重难点08 玩转外接球、内切球、棱切球经典问题（十四大题型）（解析版）

重难点08玩转外接球、内切球、棱切球经典问题【题型归纳目录】题型一：正方体、长方体模型题型二：正四面体模型题型三：对棱相等模型题型四：直棱柱模型题型五：直棱锥模型题型六：正棱锥与侧棱相等模型题型七：侧棱为外接球直径模型题型八：共斜边拼接模型题型九：垂面模型题型十：最值模型题型十一：二面角模型题型十二：圆锥圆柱圆台模型题型十三：锥体内切球题型十四：棱切球【方法技巧与总结】技巧总结一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4技巧总结二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．技巧总结三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．技巧总结四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出技巧总结五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．技巧总结六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．技巧总结七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．技巧总结八：共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．技巧总结九：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2技巧总结十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等技巧总结十一：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．技巧总结十二：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．技巧总结十三：锥体内切球方法：等体积法，即技巧总结十四：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形【典型例题】题型一：正方体、长方体模型【例1】（2025·高一·重庆·期中）正方体内切球与外接球体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设正方体的棱长为2a，正方体内切球和外接球的半径分别为r和R,正方体内切球的直径等于棱长，所以2r=2a，即r=a；正方体外接球的直径等于体对角线，所以；所以正方体内切球与外接球体积之比：.故选：B【变式1-1】（2025·高一·云南昆明·期中）已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为三棱锥中，，、两两垂直，所以其外接球半径满足，.故三棱锥的外接球表面积为.故选：D.【变式1-2】（2025·天津武清·模拟预测）已知正方体的棱长为2，其各面的中心分别为点E，F，G，H，M，N，则连接相邻各面中心构成的几何体的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示：设正方体的中心满足：所以该几何体的外接球的球心为，半径为1则外接球表面积为故选：A题型二：正四面体模型【例2】（2025·全国·高三专题练习）棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为的正四面体的外接球的半径为，设正四面体为，过作平面，垂足为，为底面正的中心，则，体高为，由于外接球半径为，利用勾股定理得：，解得，选D．【变式2-1】（2025·河南·西平县高级中学模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，所以正四面体的外接球体积为．故选：A【变式2-2】（2025·河南新乡·二模）在正四面体中，，D，E，F分别为SA，SB，SC的中点，则该正四面体的外接球被平面所截的圆周长为．【答案】【解析】如图所示，过点作平面，垂足为，点必为的中点，则正四面体外接球的球心必在线段上，设点为正四面体外接球的球心，外接球半径为，在等边中，因为，可得，在直角，由，可得，在直角中，可得，即，解得，又由分别为的中点，所以到平面的距离，设截面圆的半径为，则，解得，所以截面圆的周长为．故答案为：题型三：对棱相等模型【例3】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为A． B． C． D．【解析】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，可将其补为一个三个面上对角线分别为，，5的长方体，如图所示：长方体的三边长分别为2，3，4，长方体的外接球即是四面体的外接球，四面体的外接球的半径为，四面体的外接球的表面积为：，故选：．【变式3-1】（2025·高一·安徽·阶段练习）为了求一个棱长为的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.学以致用：(1)如图2，一个四面体三组对棱长分别为，2，，求此四面体外接球表面积；(2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形.【解析】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方体中，使其顶点与长方体顶点重合，如下图：设此四面体所在长方体的棱长分别为a，b，c，则，解得，得，外接球的表面积为.（2）在四面体ABCD中，，，，如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合四面体ABCD的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可.设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则，，，，，，为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形.【变式3-2】如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为A． B． C． D．【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，即，，，解得：，，．外接球的半径．三棱锥外接球的体积．故选：．题型四：直棱柱模型【例4】（2025·天津·一模）如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径.由，可得，则则三棱柱外接球表面积为延长交与，则为四棱锥的高则则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为故选：A【变式4-1】（多选题）（2025·高一·山东青岛·期中）如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（

）A．直三棱柱的体积是1B．直三棱柱的外接球表面积是C．三棱锥的体积与点的位置有关D．的最小值为【答案】ABD【解析】直三棱柱中，，，，如图所示，直三棱柱的体积为，故A选项正确；直三棱柱是长宽高分别为的长方体的一半，外接球的半径为，外接球表面积是，故B选项正确；O是与的交点，则的面积为定值，由平面，到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C选项错误；把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确.故选：ABD【变式4-2】（2025·高二·上海浦东新·期中）已知一个体积为的球内切于直三棱柱（即与三棱柱的所有面均相切）,底面的中有,则该直三棱柱的外接球（即使所有顶点均落在球面上）的表面积为．【答案】【解析】解:由题知，记内切球半径为,外接球半径为,内切圆、外接圆半径为r,R,则,解得,因为该球内切于一个直三棱柱,当且仅当球半径与底面三角形内切圆半径相等,同时棱柱的高恰为球半径的2倍,所以;由题意,设,则在中由余弦定理得,,,所以,由内切圆半径公式,,解得,所以,由正弦定理,,得,而直三棱柱内接于一个球,当且仅当两全等的底面位于距球心距离相同且平行的两个小圆上,显然该两个小圆距球心的距离d应为棱柱高h的一半,所以平面与球心间的距离,且其所在小圆的半径即为其本身外接圆的半径,为,由球的垂径定理,,所以球的表面积为．题型五：直棱锥模型【例5】（2025·高一·江苏南京·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（

）A．26π B．28πC．34π D．14π【答案】C【解析】如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球.由面，所以就是与平面所成的角，则，所以，设四棱锥的外接球的半径为，因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，所以，所以，所以四棱锥的外接球的表面积为.故选：C【变式5-1】（2025·高一·黑龙江七台河·期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，则外接球半径.所以三棱锥外接球表面积.故选：B.【变式5-2】（2025·高一·河北唐山·期中）已知三棱锥中，面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据已知中底面是边长为2的正三角形，且底面，可得此三棱锥外接球，即为以为底面，以为高的正三棱柱的外接球，因为时边长为2的正三角形，可得的外接圆半径为，所以球心到的外接圆圆心的距离为，故球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：B.题型六：正棱锥与侧棱相等模型【例6】（2025·高三·安徽池州·期末）三棱锥中，，，，则三棱锥外接球表面积的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设底面外接圆圆心为，半径为，则，即.设三棱锥高为，球的半径为.由，得球心在上，且，则，当且仅当时等号成立，此时外接球表面积最小，则.故选：B【变式6-1】（2025·高二·江苏南通·阶段练习）已知正三棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥外接球的半径为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】因为球与该正三棱锥的各棱均相切，所以平面截球得到的截面圆与的三边均相切，所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面垂直的直线上，又因为底面边长为，所以底面正三角形的内切圆的半径为，又因为球的半径为1，所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点，如图，过球心作的垂线交于，则，又因为，所以，所以，所以，因为外接圆的半径为，正三棱锥外接球的球心在上，设半径为，所以，即，解得.故选：.【变式6-2】（2025·重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．【答案】【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图：于是得四边形为平行四边形，而，是菱形，在中，，由余弦定理有，即，则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心，因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，，同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上，又，则，解得，设球O的半径为R，则，，中，，即，解得，则球O的表面积为，所以三棱锥外接球的表面积为．故答案为：题型七：侧棱为外接球直径模型【例7】（2025•五华区校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为A． B． C． D．【解析】解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，连接得平面，，，，平面，三棱锥的体积为．故选：．【变式7-1】（2025•红花岗区校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，若该三棱锥的体积为，则该球的表面积A． B． C． D．【解析】解：根据题意作出图形：设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，延长交球于点，则平面．该三棱锥的体积为，，解得，为球的直径，，，球半径．该球的表面积．故选：．【变式7-2】（2025•抚顺校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为A． B． C． D．【解析】解：设球心为，球的半径．，，平面，三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．，，球的表面积为．故选：．题型八：共斜边拼接模型【例8】在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．∴外接球的半径．故．选C．【变式8-1】三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为【解析】是公共的斜边，的中点是球心，球半径为．【变式8-2】在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．【解析】平行四边形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱锥的外接球的直径为，外接球的半径为1，故表面积是．故选：．题型九：垂面模型【例9】（2025·河南·模拟预测）在四棱锥中，侧面底面ABCD，且，，底面ABCD是边长为2的正方形，设P为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥的最大体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】连接交于点，取中点为，连接，作图如下：因为，又为的中点，故为的外心，又平面平面，且面面，又面，故可得面，故；又四边形为正方形，且为对角线交点，故可得，综上所述，，故为四棱锥的外接球的球心.则其外接球半径.又P为该四棱锥外接球表面上的动点，若使得三棱锥的体积最大，则此时点到平面的距离，故其体积的最大值.故选：.【变式9-1】（2025·江西南昌·模拟预测）若体积为的四棱锥的五个顶点都在表面积为的球面上，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，则棱的长为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】设四棱锥的外接球球心为，半径为，则，解得，设四棱锥的高为，则，解得，设的中点为，过点在平面内作，因为平面平面，平面平面，平面，平面，由球的几何性质可知平面，且，则，所以，平面，故的外接圆的半径为，，且，因为，所以，、在的同侧，则为锐角，设，，所以，，，可得，①由余弦定理可得，，②联立①②可解得或.故选：D.【变式9-2】（2025·高三·山东威海·期末）已知三棱锥为中点，侧面底面，则三棱锥外接球的表面积为，过点的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为【答案】【解析】根据球和棱锥的几何性质、面面垂直的性质定理，结合球的表面积公式和圆的面积公式进行求解即可.连接，由可知：和是等边三角形，设三棱锥外接球的球心为，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，是等边三角形，为中点，所以，又因为侧面底面，侧面底面，所以底面，而底面，因此所以是矩形.和是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高，在矩形中，.，连接，所以，所以三棱锥外接球的表面积为；设过点的平面为，当时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，，因此圆的半径为：，所以此时面积为；当点在以为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：，所以截面的面积范围为：，故答案为：；题型十：最值模型【例10】（2025·高一·安徽池州·期中）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，若线段的最小值为，则正方体的外接球的表面积为.【答案】【解析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球与内切球半径分别为，且球心均为正方体的中心，，且线段的最小值为，，正方体的外接球的表面积为.故答案为：【变式10-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，高AA1为3，底面ABCD为长方形且面积为，则该直四棱柱外接球表面积的最小值为.【答案】【解析】设底面边长分别为，，则，另设球半径为，则，即，∴直四棱柱外接球的半径的最小值为2，∴该直四棱柱外接球的表面积的最小值为.故答案为：【变式10-2】（2025·辽宁抚顺·一模）已知三棱柱的顶点都在球O的表面上，且，若三棱柱的侧面积为，则球O的表面积的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可知三棱柱是直三棱柱，设其高为，设，则，，，由余弦定理得，即，设三角形的外接圆半径为，则，所以球的半径，当且仅当时等号成立.所以球的表面积的最小值为.故选：C题型十一：二面角模型【例11】（2025·安徽·芜湖一中模拟预测）已知在菱形中，，把沿折起到位置，若二面角大小为，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过这两点分别作平面、平面的垂线，交于点O，则O就是外接球的球心；取中点E，连接，因为，，所以，因为和是正三角形，所以，由得，所以由，即球半径为，所以球体积为．故选：C.【变式11-1】（2025·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（

）A．12π B．13π C． D．【答案】B【解析】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角，所以，所以，因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为，则，解得，所以外接球的直径为，，球表面积为．故选：B．图1图2题型十二：圆锥圆柱圆台模型【例12】（2025·高一·浙江宁波·期中）圆台的上下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的外接球表面积为．【答案】【解析】设圆台的上底半径为，则下底半径是，高为，作轴截面如图所示：又母线长为，，解得．圆台的上底面半径是3，下底面半径是4，高是1，设圆台外接球的半径为，则，，又，联立解得．圆台的外接球表面积为．故答案为：【变式12-1】（2025·高一·陕西西安·期末）底面半径为的圆锥侧面展开图的圆心角大小为，则此圆锥外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可作图如下：设圆锥的母线长为，由题意可得，解得，则圆锥的高，圆锥外接球的半径设为，则，解得，故圆锥外接球的表面积.故选：A.【变式12-2】（2025·全国·高三专题练习）如图，半径为4的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图.设圆柱底面半径为，球的半径与圆柱底面夹角为，则，，圆柱的高，圆柱的侧面积为，当且仅当时，，圆柱的侧面积最大，为，球的表面积与圆柱的表面积之差为.故选：D．题型十三：锥体内切球【例13】（2025·高二·湖南常德·期中）在棱长为2的正四面体中，正四面体的内切球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正四面体底面的中心记为点，连接，.由正四面体的性质可得：面.因为正四面体棱长为2，所以底面三角形的高为，则，所以正四面体的高.设正四面体内切球的半径为，球心为.由等体积法可得：，即，解得：.所以正四面体的内切球表面积为.故选：B.【变式13-1】（2025·高二·浙江宁波·期末）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，则的长度为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示：设正四棱锥内切球的球心为O，半径为R，P为内切球与侧面PAB的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r，E为AB中点，底面正方形ABCD中心，因为正四棱锥S-ABCD的底面边长为4，侧棱长为，所以正四棱锥侧面三角形的高为，正四棱锥的高为，正四棱锥的表面积为，正四棱锥的体积为，由等体积法得：，解得，因为，所以，由正四棱锥的定义知：内切圆与四个侧面相切，四个切点构成正方形，所以，故选：A【变式13-2】（多选题）（2025·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，下面结论正确的是（

）A．以四个球球心为顶点的四面体体积为B．以四个球球心为顶点的四面体体积为C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为【答案】ACD【解析】设半径为2的两球球心为A，B；半径为4的两球球心为C,D，易知，，,取中点，连接，因为，点为中点，所以，，则，故，则，因为平面，所以平面，则，故A正确，B不正确；若另一小球与这四个球都外切，设小球中心为，半径为，则点在四面体内，取中点，中点，连接，则，，又，，所以，则球心在上，所以，同理，代入解得或（舍），故C正确；若另一小球与这四个球都内切，设小球中心为，半径为，则，，且点在上，所以，同理，代入得或（舍），故D正确.故选：ACD.题型十四：棱切球【例14】（多选题）（2025·高三·江苏扬州·开学考试）我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（

）A．正方体的棱切球的半径为B．正四面体的棱切球的表面积为C．等长正六棱柱的棱切球的体积为D．等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为【答案】BCD【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，正方体的棱切球的半径为面对角线的一半，即为，选项A错误；如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，把正四面体ABCD放到正方体中，则正方体的棱长即为正四面体的棱切球的直径，所以正四面体的棱切球的半径为，即正四面体的棱切球的表面积为，选项B正确；如图，等长正六棱柱的棱切球的直径为AB，即直径为2，半径为1，所以等长正六棱柱的棱切球的体积为，选项C正确；由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆，则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为，每个侧面正三角形的内切圆的半径为正三角形高的，即，所以四个侧面正三角形的内切圆的面积为，所以等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面截得的截面面积之和为，选项D正确.故选：BCD.【变式14-1】（多选题）（2025·高一·浙江·期中）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（

）A．球的体积为B．球内接圆柱的侧面积的最大值为C．球在正方体外部的体积小于D．球在正方体外部的面积大于【答案】BCD【解析】A.依题意，得棱切球的半径为，则球的体积为，错误B.记球的内接圆柱的底面半径为，则内接圆柱的高为：，则内接圆柱的侧面积为：，等号成立时，故球的内接圆柱的侧面积最大值为：，正确C.球在正方体外部的体积小于球体积与正方体内切球体积之差，即，正确D.球在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积.每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积，则内接圆锥的底面半径为，高为，得圆锥的母线长为：，得内接圆锥的侧面积为：，所以6个球冠的表面积大于，正确故选：BCD【变式14-2】（多选题）（2025·高一·山东临沂·期中）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（

）

A．正方体外接球的直径为B．点在线段上运动，则四面体的体积不变C．与所有12条棱都相切的球的体积为D．是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是【答案】ABC【解析】选项A：连接，则为正方体外接球的直径，又，则正方体外接球的直径为.判断正确；选项B：点在线段上运动，点到平面的距离恒为1，则四面体的体积不变.判断正确；选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为，该球体积为，则与所有12条棱都相切的球的体积为.判断正确；选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点，是球面上任意一点，则长的最小值是.判断错误.故选：ABC

【过关测试】1．（2025·高一·江苏盐城·期末）《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为堑堵；将“底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥”称为阳马.如图，在堑堵中，，，，阳马的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以，又为直棱柱，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又矩形外接圆的直径为，设的外接球的半径为，又，，所以，所以，所以阳马的外接球的表面积.故选：C2．（2025·高一·四川绵阳·期末）在边长为4的正方形中，，分别为，的中点.将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意三棱锥中，两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥中补成一个长方体，如图，则长方体的外接球就是三棱锥的外接球，，，则外接球半径为，表面积为．故选：D．3．（2025·高三·全国·阶段练习）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为A． B．C． D．【答案】A【解析】连正四棱柱，平面为与底面所成角，，在中，，，正四棱柱的外接球半径为，其表面积为.故选:A.4．（2025·高一·四川南充·阶段练习）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为4，则下列说法正确的是（

）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．勒洛四面体的体积是C．勒洛四面体内切球的半径是D．若是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为2【答案】C【解析】A.由对称性可知，勒洛四面体的最大截面是经过正四面体的任意三个顶点的平面截勒洛四面体而得，如图所示，故A选项错误；B.为的中心，是正四面体的外接球球心，连接，设正四面体的外接球半径为,在中，，在中，，得，则正四面体的外接球的体积是，而勒洛四面体得体积小于其外接球的体积，故B错误；C.也为勒洛四面体的中心，连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则为其内切球的半径.因，，则，故C正确；D.分别为正四面体的棱的中点，连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则为最大值.，同理，则为等腰三角形的高，则，为等腰三角形的高，，由对称性可知，，则，故D选项错误.故选：C.5．（2025·高一·福建龙岩·期末）已知球O内切于圆台EF，其轴截面如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，，且，则圆台EF的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】根据圆和等腰梯形的对称性知道，分别为上下底的中点.连接，则，过于.四边形为矩形．由于,则，则.由切线的性质知道.则.，．代入计算可得，.故选：D.6．（2025·高二·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上､下底面半径分别为，且，则此圆台的内切球（与圆台的上､下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆台上､下底面圆心分别为，则圆台内切球球心一定在中点处，设球与母线切于点，（为球的半径），与全等，，同理，圆台的内切球半径内切球的表面积.故选：B.7．（2025·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】球表面积为，则该球半径为，设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为，则此圆锥的轴截面面积为，解之得，则该圆锥的侧面积为故选：B8．（2025·全国·模拟预测）正四面体的棱长为2，则其棱切球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】把正四面体放在正方体中，如图，则正方体的内切球即为正四面体的棱切球，即正方体的棱长为正四面体的棱切球的直径，因为，所以正方体的棱长为，棱切球的半径为，所以正四面体的棱切球的体积为.故选：C.9．（2025·高一·广东佛山·期末）已知正四棱台，半球的球心在底面的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，为下底面，记上底面的中心为，过作垂直于平面，垂足为，易知点在上，记半球与分别相切于点，由正四棱台和球的对称性可知，为的中点，因为，所以，，记半球的半径为，则，所以，，分别在中，由勾股定理得，，因为，所以，解得或（舍去），所以半球的表面积为.故选：C10．（多选题）（2025·高一·黑龙江大庆·期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（

）A．B．平面C．直线与平面所成的角为D．三棱锥外接球表面积为【答案】AD【解析】对于A，连接，则，因为，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，连接，由正方体得，，又，所以，因为平面，即与平面不平行，所以与平面不平行，故B错误；对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且，所以直线与平面所成的角不是，故C错误；对于D，由正方体得，平面，且，，所以三棱锥外接球的直径，所以，外接球表面积为，故D正确；故选：AD．11．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（

）A．圆锥的底面半径为1B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半【答案】CD【解析】如图，设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为，由题意，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，则，解得，，故A错误；圆柱的体积为，外接球体积为，则，故B错误；圆柱底面面积为，外接球表面积，则，故C正确；圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为，所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.故选：CD.12．（多选题）（2025·高三·湖北武汉·期中）已知球O是三棱锥的外接球，，则，点D是PB的中点，且，则下列说法正确的是（

）A．三棱锥最长的棱棱长为 B．平面PABC．球心O到底面PAB的距离为 D．球O的表面积为【答案】ABD【解析】如图，因为，所以，得，由D是PB的中点，得，又，所以，得，又，所以平面，故B正确；由，得，故三棱锥最长的棱棱长为，故A正确；取等边三角形的中心G，连接OG，则，即球心O到底面的距离为1，故C错误；底面三角形外接圆的半径，外接球的半径，所以球的表面积为，故D正确.故选：ABD.13．（多选题）（2025·高一·江苏苏州·期中）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中正确的是（

）A．多面体有12个顶点，14个面B．多面体的表面积为3C．多面体的体积为D．多面体有外接球(即经过多面体所有顶点的球)【答案】ACD【解析】一个棱数为24的半正多面体有12个顶点，14个面；可将半正多面体补成棱长为1的正方体，故其顶点是正方体各棱的中点．半正多面体的棱长为，表面积为，体积可看作正方体的体积减去八个三棱锥的体积，则，又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以有外接球，故选：ACD.14．（多选题）（2025·高一·四川绵阳·期末）《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体的棱长为1，则下列命题正确的是（

）A．正方体的内切球的体积等于该牟合方盖的内切球的体积B．该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2∶3C．该牟合方盖的内切球被平面截得的截面面积为D．以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为【答案】AB【解析】对于选项A：因为正方体的内切球与正方体的两个内切圆柱的侧面和底面都相切，又因为牟合方盖与的两个顶点和侧面四个曲面刚好与正方体的侧面相切，故正方体的内切球内切于牟合方盖，所以正方体的内切球体积等于该牟合方盖的内切球的体积，故A正确；对于选项B：由选项A可知：该牟合方盖的内切球的半径为，体积为，其中一个圆柱体的底面半径为，高为1，体积为，所以该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为，故B正确；对于选项C：因为四边形为正方形，则，平面，平面，则，，平面，平面，则，同理可证，，所以，平面，设交平面于点，则平面，因为，易知是边长为的等边三角形，则，由，所以，，易知正方体的内切球球心为的中点，且，所以，，而正方体的内切球半径为，所以，正方体的内切球被平面截得的截面圆半径为，所以，截面面积为，故C错误；对于选项D，以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积恰为该球体积的，即为，该牟合方盖的内切球的体积为，因此，所求体积之比为，故D错误.故选：AB.15．（2025·高一·天津南开·期末）为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则，．

【答案】【解析】如图，设两个正方形的中心为，连接，

因为旋转了45°，所以,由对称性可设，，所以，则，所以,该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径,所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为，外接球的半径为,，故答案为：；.16．（2025·高二·四川资阳·开学考试）如图，在边长为6的正方形中，B，C分别