专题7.4 二项式定理（十个重难点突破）（解析版）-1

专题7.4二项式定理一、二项展开式的应用六、（奇偶项）系数之和问题二、求特定项（系数）七、（二项式）系数的最值问题三、求展开式的有理项八、整除与余数问题四、二项式乘积问题九、近似计算问题五、三项式问题十、杨辉三角知识点1二项式定理.这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中各项的系数叫做二项式系数,式中的叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.知识点2二项展开式形式上的特点（1）项数为；（2）各项的次数和都等于二项式的幂指数,即与的指数的和为.（3）字母按降幂排列,从第一项开始,次数由逐项减小1直到零;字母按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增加1直到.知识点3二项式系数的性质（1）每一行的两端都是1,其余每个数都等于它“肩上”两个数的和,这实际上反映了组合数的下列性质:.（2）对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即（3）二项式系数先增后减中间项最大当为偶数时,第项的二项式系数最大,最大值为,当为奇数时,第项和项的二项式系数最大,最大值为或.（4）各二项式系数的和：重难点一、二项展开式的应用【例1】若（，为有理数），求的值.【答案】44【详解】，又（，为有理数），所以，.【例2】若对恒成立，其中，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【详解】，，即.故选：D【变式1-1】求的展开式．【答案】【详解】.【变式1-2】的值是（

）A． B．1 C．0 D．22024【答案】B【详解】.故选：B.【变式1-3】已知，若，则．【答案】【详解】因为，所以，解得．故答案为：.（1）正用:将二项式展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子,先化简再用二项式定理展开.（2）逆用:将展开式合并成二项式的形式,即二项式定理从右到左使用是合并,对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.重难点二、求特定项（系数）【例3】的展开式中的中间项为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，且，所以为中间项，即为．故选：B【例4】若二项式展开式中的常数项为160，则．【答案】2【详解】由题二项式展开式的通项公式为：，所以当时的项为常数项，解得.故答案为：2.【变式2-1】二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为.【答案】15【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，求得，由展开式中常数项为，得，解得.令，求得，所以含项的系数为.故答案为：15.【变式2-2】已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（

）A．60 B． C．448 D．【答案】A【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，则展开式通项公式是，令，得，∴的系数为，故选：A.【变式2-3】已知，则．（用数字作答）【答案】【详解】令，则，所以，即为，又展开式的通项为，（其中且），所以.故答案为：①明确所求项的指数条件，解方程确定值；②注意区分二项式系数与项的系数，尤其含负号或分数时需谨慎计算重难点三、求展开式的有理项【例5】（多选）的展开式中的有理项有（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】的展开式通项为，由可得，所以，展开式中的有理项有：，，，故选：ABD.【例6】二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】D【详解】二项式的展开式的通项公式为：，令，得，所以展开式中的有理项有项，把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列，再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种.故选：D.【变式3-1】已知二项式．(1)写出当时的展开式；(2)写出当时所有的有理项．【答案】(1)(2)，，【详解】（1）（2）因为当时，二项式的通项为，所以当时，；当时，；当时，．所以当时，所有的有理项为，，【变式3-2】展开式中有理项的个数为.【答案】34【详解】二项式展开式通项为，当是整数，即是3的整数倍时，是有理项，因此可以取，共34个，所以展开式中有理项的个数为34.故答案为：34【变式3-3】已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】二项式展开式的通项为，即，其中．当为有理项时，必为偶数．当时，，．其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项．故的最小值为4．故选：B．对于有理项,一般是先写出通项,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求解.重难点四、二项式乘积问题【例7】的展开式中常数项为（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【详解】展开式的通项，显然，则当，即时，，所以的展开式中常数项为.故选：A【例8】已知的展开式中，常数项为，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【详解】由题意，的通项公式为，令，则，令，则不符合题意，所以的常数项为，解得．故选：.【变式4-1】的展开式中的系数为（

）A． B． C．100 D．120【答案】A【详解】解法一，由于的展开式的通项，故的展开式中的系数为；解法二，若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得；若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得.故的展开式中的系数为，故选：A.【变式4-2】的展开式中，项的系数为.【答案】【详解】展开式的通项为，，所以含的项为，即项的系数为.故答案为：【变式4-3】的展开式中的项的系数为30，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【详解】中的展开式的通项为，当时，，得到项的系数为，当时，，得到项的系数为，故展开式中的项的系数为，即．故选：C①分别对每个二项展开式进行分析,发现它们各自项的特点;②找到构成展开式中特定项的组成部分;③分别求解再相乘,求和即得.重难点五、三项式问题【例9】的展开式中，常数项为.【答案】【详解】的展开式的通项公式为，，令可得（舍去），所以的展开式中不存在常数项，的展开式的通项公式为，，令可得，所以的展开式中常数项为，的展开式的通项公式为，，令可得，所以的展开式中不存在常数项，的展开式的通项公式为，，令可得，所以的展开式中的常数项为，又的展开式中没有常数项，所以的展开式的常数项为故答案为:【例10】的展开式中的系数是.（用数字填写）【答案】【详解】的展开式中，要得到的系数，则可能为或.故含的项为，故答案为：【变式5-1】的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题知，的展开式的通项为，又的展开式的通项为，，所以的展开式的通项为，令，则，所以含的项的系数为，令，则，所以含的项的系数为，令，则，所以含的项的系数为，综上，的展开式中所有二次项的系数和为.故选：A.【变式5-2】的展开式中含的项的系数为（）A． B． C．20 D．60【答案】A【详解】由题意，含的项在相乘的6项里需要有1项乘的1，剩下5项里有3项乘的，最后2项乘的，故含的项为.故选：A【变式5-3】已知展开式中的系数为，函数的图象过点，则（

）.A．2 B． C． D．1【答案】D【详解】在的展开式中，要得到含的项，则有个因式中取，个因式中取项，故的系数为．又函数的图象过点，所以，解得，所以.故选：D应根据式子的特点,转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决),转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合,项与项结合时要注意合理性和简捷性.重难点六、（奇偶项）系数之和问题【例11】若，，则（

）A． B．31 C． D．32【答案】B【详解】解：令，得，即，令，得，即，所以.故选：B.【例12】若，求：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)129；(2)8256；(3)；(4)16384.【详解】（1）令，则，令，则①，．（2）令，则②，由，得.（3）由，得．（4）法一：展开式中均小于零，均大于零，.法二：，即为展开式中各项的系数和，．【变式6-1】若，则．（写成指数幂形式即可）【答案】【详解】在中，令可得即，故答案为：.【变式6-2】设，则．【答案】【详解】，令，可得，①令，可得，②①+②可得.故答案为：.【变式6-3】（多选）若，则下列结论中正确的是（）A． B．C． D．【答案】BC【详解】在中，对于A，令，得，A错误；对于B，令，得，因此，B正确；对于C，令，得，则，C正确；对于D，令，得，则，D错误.故选：BC（1）“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,若求其展开式各项系数之和,只需令未知数为1即可.（2）若,则展开式中各项系数之和为（3）若,则奇数项系数之和为偶数项系数之和为重难点七、（二项式）系数的最值问题【例13】（多选）若（）的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】ABC【详解】依题意，，即，解得，而，所以.故选：ABC【例14】在的展开式中系数最大的项为.【答案】【详解】的展开式的通项公式为,所以系数为，其中，当为奇数时，为负数，系数不是最大，，所以系数最大的项为故答案为：【变式7-1】的展开式中系数最大的项为（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】B【详解】易知的展开式的各项系数分别为，由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项.故选：B.【变式7-2】已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（

）A． B．252 C． D．28【答案】B【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，展开式中的系数为，故选：B【变式7-3】已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．【答案】，．【详解】末三项的二项式系数分别为、、，由题设，得，即．所以，所以（舍去）．因为，设项，项和的系数分别为、和，则，，．设最大，则，可解得或．所以展开式中系数最大的项是，．（1）求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当为偶数时,中间一项的二项式系数最大.（2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况进行判断,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得.重难点八、整除与余数问题【例15】设，且能被6整除，则的值可以为.(写出一个满足条件的的值即可)【答案】5（答案不唯一）【详解】，其中被6整除，由能被6整除，可得能被6整除，则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一故答案为：5（答案不唯一）【例16】被15除所得余数为．【答案】1【详解】，而是15的倍数，所以被15除所得余数为1.故答案为：1【变式8-1】若正整数a，b满足等式，且，则（

）A．1 B．2 C．2022 D．2023【答案】D【详解】∵，∴.故选：D.【变式8-2】的个位数是（

）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】A【详解】因为，而是10的倍数，所以的个位数是.故选：A.【变式8-3】若能被64整除，则正整数的最小值为.【答案】55【详解】若能被64整除，则需能被64整除，所以正整数的最小值为55．故答案为：55．使用二项式定理处理整除与余数问题时，需将底数拆解为与除数相关的数（如除数倍数±余数），展开后剔除含除数因子的项，关注剩余部分。注意余数范围应为非负数且小于除数，若余数为负需调整重难点九、近似计算问题【例17】的第一位小数为，第二位小数为，第三位小数为，则分别为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，故分别为.故选：A.【例18】求1.028的近似值．（精确到小数点后三位）【答案】1.172.【详解】例1解：1.028＝（1＋0.02）8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172.【考查意图】整除问题和求近似值问题是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．二项式系数最大项为中间项，系数最大项则通过“两边夹”方法构造不等式求解．【变式9-1】已知二项式的二项式系数的和为，则.试估算时，的值为.（精确到）【答案】【详解】二项式的二项式系数的和为，解得，当时，.故答案为：；.【变式9-2】用二项式定理估算.（精确到0.001）【答案】1.105【详解】.故答案为：1.105【变式9-3】某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意可知故选：C在二项式近似计算中，优先选取展开式前2-3项简化运算，注意需远小于1以保证精度重难点十、杨辉三角【例19】杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【详解】由杨辉三角知：第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，由此可得第行，第个数为，所以第15行第15个数是．故选：B【例20】（多选）如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（

）A．B．第8行所有数字之和为256C．D．记第20，21行数字的最大值分别为，则【答案】BC【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，故D错误.故选：BC.【变式10-1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2．【答案】32【详解】第行从左到右第11个数为,第12个数为,依题意得,即,解得.故答案为：32【变式10-2】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等C．D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数【答案】D【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误；对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和，因，故，故B错误；对于C，因，则，故C错误；对于D，因而，故D正确.故选：D.【变式10-3】杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式(1)求图2中第11行的各数之和；(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和；(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2048；(2)166650；(3)存在，这三个数为.【详解】（1）第11行的各数之和为；（2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为；（3）存在，理由如下：设在第行存在三个相邻的数，其中，且，，之比为3:8:14，故，化简得，即，解得，所以这三个数为.一、单选题1．已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，依题意成等差数列，故，得到：，化简得，即：，解得：或（舍去）故选：C2．已知的展开式中，常数项为60，则的值为（

）A．2 B．2， C．3 D．3，【答案】B【详解】展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.则，.故选：B.3．若（）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（

）A．210 B．252 C．462 D．10【答案】A【详解】由于展开式中只有第6项的系数最大，且展开式的通项为，其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而，所以展开式的通项为.令，得，于是得其常数项为.故选：A4．展开式中，的系数为（

）A．320 B．320 C．240 D．240【答案】D【详解】由题设，含的项为.所以的系数为.故选：D5．已知，则被8除的余数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【详解】令，得，令，得，两式相减，．因为，其中被8整除，所以被8除的余数为1，从而能被8整除．故选：D.6．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设均为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21被6除得的余数都是3，则记．若，且，则的值可以是（

）A．2010 B．2021 C．2019 D．1997【答案】B【详解】因为，又，故，又，，，，结合选项可知只有B符合题意.故选：B二、多选题7．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（

）A．展开式共有6项B．二项式系数最大的项是第4项C．展开式的常数项为540D．展开式的有理项共有3项【答案】BC【详解】由二项式的展开式中各项系数之和是，得当时，，解得，对于A，展开式共7项，A错误；对于B，二项式系数最大的项是第4项，B正确；二项式展开式的通项，对于C，由，得，则展开式的常数项，C正确；对于D，由为整数，得，因此展开式的有理项共有4项，D错误.故选：BC8．设，则（

）A．B．C．D．若表示正数的整数部分，则【答案】ACD【详解】对于A，令，可得，故A正确；对于B，令，可得，故B错误；对于C，令，可得，所以，所以，所以，故C正确；对于D，所以，故D正确；故选：ACD三、填空题9．设为整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则．【答案】5【详解】展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，因为，所以，即，解得，故答案为：5．10．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个5阶杨辉三角．若第行中从左到右第3个数与第5个数的比为，则的值为．【答案】【详解】依题意可知第行的数从左到右分别