2025版高考数学大二轮复习命题四应用性-融入素养特色鲜明学案文

PAGE1-四、应用性——融入素养特色显明数学的实际应用基本思想数学学问应用高考数学中应用性包含两层意思，一层是应用数学学问解决社会生活中的实际问题，另一层是应用数学学问解决相关的数学问题，数学试题从头到尾到处都体现数学学问的应用，解决问题时留意以下两点：(1)将实际问题建立数形模型进行求解，理清建模过程和数据处理，利用数据说话．(2)应用数学学问解决相关数学问题时，留意分析问题，构建条件与结论的最短(最佳)解题链，坚持条件与结论的和谐相融．应用性命题目标真题回顾素养清单数学的实际应用统计图的基本学问，统计在实际生活中的应用及运算求解实力1.[2024·全国卷Ⅰ]某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入削减B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a故选A.[数据分析][逻辑推理][数学运算]用样本估计总体，逻辑思维实力在实际生活中的应用2.[2024·全国卷Ⅱ]我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为________．解析：依题意知，经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为eq\f(10×0.97＋20×0.98＋10×0.99,10＋20＋10)＝0.98.答案：0.98[数据分析][逻辑推理]基本思想茎叶图、中位数与独立性检验思想，统计学问在实际生活中的应用，推断与运算求解实力3.[2024·全国卷Ⅲ]某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式．依据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式其次种生产方式(3)依据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析：(1)其次种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用其次种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此其次种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中随意一种或其他合理理由均可得分．(2)由茎叶图知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155其次种生产方式515(3)由于K2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.[数据分析][逻辑推理][数学运算]基本思想频率分布直方图，学生识图实力、阅读实力4.[2024·全国卷Ⅲ]为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)解析：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.[数据分析][逻辑推理][数学运算]高考小题集训(四)1．[2024·湖南衡阳联考]已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|log2(3－x)>0}，则A∩B的子集个数为()A．2B．3C．4D．8解析：由已知可得B＝{x|x<2}，所以A∩B＝{0,1}，所以A∩B的子集个数为22＝4.故选C.答案：C2．[2024·天津模拟]已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，cA．c<b<aB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b解析：本题考查指数函数与对数函数的图象和性质；通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养．明显c＝0.30.2因为log33<log38<log39，所以1<b<2.因为log27>log24＝2，所以a>2.故c<b<a.选A.答案：A3．[2024·江西第一次大联考]已知命题p：“对随意的x≥1，lnx≥0”的否定是“存在x0≥1，lnx0<0”，命题q：“0<k<1”是“方程x2＋y2＋eq\r(3)x＋ky＋k2＝0表示圆”的充要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∨qB．p∧qC．綈p∨qD．綈p∧q解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以易得命题p是真命题；若方程x2＋y2＋eq\r(3)x＋ky＋k2＝0表示圆，则k2＋(eq\r(3))2－4k2>0，解得－1<k<1，所以命题q是假命题．所以命题p∨q为真命题，命题p∧q，綈p∨q，綈p∧q均为假命题，故选A.答案：A4．[2024·湖南长沙长郡中学调研]沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲揣测：D或E答对了．同学乙揣测：C不行能答对，同学丙揣测：A，B，F当中必有1人答对了．同学丁揣测：D，E，F都不行能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙也猜对，与题意不符，故乙也猜错；若丙猜对，则乙也猜对，与题意不符，故丙猜错；因为甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，所以丁猜对，故选D.答案：D5．[2024·福建福清期中]若f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(2π,3)解析：通解f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到函数g(x)＝sin(2x－eq\f(π,3)＋φ)的图象，∵g(x)＝sin(2x－eq\f(π,3)＋φ)的图象关于原点对称，∴sin(φ－eq\f(π,3))＝0，∴φ可以是eq\f(π,3)，故选B.优解∵f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移eq\f(π,6)个单位长度后所得的图象关于原点对称，∴f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于点(－eq\f(π,6)，0)对称，∴sin(φ－eq\f(π,3))＝0，∴φ可以是eq\f(π,3)，故选B.答案：B6．[2024·陕西渭南质检]函数f(x)＝eq\f(x2,2)＋sinx＋2019，则f′(x)的大致图象是()解析：f′(x)＝x＋cosx，当x＝－eq\f(π,2)时，f′(－eq\f(π,2))＝－eq\f(π,2)，则可解除C.当x＝eq\f(π,2)时，f′(eq\f(π,2))＝eq\f(π,2)，解除D.当x＝0时，f′(0)＝1，解除A.故选B.答案：B7．[2024·辽宁大连期中]已知O是△ABC的外心，|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝2，则eq\o(AO,\s\up10(→))·(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝()A．8B．9C．10D．12解析：∵O是△ABC的外心，∴eq\o(AO,\s\up10(→))在eq\o(AB,\s\up10(→))上的投影为eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝2，eq\o(AO,\s\up10(→))在eq\o(AC,\s\up10(→))上的投影为eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝1，∴eq\o(AO,\s\up10(→))·(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))·eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AO,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝2|Aeq\o(B,\s\up10(→))|＋|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝10.故选C.答案：C8．[2024·江西赣州测试]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA＝eq\f(4,5)，b＝5c，则sinC的值为()A.eq\f(\r(2),10)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(\r(3),5)D.eq\f(\r(3),10)解析：∵cosA＝eq\f(4,5)，b＝5c，∴a2＝b2＋c2－2bc×eq\f(4,5)＝18c2，∴a＝3eq\r(2)c，又sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(3,5)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(2),10)，故选A.答案：A9．[2024·山东济南外国语学校月考]在正项等比数列{an}中，存在两项am，an，使得eq\r(aman)＝4a1，且a6＝a5＋2a4，则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值是()A.eq\f(25,6)B.eq\f(7,3)C．2D.eq\f(3,2)解析：设数列{an}的公比为q，∵eq\r(aman)＝4a1且an>0，∴qm＋n－2＝16，又a6＝a5＋2a4，∴q2－q∵q>0，∴q＝2，∴m＋n＝6，∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,6)(m＋n)(eq\f(1,m)＋eq\f(4,n))＝eq\f(1,6)(5＋eq\f(4m,n)＋eq\f(n,m))≥eq\f(3,2)，当且仅当2m＝n∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值为eq\f(3,2)，故选D.答案：D10．[2024·四川成都一诊]在各棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与A.eq\r(3)B．1C.eq\f(\r(6),3)D.eq\f(\r(2),2)解析：通解取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB则∠PBN为异面直线A1M与BN设三棱柱的棱长为2，则PN＝eq\r(2)，PB＝eq\r(5)，BN＝eq\r(3)，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝eq\f(PN,BN)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，故选C.优解以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则N(0,0,0)，A1(0，－1,2)，B(eq\r(3)，0,0)，M(eq\r(3)，0,1)，所以eq\o(NB,\s\up10(→))＝(eq\r(3)，0,0)，eq\o(A1M,\s\up10(→))＝(eq\r(3)，1，－1)．设直线A1M与BN所成的角为θ则cosθ＝|cos〈eq\o(NB,\s\up10(→))，eq\o(A1M,\s\up10(→))〉|＝eq\f(|\o(NB,\s\up10(→))·\o(A1M,\s\up10(→))|,|\o(NB,\s\up10(→))|·|\o(A1M,\s\up10(→))|)＝eq\f(3,\r(3)×\r(5))＝eq\f(\r(15),5)，则sinθ＝eq\f(\r(10),5)，tanθ＝eq\f(\r(6),3)，故选C.答案：C11．[2024·福建厦门一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，AF的中点坐标为(2,2)，则C的方程为()A．y2＝4xB．y2＝8xC．y2＝10xD．y2＝16x解析：由抛物线y2＝2px(p>0)，可得F(eq\f(p,2)，0)，由线段AF的中点坐标为(2,2)，可得A(4－eq\f(p,2)，4)，又点A在抛物线C上，代入抛物线C的方程可得16＝2p(4－eq\f(p,2))，得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，故选B.答案：B12．[2024·福建质量检查]已知函数f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＋x，且f(a)＋f(a＋1)>0，则a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析：由eq\f(1＋x,1－x)>0，可得－1<x<1，即函数f(x)的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝lneq\f(1－x,1＋x)＋(－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(1＋x,1－x)＋x))＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，分析易得，f(x)＝lneq\f(1＋x,1－x)＋x在(－1,1)上为增函数，f(a)＋f(a＋1)>0⇒f(a)>－f(a＋1)⇒f(a)>f(－a－1)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－a－1，,－1<a<1，,－1<－a＋1<1，))解得－eq\f(1,2)<a<0，即a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，故选B.答案：B13．[2024·重庆学业质量抽测]已知复数z1＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i，则z1·z2＝________.解析：由已知条件得z2＝2＋i－z1＝2＋i－(1＋2i)＝1－i，所以z1·z2＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i.答案：3＋i14．[2024·宁夏育才中学月考]已知圆x2＋y2－8x＝0上存在两个不同的点关于直线2x－y＋m＝0对称，则实数m＝________.解析：x2＋y2－8x＝0化为标准形式是(x－4)2＋y2＝16，则圆心坐标为(4,0)，半径r＝4，由题意，知直线2x－y＋m＝0经过圆心(4,0)，所以2×4－0＋m＝0，解得m＝－8.答案：－815．[2024·广东肇庆联考]某汽车4S店销售甲品牌A型汽车，在2024年元旦期间，进行了降价促销活动，依据以往数据统计，该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系：价格/万元2523.52220.5月销售量/辆30333639已知A型汽车的月销售量y(辆)与价格x(万元)符合线性回来方程eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o(b,\s\up10(^))x＋80.若A型汽车价格降到19万