2024年山东省淄博市桓台县中考数学一模试卷（含解析）

2024年山东省淄博市桓台县中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.|一2|等于（）

A.-2B-C.2

2.如图，吏线CD,EF被射线04OB所截，CD//EF,若N1=108。，则42的度数

为（）

A.52°

B.62°

C.72°

D.82°

3.2023年淄博市经济运行呵I升向好.全年全市生产总值约为4561亿元.按不变价格计算，比上年增长5.5%.将

4561亿用科学记数法表示为（）

A.4561x108B.4.561x1011C.4.561xIO10D.456.1x109

4.下列立体图形中，主视图是圆的是（）

5.将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60。和

45c角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合

的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于48两点,

则48的长是（）

A.2-/3B.2/3-2C.2D.2/3

6.如图，。。的直径48与弦OE交于点C,且。。=CO.若弧49的度数为40。，则弧

4E的度数为（）

A.50°

B.60°

E

C.75°

D.85。

7.计算去-岩的结果等于（）

1

A.-1B.x-1D.

c•六X2-1

8.如图，在中，ABAC=90°,AB=AC,8C=2.点。在BC上，且BD：

CD=1：3.连接ID,线段4D绕点4顺时针旋转90。得到线段4E,连接BE,DF.MA

8DE的面积是（）

AqB-8CyD.|

9.关于x,y的方程组二:晨\的解为｛；二:若点P（a，b）总在直线y=%上方，那么A的取值范围

是（）

A.k>1C.k<1D.k<-1

10.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，04=08=3，亏，点C为平面内一

动点，连接AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA=1：2.当

线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

A.36、

c（4）

D.（|75,^/5）

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.分解因式：m3—4m2+4m=____.

2

12.若实数a、b分别满足M-3Q+2=0,b—3b+2=0,且aHb,

13.如图，在平面直角坐标系中，△48C与△4当G位似，原点0是位

AR

似中心，且病=3.若4（9,3）,则4点的坐标是_____.

14.如图，点4B,C在数轴上，点A表示的数是一1,点8是AC的中点,ABC

线段48=，！，则点C表示的数是_____.-10

15.如图，在平面直角坐标系中，△4。。的边。4在y轴上，点C在第一象限

内，点B为4C的中点，反比例函数y=：O>0)的图象经过B,C两点.若△

40C的面积是6,则k的值为.

三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)

(1)计算：V8+(7T+1)°+^+|3-/5|-(i)-1；

f2(x+2)>x4-3

(2)解不等式组：

17.(本小题10分)

已知：如图，点。为c45。。对角线AC的中点，过点。的直线与力。，分别相交于点E,F.求证：DE=

18.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，反匕例函数y=(Q>0)的图象经过点为(2,6),将点川句右平移2个单位，再

向下平移a个单位得到点8,点B恰好落在反比例函数y=；(x>0)的图象上，过A,B两点的直线与y轴交

于点C.

(1)求k的值及点C的坐标；

(2)在y轴上有一点。(0,5),连接AD,BD,求△A8。的面积.

19.（本小题10分）

暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶60（hzi高的山峰，由山底力处先步行300m到达8

处，再由8处乘坐登山缆车到达山顶。处.己知点4,B,D,E,F在同一平面内，山坡48的坡角为30。，缆

车行驶路线与水平面的夹角为53。（换乘登山缆车的时间忽略不计）.

⑴求登山缆车上升的高度DE；

（2）若步行速度为30m/m沅，登山缆车的速度为求从山底4处到达山顶D处大约需要多少分钟（

结果精确到O.lmln）.

（参考数据:sin53°«0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33）

20.（本小题12分）

6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环俣知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取

了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：做优秀）；B（良好）；。（中）；D（合格）.并将统计结果

绘制成如图两幅统计图.

环保知识我加年.成绩条形统iI图环保知识竞赛学生成版形统计图

请根据统计图提供的信息，解答下列问题:

(1)本次抽样调查的学生共有名;

(2)补全条形统计图;

(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得8等级的学生有多少名？

(4)在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人

中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概

21.(本小题12分)

某企业准备对48两个牛.产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资4项

目一年后的收益以(万元)与投入费金%(万元)的函数表达式为：yA=lx,投资8项目一年后的收益y。(万元)

2

与投入资金双万元)的函数表达式为：yB=-^x+2x.

(1)若将10万元资金投入4项目，一年后获得的收益是多少？

(2)若对4B两个项目投入相同的资金m(m>0)万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？

(3)2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策.该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共

计32万元，全部投入到43两个项目中,当力，8两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和

最大？最大值是多少万元？

22.(本小题13分)

如图，在等边中，AD工BC于点D,E为线段4D上一动点(不与4,D重合)，连接BE,CE,将CE绕

点C顺时针旋转60。得到线段C凡连接4尸.

(1)如图1,求证：JLCBE=£CAF-,

(2)如图2,连接3尸交力。于点G,连接OG,EF,E尸与。G所在直线交于点H,求证：EH=FH；

(3)如图3,连接8F交4c于点G,连接。G,EG,将△AEG沿4G所在直线翻折至△48C所在平面内，得到△

APG,将aOEG沿OG所在直线翻折至△48。所在平面内，得到ADQG,连接PQ,QF.若43=4,直接写出

PQ+Qr的最小值.

图1图2图3

23.(木小题13分)

如图1,抛物线G：y=-/+bx+c与％轴交于点力(一3,0),B(1,O)两点，交y轴于点C,连接力C,点。为

4c上方抛物线上的一个动点，过点。作DE14C于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求线段0E的最大值；

(3)如图2,将抛物线G沿V轴翻折得到抛物线。2,抛物线。2的顶点为几对称轴与工轴交丁点G,过点”(1,2)

的直线(直线产”除外)与抛物线交于人/两点，直线用，灯分别交汇轴于点M,N,试探究GM-GN是否为定

值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

图1

图2

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由于|一2|=2,故选C.

根据绝对值的定义，可以得到|-2|等于多少，本题得以解决.

本题考查绝对值，解题的关键是叨确绝对值的定义.

2.【答案】C

【解析】解：如图:

•••CD//EF,

AZ2+Z3=180°,

zl=z3,

•••/I+乙2=180°,

•••zl=108°,

:.Z2=72°,

故选：C.

根据两直线平行，同旁内角互补，得出42+N3=180。，由，1=N3,得出N1+43=180。，即可得答

案.

本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补，是解答此题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：4561^=456100000000=4.561x1011,

故选:B.

将一个数表示成QX10〃的形式，其中lW|a|<10,n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可

求得答案.

本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解.：4圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；

比三楂柱的主视图是矩形，因此选项8不符合题意；

C.圆柱的主视图是矩形，因此选项。不符合题意；

。.球的主视图是圆，因此选项。符合题意；

故选：D.

根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可.

本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提.

5.【答案】B

【解析】解:在Rt△4中，Z.ACD=45°,

Z.CAD=45°=Z/ICD,

:.AD=CD=2cm,

C

在山△BCD中，/BCD=60。，

:.乙CBD=30°,

BC=2CD=4cm,

BD=y/BC2-CD2=V42-22=2/3(cm)»

:.AR=RD-AD=(2/3-2)(cn).

故选:B.

根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论.

本题考查了勾股定理，等腰百.角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：连接00,OE,

•.•弧4。的度数为40。，

:.Z.AOD=40°,

•••CD=CO,

/.ODE=Z-AOD=40°,

GD=OE,

:.£E=LD=40°,

乙DOE=180c_40c_40c=I。。、

A£AOE=100°-40°=60°,

.••弧4E的度数是60。.

故选:B.

连接OD,OE,由弧4。的度数为40。，求出4力。。=40。，由等腰三角形的性质得到zE==4力。。=

40S求出匕DOE=180。-40。-40。=100。,即可得到%。。=100。-40。=60。,即可求出弧AE的度数

本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是由弧40的度数为40。，求出々100=40".

7.【答案】C

【解析】解：言—若

%+1______________2

-(%+1)(%-1)(%+1)(%-1)

x+1-2

=(x+l)(x-l)

X—1

=(%+1)(%-1)

1

=--■

X+1

故选：C.

由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可.

本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算艮I：可.

8.【答案】B

【解析】解：•••线段绕点4顺时针旋转90。得到线段4E,

：.AD=AE,LDAE=90°,

Z.EAB+乙BAD=90°,

在AABGf,/.BAC=90°,AB=AC,

/.BAD+Z.CAD=90°,zC=乙ABC=45°,

:.Z.EAB=乙CAD,

DAC(SAS),

ZC=Z-ABE=45°,CD=BE,

:.乙EBC=Z.EBA+^ABC=90°,

•••BC=2,BD：CD=1：3,

i3

BD=右CD=BE=芯

11133

••・SABD"卯

故选:B.

根据旋转的性质得出AO=AE,/.DAE=90。，再根据S4S证明△EAB9>D4c得出乙C=乙ABE=45°,

CD=BE,得出乙EBC=90。，再艰据三角形的面积公式即可求解.

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，根据SIS证明是解题的关健.

9.【答案】B

【解析】解:解方程组於：可得，

3,

X=--K—1

(y=/7+l，

•・•点P(a,b)总在直线y=x上方，

：*b>a,

解得Z>—If

故选:B.

将A看作常数，解方程组得到，y的值，根据P在直线上方可得到b>Q,列出不等式求解即可.

本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将攵看作常数，根据点在一次

函数上方列出不等式求解.

10.【答案】D

【蟀析】解：•••点C为平面内一动点，BC=|,

.•.点C在以点B为圆心，|为半径的圆3上，

在x轴的负半轴上取点。(一苧,0)，

连接BD,分别过。、M作ME1OA,垂足为F、E,

GA=OB=3/5，

AD=OD+OA=竽，

OA2

**■AD=3f

•••CM：MA=1：2,

•.•-0-4=_-2=_-A-M•

AD3AC

vZ.OAM=乙DAC,

.*.△04Ms△l)AC,

•_O_M—_O_A——2

CD~AD~3

・•・兰CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D,B,C三点共线，且点8在线段DC上时，CD取

得最大值，

OA=OB=3/5，0。=等

BD=\JOB2+0D2=y,

CD=BC+BD—9,

,.OM_2

••~CD=3,

••.GM=6,

,••y轴_Lx轴，CF10A,

A/.DOB=Z.DFC=90°,

,:乙BDO=乙CDF,

•••△BDOs>CDF,

.•.再=也，即迫

CFCD1CF-9

解得C/=竿，

同理可得，△AEMSAA/7C,

ME_AM_2ME_2

CF==3*即18门一§，

解得ME=华,

GE=y/OM2-ME2=等，

.••当线段。M取最大值时，点M的坐标是《西洋港)，

故选O.

由题意可得点C在以点8为圆心，;为半径的圆B上，在X轴的负半轴上取点D(-挈,0)，连接BD,分别过C

4L

和M作6104ME10A,垂足为广、E,先证△。4Ms/x。力心得器=券=|,从而当CD取得最大值

时，0M取得最大值，结合图形可知当D,B,C三点共线，且点8在线段0C上时，CO取得最大值，然后分

别证△8OOsZkco凡LAEM^^AFC,利用相似三角形的性质即可求解.

本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角

形的判定及性质是解题的关键.

11.【答案】m(m-2)2

【解析】解：m3-4?n2+4m

=m(m2-4m+4)

=7n(m—2)2.

故答案为:7n(m-2产

先提取公因式机，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方

法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

12.【答案】|

【解析】解：：。、b分别满足a?-3a+2=0,b2-3b4-2=0,

a、b可以看作是一元二次方程必一3无+2=0的两个实数根，

•，.Q+6=3,ab=2,

1,1a+b3

"abab2"

故答案为:|.

先根据题意把a、b看作是一元二次方程M—3无+2=0的两个实数根，利用根与系数的关系得到Q+8=

3,ab=2,再根据工+1二岑进行求解即可.

abab

本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的

关键.

13.【答案】(3,1)

【解析】解：与△&B1G位似，且原点。为位似中心，且箱=3,点力(9,3),

,*9=3,1x3=l,

即4点的坐标是(3,1),

故答案为:(3,1).

根据位似变换的性质计算，得到答案.

本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，柱似比为M

那么位似图形对应点的坐标的比等于〃或-k.

14.【答案】2/2-1

【解析】解：•••点力表示的数是一1,线段人8二心，

.••点8表示的数是一1+，2

•・•点8是47的中点，

线段BC=AB=6

.••点C表示的数是：-1+一1,

故答案为：2/2-1.

先表示出点8表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解.

此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识.

15.【答案】4

【蟀析】解：过点。作COJLy轴于点0,如图：

设点C的坐标为(Q,b),点4的坐标为(0,c),

•••CD=a,OA=c,

/OC的面积是6,

•••S.AOC=,OA=1ac=6,

•••ac=12,

•・•点C(Q,8)在反比例函数y=+(x〉0)的图象上，

•••k=ab,

•••点8为AC的中点，

•••点%,竽)，

•・•点8在反比例函数y=>0)的图象上，

:.k.=-a--b-+-c,

22

即：4k=a(b+c),

：•4k=ab+ac,

将GA=k,ac=12代入上式得：k=4.

故答案为:4.

过点C作。。J.y轴于点。，设点。的坐标为(a,b),点力的坐标为(0,c),则CD=Q,OA=C,由A40C的面

积是6得ac=18,将点C(a,8)代入反比例函数的表达式得k=Qb,然后根据点B为AC的中点得点

8(f,警)，将点B代入反比例函数表达式得A=].竿，据此即可取的值.

此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数

解析式的点都在函数的图象上.

16.【答案】解：(1)原式=2+1+0+3-门一2

=4.

(2(%+2)>X+3①

明祟②，

解不等式①：得

解不等式②：得XV3,

不等式组的解集是一1VXV3.

【解析】(1)首先根据立方根定义、零指数辱的性质、二次根式的化简、绝对值的性质、负整数指数骞的

性质进仃计算，然后从左向右依次计算，求值即可.

(2)分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可.

本题考查的是实数的运算、解一元一次不等式组，熟练运算法则是解题关键.

17.【答案】证明：•.・四边形ABC。是平行四边形，

/.AD=BC,AD//BC,

Z.EAO=Z.FCO,Z.OEA=Z.OFC»

•・•点。为对角线4c的中点，

•••AO=CO,

在&AOE和△COF中，

(Z.EAO=Z.FCO

\z-OEA=Z.OFC,

(40=CO

:.△AOE@ACOF(AAS),

AE=CF,

•.AD-AE=BC-CF,

:•DE=BF.

【解析】根据平行四边形的性质得到｛0=8C，AD//BC,进而推出乙£71。=4”。，乙OEA=LOFC,结

合4。=CO,利用44s证明△AOE^LCOF,根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可.

此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键.

18.【答案】解：(1)把点力(2,6)代入y=mk=2x6=12,

.•.反比例函数的解析式为y=3

・••将点4向右平移2个单位，

二%=4,

当x=4时，y==3,

/4

•••8(4,3),

设直线的解析式为y=mx+n.

由题意可得《二：：：：

解得卜=-今

In=9

3

•••y=-/+9,

当x=0时，y=9,

•••C(0,9)；

(2)由(1)知CD=9-5=4,

•*-S“BD=SRBCD-SAACD=|CD-|XB|-|CD-|X^|=|X4X4-|X4X2=4.

【解析】(1)由点4(2,6)求出反比例函数的解析式为y=?,可得A值，进而求得8(4,3),由待定系数法求出

直线48的解析式为y=-1x+9,即可求出C点的坐标；

(2)由(1)求出CO，根据SAABD=SMCD—S“CD可求得结论.

本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线

48的解析式是解题的关键.

19.【答案】解：(1)如图，过点：8作BM_L4F于点M,由题意可知，Z/1=

30%乙DBE=53。DF=600〃i,AB=300〃，，

在班aABM中，LA=30°,AB=300zn,

BM=\AB=150nl=EF,

:.DE=DF-EF=600-150=450(m),

答：登山缆车上升的高度DE为45。血；

(2)在RCZkBOE中，Z.DBE=53°,DE=450m,

：，BD=sin乙DBE

~-4-5-0

0.80

=562.5(m),

需要的时间t=1步行+t缆车

300562.5

10+~60~

«19.4(min),

答：从山底4处到达山顶。处大约需要19.4分钟.

【解析】(1)根据直角三角形的边角关系求出BM,进而求出OE即可；

(2)利用直角三角形的边角关系，求出8D的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

20.【答案】60

【解析】(1)调查的学生共有=羲=60(名)；

故答案为：60；

(2)。合格的人数=60-24-18-3=15(名),

环保知识竞赛学生成绩条形统计图

(3)1200x^=480(^),

答：估订本次竞赛获得8等级的学生有480名:

(4)画树状图如下：

开始

/N/N/t\/N

男2女1女2男1女1女2男I男2女2男1男2女1

••・一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，

・••所选2人恰好是一男一女的概率为卷=I

JL4O

(1)由优秀的人数除以所占百分比即可；

(2)求出C合格的人数，补全条形统计图即可；

(3)由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；

(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由概率公式求

解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以

上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

21.【答案】解：(1)当x=10时，〃=：乂10=4(万元)，

答：将10万元资金投入4项目，一年后获得的收益是4万元；

(2)由题意得：当x=m时，yA=yB,

:，-2m=—~1m2£+.02m,

力”=8,7712=0(舍去)，

：-m=8；

(3)设投入B项目的资金是t万元，投入4项目的资金(32-£)万元，一年后获利为十万元，

由题意得，

W=-jt2+2t+|(32-t)=-1(t-4)2+16,

.•.当t=4时,W最大=16,

32-t=28,

・•・投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金是4万元时，一年后获利最大.最大值是16万元.

【解析】⑴把“10代入％从而求得结果；

2

(2)当％=m时，yA=yB^=-1m+2m,从而求得结果；

(3)设投入B项目的资金是t万元，投入力项目的资金(32-£)万元，一年后获利为W万元，列出关系式W二

-\t2+2t+^(32-t)=-1(t-4)2+16,进一步得出结果.

本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关

系式.

22.【答案】(1)证明：•・,△A8C为等边三角形，

:.Z.ACB=60°,AC=BC,

•••将CE绕点C顺时针旋转60。得到线段CF,

/.CE=CF,乙ECF=60°,

••・△48。星等功三角形，

:.Z.BCA=乙ECF,

•••Z.BCE=Z.ACF,

.^BCE^^ACF(SAS),

•••“BE=Z.CAF；

(2)证明：如图所示，过点尸作FK//AD,交。”点的延长线于点K,连接EK,FD,

•.△A8C是等边三角形,

AB=AC=BC♦

•••AD1BC,

:，BD=CD,

•••力。垂直平分BC,

EB=EC,

又A",

AF=BE,CF=CE,

-.AF=CF,

••.F在AC的垂直平分线上，

-AB=BC,

8在4c的垂直平分线上，

ABF垂直平分力C,

AC工BF,AG=CG=^AC,

Z.AGF=90°,

XvDG=^AC=CG,^LACD=60°,

.•.△OCG是等边三角形，

:.Z.CGD=Z.CDG=60°,

:•乙AGH=Z.DGC=60°,

...£KGF=LAGF-£AGH=90°-60°=30°,

又••乙ADK=LADC-乙GDC=90°-60=30°,KF//AD,

:.乙HKF=乙4DK=30°,

Z.FKG=Z.KGF=30°,

:.FG=FK,

在与R%CGr中，

(CF=CE

(CD=CG'

:.Rt△CED/Rt△CFG,

•••GF=ED,

•••ED=FK,

•••匹边形EOPK是平行四边形，

:.EH=HF；

(3)解：依题意，如图所示，延长AP,DQ交于点R,

由(2)可知△OCG是等边三角形，

:.Z.EDG=30°,

•••将A/IEG沿4G所在直线翻折至△力BC所在平面内，得到A/IPG,将^QEG沿DG所在直线翻折至△4BC所

在平面内，得到ADQG,

A/.PAG=Z-EAG=30°,乙QDG=乙EDG=30°,

•••£PAE=乙QDE=60°,

.•.△4DR是等边三角形，

:.“DC=匕ADC-乙ADQ=90°-60°=30°,

由Q)可得Rt△CED^Rt△CFG,

•••DE=GF,

•••DE=DQ,

•••GF=DQ,

VLGBC=Z.QDC=30°,

/.GF//DQ,

•••匹边形GDQF是平行四边形，

QF=DG=\AC=2,

由(2)可知G是/IC的中点，则G/l=GD,

:./.GAD=Z.GDA=30°,

，乙AGD=120°,

・.・折叠,

•••£AGP+乙DGQ=Z-AGE+乙DGE=Z.AGD=120°,

Z.PGQ=360°-2/.AGD=120°,

又PG=GE=GQ,

...PQ=CPG=V3GQ,

•••兰GQ取得最小值时，即GQ_LDR时，PQ取得最小值，此时如图所示，

F

图3

GQ=；GC=；DC=1,

PQ=G

PQ+Qf=C+2.

【解析】(1)根据旋转的性质得出CE=CF,LECF=60°,进而证明ZiBCEg/lACRS/lS),即可得证；试

(2)过点F作FK/L4D,交DH点的延长线于点K,连接EK,FD,证明四边形四边形EDFK是平行四边形，即

可得证；(3)如图所示，延长4P,DQ交于前R,由(2)可知△OCG是等边三角形，根据折叠的性质可得

乙PAG=Z.EAG=30°,乙QDG=LEDG=30°,讲而得出△ADR是等功三角形，由(2)可得

RtACED^RtACFG,得出四边形GOQF是平行四边形，则QF=DC=-4C=2.进而得出。PCQ=360°-

2c4Go=120。，则PQ=43pG=J3GQ,当GQ取得最小值时，即GQJ.OR时，PQ取得最小值，即可求

解.(1)由“S/S”可证△ACFgdBCE,可得结论；

(2)

本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等

三角形的性