2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷（含答案）

第1页（共1页）2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.）1．﹣2025的倒数是（）A．2025 B．−12025 C．﹣2025 2．下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2 B．（a+2）2＝a2+4 C．（a5）2＝a10 D．a2+a3＝a53．为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B． C． D．4．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（）A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线5．为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（）A．38，39 B．42，40 C．42，41 D．42，426．如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC＝OD．再分别以点C，D为圆心、大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP＝∠A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS7．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10m3时，ρ＝1.431kg/m3.若某一时刻氧气的密度ρ＝4.77kg/m3，则此时的体积V是（）A．2m3 B．3m3 C．5m3 D．6m38．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）A．6210x−1=3(x−1) B．C．6210x−1=3x 9．要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦AB的垂直平分线交AB于点C，交圆弧于点D，测出AB和CD的长度，即可计算出轮子的半径．若测得AB＝48cm，CD＝12cm，则轮子的半径为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm10．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则sin∠DEA＝（）A．53 B．1213 C．35二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若代数式11−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是12．若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是．13．截至2月17日，电影《哪吒2》全球总票房突破120亿元，长沙万象城影院某天《哪吒2》的票房累计约120000元，数字120000用科学记数法表示为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．15．如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝．16．四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、体育委员和劳动委员，已知：（1）体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手；（2）班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议；（3）学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课；（4）体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威．根据以上信息，可以推断劳动委员姓．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6分）计算：(118．（6分）先化简，再求值：a−1a−2⋅a19．（6分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）课题测量旗杆的高度成员组长：xxx组员：xxx，xxx，xxx测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量示意图说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度AC＝BD＝1.5m，测点A，B与H在同一条水平直线上，A，B之间的距离可以直接测得，且点G，H，A，B，C，D都在同一竖直平面内，点C，D，E在同一条直线上，点E在GH上．测量数据测量项目第一次第二次平均值∠GCE的度数25.6°25.8°25.7°∠GDE的度数31.2°30.8°31°A，B之间的距离5.4m5.6m……任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是m．任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度．（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）20．（8分）为深入贯彻“生命至上、健康第一”的理念，科学合理组织好2023年长沙市初中毕业升学体育考试，2023年长沙市体育中考方案有以下调整，（一）素质类项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选一项，报考前确定），分值10分．（二）技巧类项目：篮球运动、足球运动、排球向上垫球、200米游泳（学生自选一项，报考前确定），分值15分．（三）耐力跑项目：2023年取消男1000米、女800米耐力跑项目，该项目以15分满分计入总分，此项调整仅限2023年执行．某校根据学生实际情况男生可以从A（引体向上）、B（投掷实心球）、C（排球向上垫球）、D（一分钟跳绳）、E（篮球运动）、F（足球运动）、G（200米游泳）等七个项目中选考两项．据统计，某校初三男生都在“A”、“B”、“C”、“D”四个项目中选择了两项作为自己的体育中考项目．根据学生选择情况，进行了数据整理，并绘制成如下统计图，结合图中信息，解答下列问题：（1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是；（2）请补全条形统计图；（3）为了学生能考出好成绩，该校安排每位体育老师负责指导A、B、C、D项目中的两项，若张老师随机选两项作为自己的指导项目，请用列表法或画树状图的方法求所选的项目恰好是A和C的概率．21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE∥BD，BE∥AC．（1）求证：四边形AEBO是菱形；（2）若AB＝2，OB＝3，求AD的长及四边形AEBO的面积．22．（9分）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．（1）篮球、足球的单价各是多少元？（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．23．（9分）如图，BC为圆O的直径，已知AD⊥BC，点P在CB延长线上，AB平分∠PAD．（1）求证：PA是圆O的切线；（2）若tan∠PAB=12，圆的半径为5，求PA，24．（10分）法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+bx+c＝0根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：x1+x2＝﹣b，x1•x2＝c．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数G1的图象与函数G2的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数G1与函数G2互为“倍根函数”．（1）若（x﹣2）（2x+k）＝0是“倍根方程”，求k的值；（2）一次函数G1：y＝kx+b（k＞0）与反比例函数G2：y=−6x互为“倍根函数”，求（3）已知ax2+bx+4b(a+1)9a=0(a≠0)是“倍根方程”，点P（xP，yP）是函数y=ax2+bx+4b(a+1)25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6的顶点坐标为（2，﹣8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM∥y轴，交x轴于点M，当AE平分∠CEM时，求直线AE的解析式；（3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF分别与y轴、直线BC交于点D，E．若△CAD，△CDE，△CEF的面积分别为S1，S2，S3，且满足S1+S3＝2S2，求点F的坐标．

2025年湖南省长沙市长郡教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.）题号12345678910答案BCCACDBBBB二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．x≥0且x≠112．613．1.2×10514．15π15．516．李．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．解：(＝2﹣2×1+＝2﹣2+2=218．解：原式=a−1a−2=a+2=a当a＝3时，原式=319．解：任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是5.4+5.62=5.5（故答案为：5.5；任务二：由题意知，∠GCE＝25.7°，∠GDE＝31°，AB＝5.5，EH＝AC＝BD＝1.5m，∠GEC＝90°，四边形ABDC是矩形，∴CD＝AB＝5.5m，∴DE=GEtan∠GDE，∵CD＝CE﹣DE，∴5.5=GE解得GE≈13.2m，∴GH＝GE+EH＝14.7米，∴GH的高度为14.7米．20．解：（1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，故答案为：108°；（2）某校初三男生为：180÷30%＝600（人），∴选“A”项目的人为：600﹣（60+180+120）＝240（人），补全条形统计图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中张老师所选的项目恰好是A和C的结果有2种，∴张老师所选的项目恰好是A和C的概率为21221．（1）证明：∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴OA＝OB，∴四边形AEBO是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝DO，∵OB＝3，∴BD＝6，由勾股定理得：AD=BD2∵BO＝DO，∴S△AOB＝S△AOD=12S△BAD=12×12AD×∵四边形AEBO是菱形，∴AE＝AO＝BO＝BE＝3，∴△AEB≌△BOA（SSS），∴△AEB的面积＝△AOB的面积＝22，∴四边形AEBO的面积是22×2＝4222．解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据题意得：3x+2y=4902x+3y=460解得：x=110y=80答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元；（2）设购买m个篮球，则购买（100﹣m）个足球，根据题意得：110m+80(100−m)≤9200m≥解得：1003≤设学校购买篮球和足球的总费用为w元，则w＝110m+80（100﹣m），即w＝30m+8000，∵30＞0，∴w随m的增大而增大，又∵1003≤m≤40，且∴当m＝34时，w取得最小值，此时100﹣m＝100﹣34＝66（个）．答：最省钱的一种购买方案为：购买34个篮球，66个足球．23．（1）证明：连接OA，则∠AOB＝2∠C，∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，∴DB=AB，∠∴∠DAB＝∠C，∵AB平分∠PAD，∴∠PAD＝2∠DAB＝2∠C，∴∠PAD＝∠AOB，∴∠OAP＝∠PAD+∠OAD＝∠AOB+∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线．（2）解：∵∠BAC＝90°，∠PAB＝∠DAB＝∠C，∴ABCA=tanC＝tan∠PAB∵∠PAB＝∠C，∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴PAPC∴PC＝2PA，PA＝2PB，∴PC＝4PB，∵⊙O的半径为5，∴BC＝2×5＝10，∴PB+10＝4PB，∴PB=10∴PA＝2×10∴PA的长为203，PB的长为1024．解：（1）（x﹣2）（2x+k）＝0，解得x＝2或−k由题意得：2×2=−k2或2＝2×（解得：k＝﹣2或﹣8；（2）联立两个函数表达式得：kx+b=−6x，设方程的解为m，2则m+2m=−bk，m×2m整理得：b2＝27k；（3）设ax2+bx+4b(a+1)9a则m+2m=−ba，m×2m整理得：b＝2a+2，则抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+