拓展10-1 三角恒等变换高频题型专攻（解析版）-1

拓展10-1三角恒等变换高频题型专攻一、给角求值五、三角恒等变换与三角函数的结合二、给值求值六、三角恒等变换与向量的结合三、给值求角七、三角恒等变换的实际应用四、三角函数式的化简与证明八、辅助角公式的高级应用一、给角求值【例1】（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】.故选：A【例2】（多选）下列式子的运算结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对于A：，故A正确；对于B：，所以，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：ABC【变式1-1】计算（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】因为.故选：D.【变式1-2】．【答案】/【详解】因为，则，所以.故答案为：.【变式1-3】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【详解】由题意知，，则.故选：C二、给值求值【例3】已知，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，且，可得，所以.故选：A.【例4】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，，即，可得所以.故选：D.【变式2-1】已知，则.【答案】【详解】.故答案为：.【变式2-2】已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】已知，则，所以，联立，结合，解得，则，故.故选：D.【变式2-3】已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，且，可得，则，，所以，故选：A.三、给值求角【例5】若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，可得，又，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.故选：C【例6】已知，其中．求：(1)的值；(2)求角的值【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为且，可得，所以则.（2）解：由（1）知，因为，可得，又因为，所以，可得，所以，所以.【变式3-1】已知，，，，则．【答案】【详解】由得，因，则，则，因为，，则，则，则，则，则，，则.故答案为：.【变式3-2】若，则.【答案】/【详解】，故由，得.又，又，则，又，所以.故答案为：.【变式3-3】已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得：.（2）由（1）可知：，则，∵，，则，，可得，故四、三角函数式的化简与证明【例7】化简与证明：(1)．(2)．【答案】(1)(2)证明见详解【详解】（1）.（2）左边.左边右边，得证.【例8】化简：.【答案】【详解】原式.【变式4-1】化简或证明：(1)(2)【答案】(1)(2)证明见详解【详解】（1）原式（2）左边右边.【变式4-2】(1)证明恒等式：(2)化简：【答案】(1)证明过程见解析(2)【详解】（1）得证.（2）【变式4-3】化简：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）原式．∵，∴，∴，∴原式．（2）原式．（3）原式．五、三角恒等变换与三角函数的结合【例9】函数在区间上的一个对称中心是，则的值为.【答案】【详解】由题意得，，令，得，当时，，，故的值为.故答案为：.【例10】（多选）已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（

）A．点是函数的一个对称中心B．函数在区间上单调递增C．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象D．函数的图象关于直线对称【答案】ABD【详解】由题可知，最小正周期为，，，令，点是的一个对称中心，A正确；，函数在区间上单调递增，B正确；，C错误；，当，函数的图象关于直线对称，D正确.故选：ABD.【变式5-1】设函数，若是奇函数，则．【答案】/【详解】因为所以，因为是奇函数，所以，，又，所以，，故答案为：.【变式5-2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在上的值域为C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称D．若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为【答案】BC【详解】函数，对于A，函数的最小正周期为，A错误；对于B，当时，，，则，B正确；对于C，，是偶函数，C正确；对于D，当时，，函数在上递增，函数值从1增大到，在上递减，函数值从减小到，程在上恰好有一个根，即直线与函数在上的图象只有一个交点，或，即或，D错误.故选：BC【变式5-3】已知函数．(1)求函数的最小值，及取最小值时的的值；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间．【答案】(1)当，时，取得最小值：.(2)最小正周期为：；单调递减区间为：，【详解】（1）.所以的最小值为，此时：，，即，.（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向右平移个单位，得到.由，得函数的最小正周期为.由，得，，所以，.所以函数的单调递减区间为：，.六、三角恒等变换与向量的结合【例11】已知向量，若，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【详解】由得两边平方，，又，，.故选：B.【例12】设在平面上有两个向量与不共线.(1)求证：向量与垂直；(2)当向量与的模相等时，求的大小.【答案】(1)证明见解析(2)或.【详解】（1）由已知得，则因，故与垂直.（2）依题意，，两边平方得，即，因故得.即，整理得，，因，则，故得或，解得或.【变式6-1】（多选）已知向量，则下列命题正确的是（

）A．存在，使得 B．当时，与垂直C．对任意，都有 D．当时，【答案】BD【详解】对于A，若，则，由于，故不存在，使得，A错误，对于B，当时，此时，故与垂直，B正确，对于C，，当时，此时，故C错误，对于D，当，则，且为锐角满足，故,，故D正确故选：BD【变式6-2】如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则.【答案】【详解】以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，由，，得，，，，由，得点，由，得点，即，，而，由，得，解得，所以.故答案为：【变式6-3】如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为(1)若在该坐标系下，，计算的大小(2)若在该坐标系下，已知，，求的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，，，由，，得，所以，即；（2）由题意可知，所以，，所以，令，，又因为，且，所以，所以，即，又因为函数在单调递增，即时，函数取到最大值3，即，则有，所以当时，的最大值为.七、三角恒等变换的实际应用【例13】露天电影就是在室外放的电影，在我国七十年代开始流行，观看者不需要买票，可以随意进场观看.已知某地在播放露天电影，幕布上、下边缘距离为d米，幕布的下方边缘距离观众水平视线上方a米，为使看电影时的视角（即从幕布上、下边缘引出的光线在人眼光心处所成的夹角）最大，应坐在距离幕布米处.（用a，d表示）【答案】【详解】如图，设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，则由条件可得，，设，则，，则，当且仅当，即时，“”成立，又因为在上为增函数，所以坐在距离幕布米处，视角最大.故答案为：.【点睛】关键点点睛：设分别为幕布上下边缘，观影者位于点处，设，得出，，再根据两角差的正切公式化简是解决本题的关键.【例14】如图，有一块矩形草坪，，，欲在这块草坪内铺设三条小路、和，要求是的中点，点在边上，点在边上，且.（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路的铺设费用均为元每米，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？【答案】（1），；（2）当米时，铺路总费用最低.【详解】（1）中，，，，.中，，，，.又，，，当点在点时，这时角最小，求得此时；当点在点时，这时角最大，求得此时.故此函数的定义域为；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可.由（1）得，，，设，因为，则，，当时，，因为，所以，，，从而，当时，即时，，所以当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.【变式7-1】在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为.【答案】【详解】，，∴，，，∵，∴，∴当时，x＋y的最小值为.故答案为：.【变式7-2】从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治通宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径为，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为．(1)求面积关于的函数表达式；(2)求面积最小值．【答案】(1)，，锐角满足(2)【详解】（1）解：由图可知，小正方形的边长为，且，大正方形的边长为，所以，，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，可得，设且满足，所以，，，锐角满足.（2）解：，锐角满足，因为，则，且，则，因为，且，所以，，所以，此时，则，因此，面积的最小值为．【变式7-3】某形场地，，米（、足够长）.现修一条水泥路在上，在上），在四边形中种植三种花卉，为了美观起见，决定在上取一点，使且.现将铺成鹅卵石路，设鹅卵石路总长为米.

（1）设，将l表示成的函数关系式；

（2）求l的最小值.【答案】（1）见解析；（2）20.【详解】试题分析：（1）设，可得：，；（2）利用二次函数求最值即可.试题解析：（1）设米，则即,（2），当，即时，取得最小值为，的最小值为20.答：的最小值为20.八、辅助角公式的高级应用【例15】若函数的两个零点分别为和，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数，其中，由，得，而，因此，即，则即，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.【例16】已知，若为的最小值点，求．【答案】【详解】．其中，依题意，得，∴，∴．【变式8-1】已知函数，若存在满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数，其中，，，，是在内的两根，又，，则在有对称轴满足，故有，则，那么