第二章：导数及其应用重点题型复习（解析版）

第二章：导数及其应用题型一平均变化率、瞬时变化率1．物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（

）A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度【答案】C【分析】由瞬时变化率的物理意义判断．【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度.故选：C2．函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均变化率的定义即可求得.【详解】由平均变化率定义得，故选：C3．函数从到的平均变化率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平均变化率的定义直接进行计算即可求解.【详解】由题得所求平均变化率为.故选：C.4．（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（）A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为【答案】BC【分析】利用函数关系式计算可判定A、B，由平均速度、瞬时速度的求法可判定C、D选项.【详解】前内，，，故A错误；此时球在垂直方向上的平均速度为，故C正确；在时间内，，，故B正确，此时间内球在垂直方向上的平均速度为，故D错误.故选：BC．题型二导数的概念及其意义1．（多选）已知函数.则（

）A．是的对称轴 B．的最小正周期为C．在区间上单调递减 D．在点处的切线方程为【答案】BD【分析】化简可得，再根据余弦函数的性质逐项分析判断ABC即可；由导数的意义可得D正确.【详解】，对于A，由于，则不是的对称轴，故A错误；对于B，函数的最小正周期为，故B正确；对于C，当时，，由余弦函数的性质可知，在区间上单调递增，故C错误；对于D，，，则在点处的切线方程为，故D正确．故选：BD2．曲线过坐标原点的两条切线的方程为．【答案】，【分析】分两种情况，分别设切点再结合切线斜率相等得出切点，最后应用点斜式即可得出切线方程，最后结合对称性得出时切线.【详解】先求当时，曲线过原点的切线方程，设切点坐标为，则由，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以，解得，代入，得，所以切线斜率为，切线方程为．因为为偶函数，所以时切线与的切线关于轴对称，可求得当时的切线方程为．综上可知，两条切线方程为．故答案为：．3．已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为.【答案】9【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解.【详解】设切点为，又因为曲线，则，直线斜率为1，所以，又因为，所以，所以，因为为正实数，所以，当且仅当，即时，则取最小值为9.故答案为：9.4．曲线上的点到直线的最短距离是．【答案】【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论.【详解】与平行的直线和相切，则斜率为，因为，所以，令，解方程得，代入直线方程得切点，则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离，由点到直线的距离公式知，故答案为：.题型三导数的计算1．设函数在处的导数存在，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数的定义求得正确答案.【详解】.故选：D2．（多选）下列求导数运算正确的有（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据常见基本初等函数的求导法则得到答案.【详解】A选项，，故A正确；B选项，，故B正确；C选项，，故C错误；D选项，，故D错误．故选：AB3．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由导数的四则运算求解即可；（2）由导数的四则运算求解即可；（3）法一，法二：由导数的四则运算求解即可；【详解】（1），（2）（3）方法一：，；方法二：；4．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由复合函数的求导法则求解即可；（2）由复合函数的求导法则求解即可；（3）由复合函数的求导法则求解即可；【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则可得：.所以；（2）函数可以看作函数和的复合函数，由复合函数的求导法则可得：.所以（3）函数可以看作函数和的复合函数，，所以.题型四导数求单调性1．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据的正负分情况讨论，再结合函数图象判断的正负，进而求解不等式.【详解】1.当时，此时不等式等价于.从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象，在上单调递增，即此时当时，满足题意.2.当时，此时不等式等价于.由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象，在上单调递减，即此时当时，，满足题意.综上，不等式的解集是，故选：B.2．函数的单调递减区间为．【答案】/【分析】先求出导函数，再根据，计算求解即可.【详解】因为函数，定义域为，所以，令，所以，的单调递减区间为.故答案为：或.3．设函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为增函数，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）法一：参变分离得到在上恒成立，构造函数求最值即可；法二：构造函数，通过分类讨论求最值即可求解；【详解】（1）当时，，所以，，，∴曲线在处的切线方程为，整理得，，∴曲线在处的切线方程为.（2），，是增函数，即在上恒成立，方法一：即在上恒成立，所以，设，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取得极大值，也是最大值，∵，∴的取值范围是.方法二：即在上恒成立，所以，设，，则，，①若，则，在上单调递增，当趋近于0时，趋近于，即不恒成立，所以在上不单调递增，与题意不符，舍去.②若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，则当时，取得极小值，也是最小值，∴，解得，∴的取值范围是.4．已知函数.(1)为的导函数，则当时，求的值；(2)证明：有且仅有一条图象的切线过坐标原点；(3)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）求导函数即可；（2）先设切点，求曲线在切点处的切线方程，再将点代入得出关于的方程，求证该方程仅有一解即可；（3）求导，分类讨论的正负性.【详解】（1）当时，，故，故.（2）证明：函数的定义域为，而，设为切点，则切线的斜率，切线方程为，若切线过点，则，化简得，方程只有一解为，所以有且仅有一条图象的切线过坐标原点.（3）当时，则，函数在上单调递增；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，综上，当，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.题型五导数求极值、最值1．在等比数列中，是函数的极值点，则（

）A． B．4 C．3 D．【答案】D【分析】首先通过函数求导得出极值点所满足的方程，利用韦达定理得到与的乘积和和，再根据等比数列的性质求出的值，结合的正负确定的值.【详解】已知，对求导可得.因为，是函数的极值点，所以，是方程的两个根.所以，.所以，则.由，且，可知与同号，又因为，所以，.在等比数列中，奇数项的符号相同，所以，因此.故选：D.2．（多选）定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．函数在区间单调递减B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】BD【分析】由导函数与原函数图象间关系可判断各选项正误.【详解】对于A，由图，当时，，则在区间单调递增，故A错误；对于B，由图，当时，，则在区间单调递减，故B正确；对于C，由图，，则在处不取极值，故C错误；对于D，由图，当时，；时，.则在区间上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，故D正确.故选：BD3．设函数，曲线在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求的极值.【答案】(1)，(2)没有极小值，没有极大值【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程求解即可；（2）先根据导数符号与函数单调性之间的关系，求出函数的单调性，进而求的极值.【详解】（1），，，曲线在处的切线方程为，整理得.曲线在处的切线方程为.，解得，.（2）由（1）得，定义域为，.，，在上单调递减，没有极小值，没有极大值.4．已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求函数的单调区间和极值．【答案】(1)，；(2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值，极小值；【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义确定点坐标求出，代入函数解析式确定值；（2）对函数求导，根据导数的正负，确定函数的单调区间，进而确定函数的极值点求得极值.【详解】（1）由已知可得，因为直线的斜率为，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函数的定义域为．由（1）知，，令，解得或，由得函数的单调递增区间为和；由得函数的单调递减区间为所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.题型六导数的实际应用1．在等比数列中，是函数的极值点，则（

）A． B．4 C．3 D．【答案】D【分析】首先通过函数求导得出极值点所满足的方程，利用韦达定理得到与的乘积和和，再根据等比数列的性质求出的值，结合的正负确定的值.【详解】已知，对求导可得.因为，是函数的极值点，所以，是方程的两个根.所以，.所以，则.由，且，可知与同号，又因为，所以，.在等比数列中，奇数项的符号相同，所以，因此.故选：D.2．（多选）定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．函数在区间单调递减B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值【答案】BD【分析】由导函数与原函数图象间关系可判断各选项正误.【详解】对于A，由图，当时，，则在区间单调递增，故A错误；对于B，由图，当时，，则在区间单调递减，故B正确；对于C，由图，，则在处不取极值，故C错误；对于D，由图，当时，；时，.则在区间上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，故D正确.故选：BD3．设函数，曲线在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求的极值.【答案】(1)，(2)没有极小值，没有极大值【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程求解即可；（2）先根据导数符号与函数单调性之间的关系，求出函数的单调性，进而求的极值.【详解】（1），，，曲线在处的切线方程为，整理得.曲线在处的切线方程为.，解得，.（2）由（1）得，定义域为，.，，在上单调递减，没有极小值，没有极大值.4．已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求函数的单调区间和极值．【答案】(1)，；(2)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值，极小值；【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义确定点坐标求出，代入函数解析式确定值；（2）对函数求导，根据导数的正负，确定函数的单调区间，进而确定函数的极值点求得极值.【详解】（1）由已知可得，因为直线的斜率为，所以，所以．令中得，故，又，所以，所以．（2）函数的定义域为．由（1）知，，令，解得或，由得函数的单调递增区间为和；由得函数的单调递减区间为所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值.题型七导数求切线问题1．若直线是曲线的一条切线，则k的值为（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，解方程可得，可得结果.【详解】设切点坐标为，易知，因此，所以切线方程为，即，可得，即，可得，所以.故选：D2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数的几何意义及直线的斜率公式结合图形可得结果.【详解】根据导数的几何意义，如图，分别表示在点处切线的斜率,又，由图可知，故选：B.3．若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】函数的定义域为，由在点处的切线方程是得切线斜率为2，，由曲线，得，故，解得，又因为，故，所以，故答案为：4．已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为．【答案】或【分析】先根据题干中的题意求出曲线在点处的切线，又切线与曲线相切，联立切线和曲线方程利用即可得到结果.【详解】设，则，易得曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，即．又因为该直线与曲线相切，所以该直线与曲线只有一个公共点．由得，则，解得，则，所以点的坐标为或．故答案为：或题型八构造函数1．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，∴为增函数，为偶函数，为奇函数，∴在-∞,0上为增函数，∵，若，，所以；若，，在-∞,0上为增函数，可得，综上得，不等式的解集是.故选：C.2．已知为偶函数，且，令，若时，，关于的不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】先对函数求导，根据题中条件，判定时，函数单调递增，根据函数奇偶性，得到在上单调递减；结合函数奇偶性与单调性，即可求出不等式的解集.【详解】因为，则，当时，，所以，即函数在上单调递增；又为偶函数，所以在上单调递减；因为，所以，则不等式可化为，则，即，解得或.故选：A.【点睛】本题主要考查由导数的方法判定函数单调性，考查由函数奇偶性与单调性解不等式，属于常考题型.3．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（

）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]【答案】A【分析】首先根据ef（x）＞ex，构造函数，对其求导判断单调性即可。【详解】由题意得：令因为f'（x）＞f（x），所以，即在R上为增函数，因为ef（x）＞ex即,所以故选:A【点睛】本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。4．已知函数的定义域为，其导函数是．若恒成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】构造函数，判断函数为单调递增函数，根据函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，所以函数在定义域内为单调递增，因为，所以关于的不等式可转化为，即，因为，所以，即不等式的解集为.故选：A题型九零点问题1．（多选）（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）设函数，则（

）A．有三个零点B．是的极大值点C．曲线为轴对称图形D．为曲线的对称中心【答案】BD【分析】利用导数判断出的单调性，求出极值可得的大致图象可判断ABC；求出可判断D.【详解】对于A，令，解得或，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处有极大值，为，在处有极小值，为，又，的大致图象如下

所以有两个零点，故A错误；对于B，由A选项可知是的极大值点，故B正确；对于C，由A选项可知，当时，，当时，，所以曲线不是轴对称图形，故C错误；对于D，，所以为曲线的对称中心，故D正确.故选：BD.2．（2025·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为和的图象有两个交点，由导数求得hx的单调性并求得最大值即可得出结论.【详解】由得，则问题转化为和的图象有两个交点，而，令h'x>0，解得，令h'故hx在上单调递增，在单调递减，则，hx

结合图象可知，的取值范围是故选：D3．（2024·江西抚州·三模）函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数.(1)若，求的值和函数的单调区间；(2)若，讨论的零点个数.【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为和.(2)当时，有三个零点；当时，有两个零点；当时，有一个零点.【分析】（1）先得，，根据得，进而利用导函数求单调区间；（2）先由得，进而得函数的极小值为，极大值为，进而根据极小值与零比较可判断零点个数.【详解】（1）由题可知，，，，解得.所以，.令，得或；令，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和.（2）由（1）可知，，，，所以.令，解得或；令，解得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为和，所以的极小值为，的极大值为.当时，，当时，，故当，即时，有三个零点；当，即时，有两个零点；当，即时，有一个零点.4.（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且，由解得：；由解得：，所以的增区间为，减区间为．（2）［方法一］：【最优解】放缩法当时，.设，则.当时，；当时，.所以是的最小值点.故当时，.因此，当时，.［方法二］：【通性通法】隐零点讨论因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以．设，则．所以在区间内单调递减，故，即成立．［方法三］：分离参数求最值要证时，即，则证成立．令，则．令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减．所以，而，所以恒成立，原命题得证．［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以．由，得．．当且仅当，即时，，所以．题型十极值点偏移问题1．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．【答案】(1)在上单调递增，上单调递减，(2)见解析【分析】（1）求出f'（2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对hx求导可得，又，再由在1,+∞上单调递减，可得，即可证明.【详解】（1）由题意可得，所以，的定义域为0,+∞，又，由，得，当时，f'x>0，则在0,1当时，f'x<0，则在1,+（2）由，得，设，，由，得，当时，，则在0,1上单调递增，当时，，则在1,+∞上单调递减，又，，且当趋近于正无穷，趋近于，的图象如下图，所以当时，方程有两个根，证明：不妨设，则，，设，，所以hx在0,+∞又h1=0，所以，即，又，所以，又，，在1,+∞上单调递减，所以，故.【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对hx求导，得到hx的单调性和最值可证得，即可证明.2．（2024·云南·二模）已知常数，函数.(1)若，求的取值范围;(2)若、是的零点，且，证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，求出函数的最小值，依题意，即可求出的取值范围；（2）由（1）不妨设，设，利用导数说明函数的单调性，即可得到，结合及的单调性，即可证明.【详解】（1）由已知得的定义域为，且，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增.所以在处取得极小值即最小值，，，，即的取值范围为.（2）由（1）知，的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.、是的零点，且，、分别在、上，不妨设，设，则当时，，即在上单调递减.，，即，，，，，又，在上单调递增，，即.【点睛】方法点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.题型四：极值点偏移-比（差）值换元1．（2024·云南昆明·二模）设，为函数（）的两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出定义域，求导，得到的单调性和极值情况，根据函数零点个数，得到，求出，结合题目条件，得到当时，，根据零点存在性定理得到在内存在唯一零点，同理得到在内存在唯一零点，从而求出答案；（2）设，由可得，令，故，，推出要证，即证，构造，，求导，对分子再构造函数，证明出，在定义域内单调递减，故，即，证明出结论.【详解】（1）的定义域为R，，当时，f'x<0，当时，f故在内单调递减，在单调递增，故要使有两个零点，则需，故，由题目条件，可得，当时，因为，又，故在内存在唯一零点，又，故在内存在唯一零点，则在R上存在两个零点，故满足题意的实数的取值范围为；（2）证明：由（1）可设，由可得，令，则，所以，故，所以，要证，即证，即证，因为，即证，即，令，，，令，则，当时，，当时，，故在0,1内单调递减，在1,+∞单调递增，所以，所以，令得，故，在定义域内单调递减，故，即，，，则，证毕．【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方2．（2024·河南·二模）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调性；（2）（i）将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；（ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论.【详解】（1）当时，，则；令，解得：或，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减.（2）（i）由得：，恰有个正实数根，恰有个正实数根，令，则与有两个不同交点，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；则图象如下图所示，当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为；（ii）由（i）知：，，，，，不妨设，则，要证，只需证，，，，则只需证，令，则只需证当时，恒成立，令，，在上单调递增，，当时，恒成立，原不等式得证.【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于的不等式恒成立.3．（2024·全国·模拟预测）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.【答案】(1)无最小值，最大值为(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解.（2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明.【详解】（1）由题意得，则.令f'x>0，解得；令f'∴fx在上单调递增，在上单调递减，，∴fx无最小值，最大值为（2），则，又有两个不同的极值点，欲证，即证，原式等价于证明①.由，得，则②.由①②可知原问题等价于求证，即证.令，则，上式等价于求证.令，则，恒成立，在1,+∞上单调递增，当时，，即，原不等式成立，即.【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系；通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数，利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的导数，然后分类讨论的取值情况，从而可求解.（2）结合（1）中结论可知，从而求出，，然后设并构造函数，然后利用导数求解，然后再构造函数证明，从而求解.【详解】（1）因为函数的定义域是0,+∞，，当时，f'x<0，所以在0,+当时，令，解得，当时，f'x>0，单调递增；当时，f'x<0综上所述，当时，的减区间为0,+∞，无增区间；当时，的增区间为，减区间为．（2）因为是函的两个零点，由（1）知，因为，设，则，当x∈0,1，，当x∈1,+∞，所以在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，．又因为，且，所以，．首先证明：．由题意，得，设，则两式相除，得．要证，只要证，即证．只要证，即证．设，．因为，所以在1,+∞上单调递增．所以，即证得①．其次证明：．设，．因为，所以φx在上单调递减．所以，即．所以②．由①②可证得．题型十一恒成立、能成立问题1．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先把不等式化简转化，再构造函数令，再求导函数得出切线计算化简转化求解.【详解】不等式可化为，令，当时，，此时，直线恒过点，故只需直线为曲线在点处的切线即可，，此时．当时，曲线亦恒过点，为使，对一切恒成立，需曲线开口向下，且在点处与曲线有公切线即可，故，此时．综上，的取值范围是，所以的可能取值为.故选：A.2．已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为.【答案】【分析】参变分离得到，构造函数，求导确定单调性，求得最小值即可求解.【详解】对于任意的都有恒成立，等价于在上恒成立.令，则，，当时，，即在上递增，故，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围是.故答案为：.3．已知函数（a为实常数）．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可；（3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围.【详解】（1）由题设，则，则在上有，故在上是增函数，得证；（2）由题设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以最小值为时，最大值为时；（3）由题设在上能成立，则，对于，则在上恒成立，故在上单调递增，且时，即在上恒成立，所以在上能成立，令且，则，对于且，则，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，当，，即在上恒成立，在上恒成立，则在上单调递增，故，所以.4．已知函数．(1)若在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程；(2)若在上单调递增，求a的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）将代入求出，对函数进行求导，从而可得在点P处的切线的斜率，利用直线的点斜式方程即可求解；（2）由题意在上恒成立，参数分类转化为，利用函数的单调性求解最值即可求解a的取值范围．【详解】（1）将代入得，则，从而，由点斜式方程可得：，所以直线的方程为．（2），当是上的单调递增函数时，在上恒成立，即，在上恒成立，转化为，，令，则，函数对称轴为直线，函数图象开口方向向上，所以在上单调递增，，．题型十二导数证明不等式1．已知函数，下面表述不正确的为（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】B【分析】对函数求导，求出函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，再对每个选项逐一判断即可.【详解】对函数求导，得，令，解得：或；令，解得：，所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，如下图：对于选项A：观察图像可知，选项A正确；对于选项B：当时，，且函数在区间上单调递增，故，故选项B错误；对于选项C：当时，，且函数在区间上单调递减，且，故，故选项C正确；对于选项D：当时，，由，得，故，故选项D正确；故选：B2．（多选）已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先求导函数，再根据函数图象，结合单调性判断A，再根据三角函数化简求解得出进而判断B，D，结合基本不等式计算求解C.【详解】，数形结合，得到内的大致图象为如图所示，故，，A对.由得，即，由题意，则，，则，B正确.又，D正确.因为，从而C错误.故选：ABD.3．设函数．(1)当时，求的极值；(2)若当时，恒成立，求的取值范围；(3)当时，若，证明：．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导，令，解得，进而可求得极小值；（2）令，求导，利用分类讨论求得的取值范围；（3）利用已知条件求得，利用分析法可知需证，利用换元法，进而构造函数证明即可.【详解】（1）当时，，求导得，令，解得，当时，，当时，，所以时，取得极小值，极小值为，无极大值；（2）由，可得，令，则，令，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，所以，所以，当时，所以，函数在单调递增，则，所以不等式恒成立，当时，，所以函数在单调递增，，所以不等式恒成立，当时，令，，令，，存在，使得，在，，则在上单调递减，，，，则在上单调递减，，即在，，则在上单调递减，又，故不等式不恒成立，综上所述：的取值范围为；（3）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，要证，即证，只需证明，即证，令，则需证，令，求导，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以，所以成立.4．已知函数.(1)若有正零点，求实数的取值范围；(2)若，求曲线在点处的切线方程，并证明：当时，恒成立.【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）令，得，依题意只需求满足的的取值范围，构造函数，利用导数说明函数的单调性，结合，即可得解；（2）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出在点处的切线，即证明恒成立，设函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明.【详解】（1）令，得，故只需求满足的的取值范围.令，有，，故在上单调递减，故当时，因此，的取值范围是.（2）若，则，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为.要证明恒成立，即证明恒成立.设函数，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即当时，恒成立.题型十三函数的图像与性质1．已知函数，下面表述不正确的为（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】B【分析】对函数求导，求出函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，再对每个选项逐一判断即可.【详解】对函数求导，得，令，解得：或；令，解得：，所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减，如下图：对于选项A：观察图像可知，选项A正确；对于选项B：当时，，且函数在区间上单调递增，故，故选项B错误；对于选项C：当时，，且函数在区间上单调递减，且，故，故选项C正确；对于选项D：当时，，由，得，故，故选项D正确；故选：B2．（多选）已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】先求导函数，再根据函数图象，结合单调性判断A，再根据三角函数化简求解得出进而判断B，D，结合基本不等式计算求解C.【详解】，数形结合，得到内的大致图象为如图所示，故，，A对.由得，即，由题意，则，，则，B正确.又，D正确.因为，从而C错误.故选：ABD.3．设函数．(1)当时，求的极值；(2)若当时，恒成立，求的取值范围；(3)当时，若，证明：．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导，令，解得，进而可求得极小值；（2）令，求导，利用分类讨论求得的取值范围；（3）利用已知条件求得，利用分析法可知需证，利用换元法，进而构造函数证明即可.【详解】（1）当时，，求导得，令，解得，当时，，当时，，所以时，取得极小值，极小值为，无极大值；（2）由，可得，令，则，令，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，所以，所以，当时，所以，函数在单调递增，则，所以不等式恒成立，当时，，所以函数在单调递增，，所以不等式恒成立，当时，令，，令，，存在，使得，在，，则在上单调递减，，，，则在上单调递减，，即在，，则在上单调递减，又，故不等式不恒成立，综上所述：的取值范围为；（3）因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，要证，即证，只需证明，即证，令，则需证，令，求导，因为，所以，所以，所以函数在上单调递增，所以，所以，所以，所以成立.4