10－13N，故D正确。4.如图所示，A、B、C是匀强电场中一直角三角形的三个顶点，其中∠C＝30°，AB方向与电场方向平行，AC边长0.8m。已知A、C两点的电势φA＝9V，φC＝3V，下列说法正确的是()A.匀强电场的电场强度大小为7.5V/mB.匀强电场的电场强度大小为15V/mC.匀强电场的电场强度大小为5eq\r(3)V/mD.B点和C点电势不相等答案B解析由图可知，BC与电场线方向垂直为等势面，则φB＝φC＝3V，由图可知dAB＝dACsin30°＝0.8×eq\f(1,2)m＝0.4m，则匀强电场的电场强度大小为E＝eq\f(UAB,dAB)＝eq\f(9－3,0.4)V/m＝15V/m，故A、C、D错误，B正确。题组二定性分析非匀强电场中电势差与电场强度的关系5.如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA＝30V，B点的电势为φB＝0，则()A.C点的电势φC＝20VB.C点的电势φC<20VC.C点的电势φC>20VD.A、B、C都不正确答案B解析由题图看出，AC段电场线比CD段、DB段电场线密，则AC段电场强度最大，根据公式U＝Ed可知，A、C间电势差UAC大于C、D间电势差UCD和D、B间电势差UDB。所以UAC＞eq\f(1,3)UAB＝eq\f(1,3)(φA－φB)＝10V，即(φA－φC)＞10V，又φA＝30V，可知φC＜20V。所以B选项正确。6.(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON。则下列说法正确的是()A.M点的电势比P点的电势高B.将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功C.M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差D.M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差答案AD解析根据电场线和等势面的关系，可以判断出M点的电势比P点的电势高，A正确；将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMN<UOM，C错误，D正确。题组三用等分法确定等势线和电场线7.如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9V，φb＝15V，φc＝18V，则d点的电势为()A.4V B.8VC.12V D.16V答案C解析根据几何知识知，ab长度等于dc长度，且线段ab平行于线段cd，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝15V－9V＝φc－φd＝18V－φd，可得φd＝12V。故C正确。8.如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()A.200V/m B.200eq\r(3)V/mC.100V/m D.100eq\r(3)V/m答案A解析在匀强电场中，沿某一方向电势均匀降低或升高，故OA的中点C的电势φC＝3V(如图所示)，因此B、C在同一等势面上。O点到BC的距离d＝OCsinα，而sinα＝eq\f(OB,\r(OB2＋OC2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)OC＝1.5×10－2m。匀强电场的电场强度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故选项A正确。综合提升练9.(2022·福建卷)平时我们所处的地球表面，实际上存在场强大小为100V/m的电场，可将其视为匀强电场，在地面立一金属杆后空间中的等势面如图所示。空间中存在a、b、c三点，其中a点位于金属杆正上方，b、c等高。则下列说法正确的是()A.b、c两点的电势差Ubc＝0B.a点场强大小大于100V/mC.a点场强方向水平向右D.a点的电势低于c点答案B解析由图可知，b、c两点的电势差为Ubc＝φb－φc＝200V－300V＝－100V，A错误；由图可知，a点与相邻两等势面的距离均小于1m，电势差等于100V，根据E＝eq\f(U,d)可知a点场强大小大于100V/m，B正确；已知a点位于金属杆正上方，则根据场强方向垂直于等势面可知a点的场强方向沿竖直方向，不是水平向右，C错误；由图可知，a点与c点在同一等势面上，电势均为300V，φa＝φc，D错误。10.如图，在直角三角形abc中，bc＝4cm，∠acb＝30°。匀强电场的电场线平行于△abc所在平面，且a、b、c点的电势分别为3V、－1V、3V。下列说法中正确的是()A.电场强度的方向沿ac方向B.电场强度的大小为200V/mC.电子从a点移动到b点，电势能减少了4eVD.电子从c点移动到b点，静电力做功为4eV答案B解析由于ac两点电势相等，故ac为一条等势线，电场方向与等势线垂直，且由高电势指向低电势可知，电场方向垂直ac，且指向斜上方。E＝eq\f(Ucb,cbsin30°)＝eq\f(4,4×\f(1,2)×10－2)V/m＝200V/m故A错误，B正确；电子从a点移动到b点，静电力做功Wab＝－eUab＝－4eV，“－”表示静电力做负功，电势能增加，增加了4eV，故C错误；电子从c点移动到b点，静电力做功为Wcb＝－eUcb＝－4eV，故D错误。11.如图所示，a、b、c、d是以O点为圆心的圆弧上的四个点，该圆的半径R＝5m。a、b、c、d也在xOy坐标系的x轴和y轴上，匀强电场的方向与x轴正方向成θ＝53°(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)，已知O点的电势为零，a点的电势为4V，则下列说法正确的是()A.匀强电场的电场强度E＝2V/mB.b点电势为2.5VC.将一个电荷量为－1C的试探电荷从b点移到d点，静电力做功为6JD.将一个电荷量为＋1C的试探电荷从a点移到c点，试探电荷的电势能减少8J答案D解析a、O之间沿电场线方向的距离为d＝Rsin53°＝4m，a、O间电势差U＝4V，则电场强度的大小为E＝eq\f(U,d)＝1V/m，故A错误；b、O之间沿电场线方向的距离为d′＝Rcos53°＝3m，b点电势为φb＝Ed′＝1×3V＝3V，故B错误；b、d两点间的电势差为Ub