导学案数学第六章62622向量的减法运算

6.2.2向量的减法运算【学习目标】1.理解相反向量的概念,能用相反向量定义向量的减法.2.掌握向量减法的运算法则与几何应用.3.能熟练运用向量的加、减运算进行化简与求值.【素养达成】数学抽象直观想象、逻辑推理数学运算一、相反向量1.定义:与向量a长度相等,方向相反的向量.零向量的相反向量仍是零向量.2.性质:(1)(a)=a;(2)对于相反向量有a+(a)=0;(3)若a,b互为相反向量,则a=b,a+b=0.二、向量的减法1.定义:ab=a+(b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.2.作法:已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=ab,如图所示.3.几何意义:ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.4.向量a,b的模与ab的模之间满足不等式:||a||b||≤|ab|≤|a|+|b|.当且仅当a与b同向时左边取等号,反向时右边取等号.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量与是相反向量.(√)提示:与长度相等,方向相反,是相反向量.(2)两个同向向量的差一定小于这两个向量的和.(×)提示:两个向量的差仍是向量,而向量不能比较大小,故错误.(3)在平行四边形ABCD中,等于.(√)提示:由平面向量减法的三角形法则,可得=.(4)++=0.(×)提示:++=++++=≠0,故错误.类型一作差向量(直观想象)【典例1】(教材提升·例3)如图,已知向量a,b,求作ab.【解析】(1)作=a,=b,则ab==,即为所求作的向量.(2)作=a,=b,则ab==,即为所求作的向量.(3)作=a,=b,则ab==,即为所求作的向量.(4)作=a,=b,则ab==,即为所求作的向量.【总结升华】作差向量的方法(1)利用向量减法的三角形法则:简记为“共起点,连终点,指向被减”;(2)转化为向量的加法:ab=a+(b).【即学即练】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量abc.【解析】如图,作=a,=b,则即为ab,再作=c,则向量即为abc.类型二向量的表示(直观想象)【典例2】(教材改编·例4)如图,已知=a,=b,=c,=d,试用a,b,c,d表示以下向量:(1);(2);(3).【解析】(1)==ca;(2)==da;(3)==db.【总结升华】向量的表示(1)观察图形的几何特征,确定已知向量与要表示的向量之间的关系;(2)共起点的向量,若能构成平行四边形,可以利用向量的加法表示对角线所在的向量,若能构成三角形,可以利用向量的减法表示第三边所在的向量;(3)首尾相连的向量,能构成三角形,可以利用向量的加法表示第三边所在的向量.【即学即练】如图所示,=a,=b,=c.(1)用a,b表示;(2)用b,c表示.【解析】(1)===ab;(2)==(+)=bc.类型三向量减法的应用(逻辑推理、数学运算)角度1向量的化简【典例3】(2024·乌鲁木齐高一检测)化简:(1)+;(2)()();(3)(++)().【解析】(1)+=+==.(2)()()=+=++=+==0.(3)(++)()=+()==0.【总结升华】向量的化简(1)首尾相连相加的向量,用向量加法的三角形法则化简;(2)共起点相减的向量,用向量减法的三角形法则化简;(3)必要时可以利用相等向量或相反向量等价转化.角度2向量减法的几何应用【典例4】(易错·对对碰)(1)已知O是四边形ABCD内的一点,若=,则四边形ABCD的形状是__________.

(2)在四边形ABCD中,=,若||=||,则四边形ABCD的形状是______;

(3)在四边形ABCD中,=,若|+|=||,则四边形ABCD的形状是________.

【解析】(1)因为=,即=,故四边形ABCD一定为平行四边形.答案:平行四边形(2)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,又因为||=||,所以||=||,所以四边形ABCD为菱形.答案:菱形(3)因为=,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为|+|=||,所以||=||,所以四边形ABCD为矩形.答案:矩形【总结升华】向量减法的几何应用(1)利用相等向量证明线段平行且相等,从而证明四边形为平行四边形.(2)以平行四边形ABCD的两邻边AB,AD分别表示向量=a,=b,则两条对角线表示的向量分别为=a+b,=ba,则=ab.(3)对于菱形、矩形、正方形可以根据平行四边形的邻边相等或对角线相等来判断.角度3差向量模的性质【典例5】若||=12,||=5,则||的取值范围是()A.[7,17] B.(7,17) C.[7,12] D.(7,12)【解析】选A.由向量模长的三角不等式可得||≥||||||=7,当且仅当,的方向相同时,等号成立;||≤||+||=17,当且仅当,的方向相反时,等号成立,因此,||的取值范围是[7,17].【补偿训练】已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,则|ab|的值为__________.

【解析】当a与b方向相同时,|ab|=||a||b||=72=5;当a与b方向相反时,|ab|=|a|+|b|=7+2=9.答案:5或9【总结升华】差向量模的性质(1)当非零向量a,b不共线时,ab的方向与向量a,b的方向都不相同,模的关系是||a||b||<|ab|<|a|+|b|,其几何意义是三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.(2)当向量a,b同向或至少一个是零向量时,a+b的方向与向量a,b(或其中的非零向量)的方向相同,模的关系是|a+b|=|a|+|b|.(3)当向量a,b反向或至少一个是零向量时,a+b的方向与向量a,b中模较大的方向相同,模的关系是|a+b|=||a|