四川省南充市嘉陵第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题（解析版）

第1页/共1页嘉陵一中高2024级高一上第三次月考数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式可得，再由交集运算可得结果.详解】由不等式，得，所以，又，可得.故选：A2.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据解析式判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，，，则，所以零点所在区间为.故选：C.3.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，分别与1，2比较即可得出的大小关系.【详解】，，，所以故选：A.4.幂函数在上是减函数，则实数的值为（）A.2或 B. C.2 D.或【答案】B【解析】【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解的值.【详解】由题意可知，，解得：或，当时，，函数在上是减函数，成立，当时，，函数在上是增函数，不成立，所以.故选：B5.函数（，且）的图象经过定点P，则点P的横、纵坐标之和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据恒过定点，令，求出点P的坐标即可得结果.【详解】令，则，此时，所以图象经过定点P，则点P的坐标为，即点P的横、纵坐标之和为，故选：B.6.已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果.【详解】根据函数的图象可知，再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB，且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确；故选：C7.若函数在区间上是减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性，结合对数函数的定义域列式求解即得.【详解】设，则函数由函数和复合而成，而是减函数，则在上是增函数，从而，所以，由当时，恒成立，所以当时，，解得，综上，的取值范围为.故选：.8.猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（）（参考数据：）A.8 B.9 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】根据题意列出不等式，然后通过对数运算求解不等式得到取值.【详解】已知最初引种猪血木1000株，每年以的比例增加，那么经过年后，猪血木的数列为，该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，所以可列出不等式，即，两边同时取对数，则，因为，所以，即，又，所以.故选：A.二、多选题：本大题共3个题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数的单调增区间是B.函数与是同一函数C.函数，则函数的值域是D.已知函数的定义域为，则定义域为【答案】ABC【解析】【分析】利用函数性质以及复合函数的同增异减性质可判断A，根据定义域及解析式可判断B，根据值域的定义通过两方面可验证C，根据抽象函数定义域可判断D.【详解】对于A，，减函数，在是减函数.根据复合函数同增异减的性质，在时是增函数，故A正确；对于B，函数与定义域相同，解析式相同，从而与是同一函数，故B正确；对于C，一方面有，.另一方面，对任意，都有.所以的值域是，故C正确；对于D，函数的定义域为，则要使有定义，需要，即，所以的定义域为，故D错误；故选：ABC.10.已知函数，实数，满足，则（）A. B.，，使得C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误.【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．故选：CD．11.定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（）A. B.2是的一个周期C.是的一个对称中心 D.为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】对于A，直接由奇函数性质得；对于B，首先得，进一步有以及，由此即可判断；对于C，由对称轴、对称中心即可得解.【详解】定义在上的奇函数满足，所以，故A正确；且，所以，即的周期是4，不是2，故B错误；因为，所以的对称轴为，又为的一个对称中心，所以是的一个对称中心，故C正确；因为，所以，即为偶函数，故D正确.故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、非选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案写在答题卡上.）12.已知，，则用，表示______【答案】【解析】【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解.【详解】由，，可得，又由.故答案为：.13.已知函数且的图象过定点，若且，，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】由恒过定点得出的值，再根据“1”的代换结合基本不等式求解.【详解】令，得，所以，所以，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以最小值为.故答案为：.14.若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.【详解】当时，函数在上单调递减，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的值域为，当时，由，得，当时，由，得，画出图象，如图所示：由在区间上既有最大值，又有最小值，得，，则，所以，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）【答案】（1）（2）6（3）【解析】【分析】（1）根据实数指数幂的运算法则化简即可.（2）根据对数的运算法则和性质化简求值.（3）利用单调性解对数不等式，注意真数大于0．【小问1详解】原式=.【小问2详解】原式；【小问3详解】不等式，解得，得或，解，得，因此或，所以原不等式的解集为．16.已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题17.某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息：（1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式；（2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：）【答案】（1）（2）2.81小时【解析】【分析】（1）分、两种情况讨论，利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据（1）中函数解析式，分段解不等式，求出的取值范围，即可得解.【小问1详解】当时，设，将代入得，解得，此时；当时，设且，将､代入，得，解得，此时.综上可得.【小问2详解】当时，令，解得；当时，令，即而，故药效时间，所以药效时间约为小时.18.已知函数为奇函数．（e为自然对数的底数，）（1）求的值及函数的值域；（2）用函数单调性定义证明函数在上是增函数；（3）求不等式的解集．【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求出，再求出函数值域.（2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明.（3）利用函数奇偶性和单调性，把不等式转化为代数不等式，再借助一元二次不等式求解.【小问1详解】因为函数为奇函数，定义域为，所以.所以因为，所以，所以.所以，因为，所以，即.所以函数的值域为：.【小问2详解】设，则.因为，所以，于是，，，所以.所以即.所以函数在上单调递增.【小问3详解】由.因为函数为奇函数，且在上单调递增.所以所以.即所求不等式的解集为：19.已知函数．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明；（2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围；（3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围．【小问1详解】定义域为，因为为偶函数，所以，即，即，解得：，此时，定义域为R，且，所以为偶