2.2 三角形分类（学霸课堂笔记）-2023-2024学年数学四年级下册同步培优讲义（北师大版）

2.2三角形分类第一部分第一部分知识清单1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条边叫做等腰三角形的腰；2.三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角既是等腰三角形，又是锐角三角形。3.三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。（1）三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；（2）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；（3）有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；4.三角形按边分类，可以分为不等边三角形和等腰三角形。（1）三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形；（2）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这两条边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底；（3）三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形既是等腰三角形，又是锐角三角形。第二部分第二部分典型例题例1：三角形从边的特点研究，可以用如图（

）表示它们之间的关系。A． B．C． D．以上都不对答案：C分析：三角形按照边分，可以分为等腰三角形、等边三角形、一般三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形是特殊的三角形，据此解答。详解：由分析得：可以用表示它们之间的关系。故答案为：C例2：按角的大小，三角形可以分为()三角形，()三角形，()三角形。答案：锐角直角钝角详解：按照三角形中角的不同，三角形可以分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。其中三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。例3：如果有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。()答案：×分析：等边三角形的三个内角都是60°，而这个三角形有一个内角是60°，其余的两个角是不是60°不一定，所以这个三角形未必是等边三角形。详解：如果有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形，这句话不对。故答案为：×点睛：考查学生对等边三角形的认识。例4：连一连。答案：见详解分析：根据三角形的分类方法，三角形中有直角的是直角三角形，两条边相等的是等边三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形，可据此进行解答。详解：点睛：本题主要考查判断三角形的分类的方法，熟练掌握三角形的分类及判断方法是解答本题的关键。：基础过关练一、选择题1．在同一幅图上，如果A点用数对表示为（1，1），B点用数对表示为（1，4），C点用数对表示为（3，1），那么三角形ABC一定是（

）三角形。A．锐角 B．钝角 C．直角2．如果点A用数对表示为（1，6），点B用数对表示为（1，1），点C用数对表示为（4，1），那么三角形ABC一定是（

）三角形。A．锐角 B．钝角 C．直角3．在下面的图形上只剪一刀，可以得到两个钝角三角形的是（

）。A．

B．

C．

D．

4．一个等腰三角形其中一个角是56度，那么另外两个角可能是（

）。A．56°，68° B．62°，62°C．90°，34° D．56°，68°或62°，62°5．李叔叔要做一个坚固的栅栏，请帮他选择一种合适的设计图（

）。A． B． C． D．6．如果点A用数对表示为（3，5），点B用数对表示为（4，1），点C用数对表示为（6，1），那么三角形ABC一定是（

）三角形。A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰7．等边三角形也是（

）三角形。A．锐角 B．直角 C．钝角二、填空题8．如果A点用数对表示为（3，3），B点用数对表示为（6，1），C点用数对表示为（3，1），那么按角分，三角形ABC一定是()三角形。9．如果A点用数对表示为（1，5），B点用数对表示为（1，1），C点用数对表示为（3，1），那么三角形ABC是()三角形。10．找一找，填一填。锐角三角形有()

直角三角形有()

钝角三角形有()11．三角形按角可以分为()三角形、()三角形和()三角形。三角形的边如果都相等，就是()三角形，如果只有两边相等，就是()三角形。12．对三角形进行分类，并说说你的分类方法。分析与解答：(1)我们观察这些三角形的角，发现有些三角形的三个角都是锐角，这类三角形就是()三角形；有些三角形有一个直角，这类三角形就是()三角形；有些三角形有一个钝角，这类三角形就是()三角形。(2)我们观察这些三角形的边，发现有些三角形的三条边都相等，这类三角形就是()三角形；有些三角形的两条边相等，这类三角形就是()三角形。三、判断题13．所有的等边三角形都是等腰三角形。()14．晾衣架是利用三角形具有稳定性的特性设计的。()15．房屋的木架做成三角形，是因为三角形具有稳定性。()16．若一个等边三角形的边长是4厘米，则这个等边三角形的周长是12厘米。()17．等腰三角形有1条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴。()18．圆和三角形都是轴对称图形。()19．左图中的三角形有两个角被遮住了，这个三角形一定是锐角三角形。()：培优提升练四、解答题20．用一条60厘米长的铁丝围成一个底为10厘米的等腰三角形，如果接头处忽略不计，那么腰是多少厘米？21．王阿姨准备用一根90厘米长的铁丝围成一个等腰三角形的相框，如果围成的三角形的腰长36厘米，那么底长应该是多少厘米？（铁丝正好用完）22．等腰三角形的周长是88厘米，底边长34厘米，这个三角形的腰长是多少厘米？23．一个等边三角形的边长是5厘米，它的周长是多少厘米？24．一个等腰三角形的底边是4厘米，周长为38厘米。它的一条腰长多少厘米？25．把一个边长为4.8米的正方形铁丝框架，拆开后围成一个最大的等边三角形，这个等边三角形的边长是多少米？

1．C分析：根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，在网格图中描出A、B、C各点，然后再连接成三角形，根据三角形的分类即可判定。详解：作图如下：由此可见三角形ABC是一个直角三角形。故答案为：C点睛：此题的解题关键是利用数对表示点位置的方法以及三角形的分类进行解答。2．C分析：根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，因为点A和点B在同一列；点B和点C在同一行，所以该三角形是直角三角形。详解：如图所示：如果点A用数对表示为（1，6），点B用数对表示为（1，1），点C用数对表示为（4，1），那么三角形ABC一定是直角三角形。故答案为：C点睛：本题考查用数对表示位置及三角形的分类，明确用数对表示位置的方法和三角形的分类标准是解题的关键。3．D分析：钝角三角形中最大的角是钝角，要大于90度，长方形里没有钝角，等边三角形也没有钝角；梯形的上面有2个钝角，平行四边形有2个钝角，据此画一画解答。详解：解：如图：可以得到两个钝角三角形。A．根据分析可得，长方形剪一刀要想剪出两个三角形，只能沿着对角线剪，而这不能剪出两个钝角三角形。

B．根据分析可得，正三角形剪一刀要想剪出两个三角形，只能沿着高来剪，而这不能剪出两个钝角三角形。

C．根据分析可得，等腰梯形要想剪一刀要想剪出两个三角形，只能沿着对角线剪，而这不能剪出两个钝角三角形。

D．如图：可以得到两个钝角三角形。故答案选：D。点睛：本题考查了钝角三角形的特征及图形的划分。4．D分析：等腰三角形的两个底角相等，根据三角形的内角和为180°可知，当这个角是底角时，则它的另外两个角的度数是：一个是56°，另一个是180°－56°×2。当这个角是顶角时，它的另外两个角的度数都是（180°－56°）÷2。详解：（1）当这个角是底角时，则它的另外两个角的度数是：一个是56°，另一个是：180°－56°×2＝180°－112°＝68°（2）当这个角是顶角时，则它的另外两个角的度数都是：（180°－56°）÷2＝124°÷2＝62°另外两个角可能是56°，68°或62°，62°。故答案为：D点睛：本题考查等腰三角形的特征和三角形的内角和定理，关键是按照这个角是顶角或者底角两种情况进行分析解答。5．B分析：依题意，要做一个坚固的栅栏，意味着栅栏要很稳定。结合所学知识，我们可以知道三角形具有稳定性，结合四个选项的图形去判断找出有三角形图案的即可。详解：结合题意，依据所学知识判断如下：A．选项中的栅栏组合成正方形，相对来说没那么稳定，不符合题意。B．选项中的栅栏组合成三角形，比较稳定坚固，符合题意。C．选项中的栅栏组合成平行四边形，不够稳定，不符合题意。D．选项中的栅栏组合成长方形，不够稳定，不符合题意。故答案为：B点睛：本题考查学生利用三角形具有稳定性的知识点来进行判断。6．C分析：根据数对表示位置的方法，在方格图中分别标出这三个点，顺次连接起来即可判断三角形的形状，解答即可。详解：根据数对表示位置的方法可将点A、B、C在平面图中标出，顺次连接起来如图所示，所以三角形是一个钝角三角形。故答案为：C点睛：本题考查了数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，结合三角形的分类知识解答即可。7．A分析：等边三角形三条边相等，三个角也相等，都是60°，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。详解：等边三角形也是锐角三角形。故答案为：A点睛：熟记等边三角形特征是解题关键。8．直角分析：用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此在方格中画出示意图，根据三角形分类标准确定三角形类型即可。详解：如图：三角形ABC一定是直角三角形。9．直角分析：用数对表示物体位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数），据此可知：A（1，5）在第1列，第5行的交点处；B（1，1）在第1列，第1行的交点处；C（3，1）在第3列，第1行的交点处，如下图，再根据三角形按角分类的方法确定三角形的形状。详解：如上图，点A（1，5）和点B（1，1）在同一列，点B（1，1）和点C（3，1）在同一行，所以AB垂直于BC，即∠ABC是直角，所以三角形ABC是直角三角形。如果A点用数对表示为（1，5），B点用数对表示为（1，1），C点用数对表示为（3，1），那么三角形ABC是直角三角形。点睛：在同一平面上，数对第一个数相同的物体位于同一列，数对第二个数相同的物体位于同一行。10．①④⑥⑨③⑤⑦②⑧分析：有些三角形的三个角都是锐角，这类三角形就是锐角三角形；有些三角形有一个直角，这类三角形就是直角三角形；有些三角形有一个钝角，这类三角形就是钝角三角形。详解：锐角三角形有①④⑥⑨

直角三角形有③⑤⑦

钝角三角形有②⑧点睛：熟练掌握三角形的分类知识是解答的关键。11．锐角直角钝角等边等腰分析：在三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。等腰三角形是有两边相等，且底角相等的三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰；等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种，等边三角形是特殊的等腰三角形。详解：三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三角形的边如果都相等，就是等边三角形，如果只有两边相等，就是等腰三角形。点睛：本题主要考查了三角形的分类，需熟练掌握。12．(1)锐角直角钝角(2)等边等腰详解：（1）我们观察这些三角形的角，发现有些三角形的三个角都是锐角，这类三角形就是锐角三角形（例图③④⑤）；有些三角形有一个直角，这类三角形就是直角三角形（例图①②）；有些三角形有一个钝角，这类三角形就是钝角三角形（例图⑥⑦⑧⑨）。（2）我们观察这些三角形的边，发现有些三角形的三条边都相等，这类三角形就是等边三角形（例图③④⑤）；有些三角形的两条边相等，这类三角形就是等腰三角形（例图②）。13．√分析：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边相等的三角形叫等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形一定是等腰三角形。详解：分析可知，等边三角形一定是等腰三角形，原题说法正确。故答案为：√14．√分析：三角形不易变形，具有稳定性，由此解答即可。详解：晾衣架是利用三角形具有稳定性的特性设计的。原说法正确。故答案为：√点睛：此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用。15．√分析：三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。据此解答。详解：房屋的木架做成三角形，是因为三角形具有稳定性，说法正确。故答案为：√点睛：解答此题的关键是明确三角形的稳定性，生活中还有很多利用三角形稳定性的例子，比如矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂和高压输电线的铁塔等。16．√分析：根据等边三角形的特征，等边三角形的3条边的长度都相等，再根据三角形的周长公式求出这个等边三角形的周长，然后与12厘米进行比较。详解：3×4＝12（厘米）所以，这个等边三角形的周长是12厘米。故答案为：√点睛：此题考查目的是理解掌握等边三角形的特征及应用，三角形的周长公式及应用。17．√分析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；由此可以分别找出这几个图形的所有对称轴。详解：根据轴对称图形的定义可得：等腰三角形有1条对称轴，长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴。故答案为：√点睛：此题主要考查轴对称图形定义及对称轴的条数，熟记常见轴对称图形的对称轴条数即可解答。18．×分析：依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可进行判断。详解：如上图所示：圆是轴对称图形，不是所有的三角形都是轴对称图形，只有等腰三角形和等边三角形才是轴对称图形；所以原题说法错误。故答案为：×点睛：掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合。19．×分析：观察上图可知，露在外面的角是一个锐角，另外两个角如果都是锐角，则这个三角形是锐角三角形，如果两个角中有一个直角，则是直角三角形，如果两个角中有一个钝角，则这个三角形是钝角三角形，据此即可解答。详解：根据分析可知，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，还可能是直角三角形，原说法错误。故答案为：×点睛：本题主要考查学生对三角形分类知识的掌握和灵活运用。20．25厘