河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期开学测试数学试题

2024—2025学年高一开学测试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章5.4.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题判断选项即可．【详解】命题“，”的否定是，.故选：B.2.已知集合，，则B可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的并集运算，对四个选项逐一检验即可得解.【详解】由，当时，或，故A错误；当时，或，故B错误；当时，，故C正确；当时，，故D错误；故选：C.3.已知幂函数的图象经过第三象限，则（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】由幂函数的概念求得，再验证即可；【详解】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限；当时，的图象经过第三象限．综上，．故选：A4.若，，则（）A.3 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由指数式转化为对数式，利用对数的换底公式，可得答案.【详解】由，，得，，所以．故选：D.5.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】应用余弦函数的性质计算即可.【详解】由不等式，化简得，由余弦函数的性质得.故选：C.6.某食品保鲜时间（单位：h）与储藏温度（单位：）满足函数关系．若该食品在的保鲜时间是320h，在的保鲜时间是80h，则该食品在的保鲜时间是（）A.5h B.5.5h C.4h D.4.5h【答案】A【解析】【分析】利用给定条件列出方程组，求得，再将代入计算即得.【详解】由题意得，两式相除得，当时，.故选：A.7.已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性和取自变量接近于0的函数值来判断正负即可得到选项.【详解】由奇偶性判断可知：是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数，而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误；再当时，可知，故A错误；所以C正确，故选：C.8.若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将与和分别进行比较，即可判断大小.【详解】因为函数，都是减函数，所以；；又，所以．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某钟表分针的长度为5cm，在某天中，从到，则（）A.分针转过的角的弧度为 B.分针转过的角的弧度为C.分针尖端所走过的弧长为 D.分针扫过的扇形面积为【答案】BC【解析】【分析】由任意角的概念及扇形弧长、面积公式逐个判断即可；【详解】由题意得分针转过的角的弧度为，所以分针尖端所走过的弧长为，分针扫过的扇形面积为．故选：BC10.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A.可能为空集 B.中可能只有一个元素C.若，则中的元素为负数 D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据根的判别式即可判断AB；由，求出集合即可判断C；由，结合C选项，列出不等式即可判断D.【详解】对于A，由题意得，则不可能为空集，A错误；对于B，由，得，当，即时，，得，则，B正确；对于C，当，即时，，C正确．对于D，当，即时，，因为，所以，得，D正确．故选：BCD.11.已知定义域为的函数满足，且.则（）A. B. C. D.可能为增函数【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值可求出特殊值，从而判断AB选项，利用举特例函数，来检验CD选项即可.【详解】因为，，所以令，可得，故A正确；再令，可得，又因为，所以，又令，可得，所以，故B正确；不妨取，则，，此时满足原恒等式，但是当时，，故C错误；但由于此时在上是增函数，故D正确；故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若角的终边经过点，则______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义求出函数值.【详解】依题意，．故答案为：13.已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.【详解】函数上单调递增，依题意，，，且在上单调递增，因此，解得，所以a的取值范围是.故答案为：14.函数的最小值为______，此时______.【答案】①②.【解析】【分析】利用因式分解，然后发现规律，重新结合因式展开，再展开可得二次型函数求最值即可.【详解】由所以可知当，即时，函数取到最小值，故答案为：①；②.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用齐次式法，弦化切计算即得；（2）利用诱导公式化简，齐次式法，弦化切计算得解【小问1详解】．【小问2详解】．16.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式，可得答案；（2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【小问1详解】由，得，当且仅当时，等号成立．故的最大值是3．【小问2详解】由，得，即．，当且仅当，即，时，等号成立．故的最小值为．17.已知函数（，且）．（1）求的定义域；（2）若，求；（3）求不等式的解集．【答案】（1）（2）或（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由对数函数定义域构造不等式求解即可；（2）由对数的运算性质求解即可；（3）分和判断函数单调性，进而可求解；【小问1详解】由题意得解得，即的定义域为．【小问2详解】由，得或，解得或．【小问3详解】当时，，在上为增函数，又在上为减函数，在上为减函数，则是增函数，由，得，解得，即的解集为．当时，在上为减函数，又在上为减函数，所以在上为增函数，可得是减函数，由，得，解得，即的解集为．综上：当时，解集为，当时，解集为.18.已知函数．（1）求的单调递减区间；（2）求在上的值域；（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得答案；（2）利用整体思想，根据正弦函数的图象与性质，可得答案；（3）由题意建立方程，求得的值，由小到大写出个零点，建立不等式，可得答案.【小问1详解】由，得，所以的单调递减区间为．【小问2详解】由，得．由正弦函数的图象可得，，所以在上的值域为．【小问3详解】由，得，得或，解得或，则在上的3个零点为，，，所以，得，即的取值范围为．19.已知函数．（1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由．（2）若不等式的解集为，证明：．（3）若函数在上的最小值为5，求的值．【答案】（1）奇函数，理由见解析（2）证明见解析（3）或3【解析】【分析】（1）由奇函数的概念可得；（2）由题得，构造函数，，利用函数图象找到交点横坐标范围，进而可得；（3）设，转化为在上的最小值为5，根据绝对值对的范围进行分类，由单调性确定最值，进而构建方程可得.【小问1详解】是奇函数．理由如下：由题意得，．的定义域为，且，所以是奇函数．【小问2详解】证明：由题意得，则．由，得．设函数，，，在上的大致图象如图1所示，由图可知，在上的图象有2个公共点，易得这2个公共点的横坐标为．由图得，因为，所以．因为，所以．故．【小问3详解】设，由，得，则．当，即时，在