重难点08 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（原卷版）

重难点08玩转外接球、内切球、棱切球经典问题【题型归纳目录】题型一：正方体、长方体模型题型二：正四面体模型题型三：对棱相等模型题型四：直棱柱模型题型五：直棱锥模型题型六：正棱锥与侧棱相等模型题型七：侧棱为外接球直径模型题型八：共斜边拼接模型题型九：垂面模型题型十：最值模型题型十一：二面角模型题型十二：圆锥圆柱圆台模型题型十三：锥体内切球题型十四：棱切球【方法技巧与总结】技巧总结一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4技巧总结二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．技巧总结三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．技巧总结四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出技巧总结五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．技巧总结六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．技巧总结七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．技巧总结八：共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．技巧总结九：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2技巧总结十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等技巧总结十一：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．技巧总结十二：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．技巧总结十三：锥体内切球方法：等体积法，即技巧总结十四：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】题型一：正方体、长方体模型【例1】（2025·高一·重庆·期中）正方体内切球与外接球体积之比为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2025·高一·云南昆明·期中）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．题型二：正四面体模型【例2】（2025·全国·高三专题练习）棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2025·河南·西平县高级中学模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2025·河南新乡·二模）在正四面体中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接球被平面所截的圆周长为．题型三：对棱相等模型【例3】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为A． B． C． D．【变式3-1】（2025·高一·安徽·阶段练习）为了求一个棱长为的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.学以致用：(1)如图2，一个四面体三组对棱长分别为，2，，求此四面体外接球表面积；(2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形.【变式3-2】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为A． B． C． D．题型四：直棱柱模型【例4】（2025·天津·一模）如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（

）A． B． C． D．【变式4-1】（多选题）（2025·高一·山东青岛·期中）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（

）A．直三棱柱的体积是1B．直三棱柱的外接球表面积是C．三棱锥的体积与点的位置有关D．的最小值为【变式4-2】（2025·高二·上海浦东新·期中）已知一个体积为的球内切于直三棱柱（即与三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,则该直三棱柱的外接球（即使所有顶点均落在球面上）的表面积为．题型五：直棱锥模型【例5】（2025·高一·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（

）A．26π B．28πC．34π D．14π【变式5-1】（2025·高一·黑龙江七台河·期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【变式5-2】（2025·高一·河北唐山·期中）已知三棱锥中，面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．题型六：正棱锥与侧棱相等模型【例6】（2025·高三·安徽池州·期末）三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（

）A． B． C． D．【变式6-1】（2025·高二·江苏南通·阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（

）A． B．2 C． D．【变式6-2】（2025·重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．题型七：侧棱为外接球直径模型【例7】（2025•五华区校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为A． B． C． D．【变式7-1】（2025•红花岗区校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，若该三棱锥的体积为，则该球的表面积A． B． C． D．【变式7-2】（2025•抚顺校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为A． B． C． D．题型八：共斜边拼接模型【例8】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【变式8-1】三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为【变式8-2】在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．题型九：垂面模型【例9】（2025·河南·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（

）A． B． C． D．【变式9-1】（2025·江西南昌·模拟预测）若体积为的四棱锥的五个顶点都在表面积为的球面上，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，则棱的长为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【变式9-2】（2025·高三·山东威海·期末）已知三棱锥为中点，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为题型十：最值模型【例10】（2025·高一·安徽池州·期中）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为.【变式10-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，高AA1为3，底面ABCD为长方形且面积为，则该直四棱柱外接球表面积的最小值为.【变式10-2】（2025·辽宁抚顺·一模）已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（

）A． B． C． D．题型十一：二面角模型【例11】（2025·安徽·芜湖一中模拟预测）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．【变式11-1】（2025·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C． D．题型十二：圆锥圆柱圆台模型【例12】（2025·高一·浙江宁波·期中）圆台的上下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的外接球表面积为．【变式12-1】（2025·高一·陕西西安·期末）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【变式12-2】（2025·全国·高三专题练习）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（

）A． B． C． D．题型十三：锥体内切球【例13】（2025·高二·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（

）A． B． C． D．【变式13-1】（2025·高二·浙江宁波·期末）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为（

）A． B． C． D．【变式13-2】（多选题）（2025·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（

）A．以四个球球心为顶点的四面体体积为B．以四个球球心为顶点的四面体体积为C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为题型十四：棱切球【例14】（多选题）（2025·高三·江苏扬州·开学考试）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（

）A．正方体的棱切球的半径为B．正四面体的棱切球的表面积为C．等长正六棱柱的棱切球的体积为D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为【变式14-1】（多选题）（2025·高一·浙江·期中）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（

）A．球的体积为B．球内接圆柱的侧面积的最大值为C．球在正方体外部的体积小于D．球在正方体外部的面积大于【变式14-2】（多选题）（2025·高一·山东临沂·期中）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（

）

A．正方体外接球的直径为B．点在线段上运动，则四面体的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是

【过关测试】1．（2025·高一·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（

）A． B． C． D．2．（2025·高一·四川绵阳·期末）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．3．（2025·高三·全国·阶段练习）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为A． B．C． D．4．（2025·高一·四川南充·阶段练习）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为4，则下列说法正确的是（

）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．勒洛四面体的体积是C．勒洛四面体内切球的半径是D．若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为25．（2025·高一·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（

）

A． B． C． D．6．（2025·高二·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（

）

A． B． C． D．7．（2025·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．8．（2025·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（

）A． B． C． D．9．（2025·高一·广东佛山·期末）已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（

）A． B． C． D．10．（多选题）（2025·高一·黑龙江大庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（

）A．B．平面C．直线与平面所成的角为D．三棱锥外接球表面积为11．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（

）A．圆锥的底面半径为1B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半12．（多选题）（2025·高三·湖北武汉·期中）已知球O是三棱锥的外接球，，则，点D是PB的中点，且，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥最长的棱棱长为 B．平面PABC．球心O到底面PAB的距离为 D．球O的表面积为13．（多选题）（2025·高一·江苏苏州·期中）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（

）A．多面体有12个顶点，14个面B．多面体的表面积为3C．多面体的体积为D．多面体有外接球(即经过多面体所有顶点的球)14．（多选题）（2025·高一·四川绵阳·期末）《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体的棱长为1，则下列命题正确的是（

）A．正方体的内切球的体积等于该牟合方盖的内切球的体积B．该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2∶3C．该牟合方盖的内切球被平面截得的截面面积为D．以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为15．（2025·高一·天津南开·期末）为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱