2025版高考数学大二轮复习命题一基础性-遵循考纲难易适中学案文

PAGE1-一、基础性——遵循考纲难易适中基本概念基本技能基本思想基本活动基础性是高考的核心，包括：基础学问，基本技能，基本思想和基本活动阅历，在试题中相互交织，多角度体现核心素养．基础性命题目标真题回顾素养清单基本概念三种抽样方法的定义1.[2024·全国卷Ⅲ]某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司打算进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简洁随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．解析：因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．答案：分层抽样[数学抽象][数据分析]基本概念三视图的基本概念和空间想象实力2.[2024·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()ABCD解析：由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.答案：A[数学抽象]基本概念中位数、平均数、方差、极差的概念3.[2024·全国卷Ⅱ]演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的依次排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.答案：A[数学建模][逻辑推理]基本运算等差数列的通项公式及前n项和的基本运算4.[2024·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a1＋\f(3×2,2)d))＝2a1＋d＋4a1＋eq\f(4×3,2)d，解得d＝－eq\f(3,2)a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.答案：B[数学运算][逻辑推理]基本运算二倍角公式和解三角形的基本运算5.[2024·全国卷Ⅱ]在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)解析：∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，∴cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝eq\r(32)＝4eq\r(2).故选A.答案：A[数学运算][数学建模]基本运算复数方程、复数的四则运算6.[2024·全国卷Ⅲ]若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i解析：解法一z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2i－i2,2)＝1＋i.故选D解法二设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z(1＋i)＝2i，得(a＋bi)(1＋i)＝2i，即(a－b)＋(a＋b)i＝2i，所以由复数相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝0,＋b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1，))所以z＝1＋i.故选D.答案：D[数学运算]基本技能平面对量的线性运算，转化化归思想7.[2024·全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：解法一如图所示．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).故选A.方法二eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A.答案：A[数学建模][数学运算]基本技能函数的奇偶性与周期性，转化化归思想和计算实力8.[2024·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满意f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.故选C.答案：C[数学运算][数据分析][数学抽象]基本技能等比数列的通项公式及前n项和公式，学生解方程实力9.[2024·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则aA．16B．8C．4D．2解析：设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q答案：C[逻辑推理][数学抽象]基本思想圆锥的概念和空间想象实力与解三角形，转化化归思想和运算求解实力10.[2024·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq\f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5eq\r(15)，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r.在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)(eq\r(2)r)2·eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母线长l＝4eq\r(5)，∴S圆锥侧＝πr·l＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π.答案：40eq\r(2)π[数学建模][数学运算][逻辑推理]基本思想三角函数的图象与性质，数形结合思想，结合三角函数的图象推断函数极值点的个数及单调性11.[2024·全国卷Ⅲ]设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,5)))(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点②f(x)在(0,2π)有且仅有2个微小值点③f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))单调递增④ω的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，\f(29,10)))其中全部正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④解析：如图，依据题意知，xA≤2π<xB，依据图象可知函数f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个微小值点，所以②错误；依据xA≤2π<xB，有eq\f(24π,5ω)≤2π<eq\f(29π,5ω)，得eq\f(12,5)≤ω<eq\f(29,10)，所以④正确；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))时，eq\f(π,5)<ωx＋eq\f(π,5)<eq\f(ωπ,10)＋eq\f(π,5)，因为eq\f(12,5)≤ω<eq\f(29,10)，所以eq\f(ωπ,10)＋eq\f(π,5)<eq\f(49π,100)<eq\f(π,2)，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,10)))单调递增，所以③正确．答案：D[数学建模][数学运算][逻辑推理]高考小题集训(一)1．[2024·安徽安庆五校联盟考试]已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()A．{0，x,1,2}B．{2,0,1,2}C．{0,1,2}D．不能确定解析：集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则x＝2，所以M∪N＝{0,1,2}．故选C.答案：C2．[2024·重庆外国语学校摸底]当eq\f(2,3)<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限解析：复数z在复平面内对应的点的坐标为(3m－2，m－1)，因为eq\f(2,3)<m<1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2>0，,m－1<0，))所以点在第四象限，故选D.答案：D3．[2024·广东揭阳模拟]已知函数f(x)＝2x2－a，f(eq\r(3))＝eq\f(1,4)，则f(－eq\r(2))＝()A．1B．－eq\f(1,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)解析：依题意f(eq\r(3))＝23－a＝eq\f(1,4)＝2－2，故3－a＝－2，解得a＝5.故f(x)＝2x2－5，所以f(－eq\r(2))＝22－5＝2－3＝eq\f(1,8).故选D.答案：D4．[2024·北京门头沟综合练习]已知向量a，b满意|a|＝|b|＝1，且其夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝eq\f(π,3)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由|a－b|＝1得|a－b|2＝1，得|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋1－2a·b＝1，得2a·b＝1，即a·b＝eq\f(1,2)，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(π,3)；反之当θ＝eq\f(π,3)时，a·b＝eq\f(1,2)，则|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1＋1－2×eq\f(1,2)＝1＋1－1＝1，所以|a－b|＝1，所以“|a－b|＝1”是“θ＝eq\f(π,3)”的充要条件，故选C.答案：C5．[2024·湖北鄂州四校其次次联考]已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinβ的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)解析：由2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，化简得－2tanα＋3sinβ＋5＝0；由tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，化简得tanα－6sinβ＝1.联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2tanα＋3sinβ＋5＝0，,tanα－6sinβ＝1，))解得sinβ＝eq\f(1,3).故选A.答案：A6．[2024·湖北孝感模拟]如图，网格纸上的小方格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是()解析：由俯视图和侧视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，且与长方形的长相交的某一侧面垂直于底面，所以正视图为A.答案：A7．[2024·江西上饶一模]直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不能确定解析：圆的方程可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(b,2)))2＝eq\f(a2＋b2,4)，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，半径r＝eq\r(\f(a2＋b2,4))，圆心到直线ax－by＝0的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a·\f(a,2)－b·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2))))),\r(a2＋b2))＝eq\r(\f(a2＋b2,4))＝r，故直线与圆相切．答案：B8．[2024·安徽六安一中检测]如图，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，A．直线OM与AC，MN均垂直B．直线OM与AC垂直，与MN不垂直C．直线OM与AC不垂直，与MN垂直D．直线OM与AC，MN均不垂直解析：因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，连接B1D1，所以AC⊥平面BDD1B1.因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，MN＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，连接ON，ON＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.答案：A9．[2024·广东佛山质检]执行如图所示的程序框图，若输出的S值为－20，则在推断框内应填写()A．i>3B．i<4C．i>4D．i<5解析：执行程序框图，i＝1，S＝10，满意推断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10－21＝8，i＝2，满意推断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8－22＝4，i＝3，满意推断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4－23＝－4，i＝4，满意推断框内的条件，第4次执行循环体，S＝－4－24＝－20，i＝5，此时，应当不满意推断框内的条件，退出循环．输出的S值为－20，则推断框内应填写i<5，故选D.答案：D10．[2024·安徽合肥一检]某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不确定正确的是()注：90后指1990年1月1日至1999年12月31日诞生的人，80后指1980年1月1日至1989年12月31日诞生的人，80前指1979年12月31日及以前诞生的人．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多解析：对于A：由整个互联网行业从业者年龄分布的饼状图可知，互联网行业从业者中90后占了56%，所以A正确；对于B：由两个统计图知，互联网行业从事技术岗位的90后人数占总人数的56%×39.6%＝22.176%，已经超过了20%，所以整个互联网行业从事技术岗位的人数确定会超过总人数的20%，所以B正确；对于C：由两个统计图知，互联网行业从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%＝9.52%，超过了80前互联网行业从业者人数，所以C正确；对于D：由两个统计图知互联网行业80后的人数占41%，但没有80后的岗位分布图，因此无法推断互联网行业中从事技术岗位的人数90后与80后谁多谁少，故D错误，选D.答案：D11．[2024·安徽宿州一中月考]已知关于x，y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥3，,mx－y＋3≥0，,xx－2≤0))表示的平面区域构成一个锐角三角形，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))D．(0,1)解析：由题意易知，直线mx－y＋3＝0过定点(0,3)．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知边界点A(0,3)，B(2,1)，C(2,2m过点A分别作AC1⊥BC于点C1，作AC2⊥AB，交BC于点C2，数形结合可知，当点C与C1(2,3)重合或与C2(2,5)重合时，△ABC为直角三角形；当点C位于B，C1之间或在C1C2△ABC为钝角三角形；当点C位于C1，C2之间时，△ABC为锐角三角形；当点C在C1B的延长线上时，不能构成三角形，所以3<2m＋3<5，解得0<m答案：D12．[2024·湖北八市联考]在平面直角坐标系中，设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的半焦距为c，(a,0)，(0，b)为直线l上两点，已知原点O到直线l的距离为eq\f(\r(3),4)c，则双曲线的离心率e为()A.eq\f(2\r(3),3)B.eq\r(3)或2C．2或eq\f(2\r(3),3)D．2解析：由题意可得直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.∵原点O到直线l的距离为eq\f(\r(3),4)c，∴eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),4)c.又c2＝a2＋b2，∴3e4－16e2＋16＝0，∴e2＝4或e2＝eq\f(4,3).∵0<b<a，∴c2＝a2＋b2<2a2∴e＝eq\f(c,a)<eq\r(2)，故离心率e＝eq\f(2\r(3),3)，故选A.答案：A13．[2024·陕西西安一中检测]在正项等比数列{an}中，a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，则{an}的前9项和S9＝________.解析：设数列{an}的公比为q，∵a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，∴q2＝9，∵q>0，∴q＝3，∴a1＋27a1＋36解得a1＝eq\f(2,757)，∴S9＝eq\f(\f(2,757)×1－39,1－3)＝26.优解设数列{an}的公比为q，∵a1＋a4＋a7＝2，a3＋a6＋a9＝18，∴q2＝9，∵q>0，∴q＝3，∴a2＋a5＋a8＝2q＝6，∴S9＝2＋6＋18＝