特训03 平面向量、解三角形的几何应用 压轴题（七大题型）（原卷版）

特训03平面向量、解三角形的几何应用压轴题（七大题型）目录：题型1：求模长的应用题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合题型3：平面向量坐标表示的应用题型4：解三角形有关的化简、求值等题型5：解三角形求最值问题题型6：设角化角求最值综合题题型7：题型1-4综合题题型1：求模长的应用1．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.(1)若，当k为何值时，与垂直？(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求最小值.(3)若的最小值为1，求的值.2．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，．(1)当时，求的值；(2)当时，求的值；(3)求的取值范围．题型2：平面向量线性、数量积运算，基本定理综合3．如图，在中，，，点为和的交点，设，．(1)设，求，的值；(2)若，，，求；(3)若在上，，且，求的取值范围．4．在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若点为的外心，求、的值；(3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．5．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，且满足，线段与线段交于点.

(1)若，求实数，的值；(2)若，求实数的值；(3)如图2，过点的直线与边，分别交于点，，设，设的面积为，四边形的面积为，求的取值范围．题型3：平面向量坐标表示的应用6．如图，点分别是矩形的边上的两点，，.

(1)若是线段靠近的三等分点、是的中点，求；(2)若，求的范围；(3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.7．如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.(1)在仿射坐标系中①若，求；②若，且与的夹角为，求；(2)如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值.8．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．(1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域；(2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值；(3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．题型4：解三角形有关的化简、求值等9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记.①当时，设的面积为S，求S的最小值：②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由.10．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.(1)当时，称为调和点列，若，求的值；(2)①证明：；②已知，点为线段的中点，，，求，.题型5：解三角形求最值问题11．在中，角，，所对的边分别是，，，其面积记为，且满足(1)求角；(2)为边上一点，，且求的最小值.(3)圆是外接圆，是圆外一点，，分别切圆于点，，若，求的最小值.12．已知是直线外一点，点，在直线上（点，与点，任一点均不重合）.我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.并且，记.记的内角，，的对边分别为，，.已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到.(1)若，求.(2)射线上的点满足.①求；②求的最小值.13．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.(1)已知，，.①求；②若的平分线交于点，求线段的长；(2)若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且，求的取值范围；(3)若，令，试求的最大值.题型6：设角化角求最值综合题14．如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km的圆形区域，道路，成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB，点A，B分别在和上，修建的木栈道AB与道路，围成三角地块OAB．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．

(1)当为正三角形时求修建的木栈道AB与道路，围成的三角地块OAB面积；(2)若的面积，求木栈道AB长；(3)如图2，设，①将木栈道AB的长度表示为的函数，并指定定义域；②求木栈道AB的最小值．15．如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．(1)若，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；(2)在中，记的对边分别为a，b，c，且满足①求证：；②求的最小值．16．在面积为的中，内角所对的边分别为，且．(1)若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；(2)若且的外接圆的直径为8，分别在线段上运动（包括端点），为边的中点，且，的面积为．令，求的最小值．题型7：题型1-