立体几何知识点

立体几何知识点立体几何(一)空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。1.棱柱E'D'1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公F'C'侧面共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。A'B'l1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系:底面侧棱斜棱柱,ED,FC底面是正多形棱柱,,,,,,,正棱柱?,,AB棱垂直于底面,,,,,,直棱柱,,其他棱柱？,D1,C1,A1B1?四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形DC长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体AB1.3棱柱的性质:?侧棱都相等，侧面是平行四边形;?两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;?过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;?直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.棱柱.??直棱柱侧面积:(为底面周长，是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.ChS,Ch?斜棱住侧面积:(C是斜棱柱直截面周长，是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行S,Cll11四边形得出的.?{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.,,,,,{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.,侧面与底面是侧棱垂直底面是底面是正方体正四棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正方形底面矩形底面边长相等平行四边形3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质:?平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;?正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形;?正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角SOBSOHSBHOBH,,,三角形。)(如上图:为直角三角形)二点、直线、平面之间的位置关系(一)平面的基本性质1.平面——无限延展，无边界三个定理与三个推论公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途:常用于证明直线在平面内.公理2:不共线的三点确定一个平面.(((推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.推论2:两条相交直线确定一个平面.推论3:两条平行直线确定一个平面.用途:用于确定平面。公理3:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线).用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.形语言，文字语言，符号语言的转化:(二)空间图形的位置关系共面:ab=A,a//b:,1.空间直线的位置关系:,异面:a与b异面,平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述:abbcac//,////,异面直线:(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线;(2)判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。PP,,,aA,A,,,,图形语言:符号语言:PAa,与异面,a,,,,Aa,,112,,::0,90异面直线所成的角:(1)范围:;，,2方向不相同1异面直线所成角的求法:方向相同(1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线;(2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系;2.异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(不在任何一个平面内的两条直线)3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等(如下图).,,,,,,(二面角的取值范围)(直线与直线所成角)(斜线与平面成角),,，，0,90,,，，,,0,180,,0,90,,,,(直线与平面所成角)(向量与向量所成角,,[0,180]),,,,0,90推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角(或直角)相等.4.两异面直线的距离:公垂线的长度.l,ll,ll,l空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直.是异面直线，则过外一点P，过点P且与都121212l,l平行平面有一个或没有，但与距离相等的点在同一平面内.12l,,,,a'lAb'2.直线与平面的位置关系::,,,,,l,a,,,Ol//,,,图形语言:b,P平行:,,//,,3.平面与平面的位置关系:斜交::=a,,,,相交,,垂直:,,,,,A,O,(三)平行关系(包括线面平行，面面平行)1.线面平行:?定义:直线与平面无公共点.ab//a//,,,,,?判定定理:(线线平行线面平行)?性质定理:(线面平行线线平行)aa,,,,//aab,,//,,,,,,,b,:,b,,,,,ab//,,ll:,,,,,//?判定或证明线面平行的依据:(i)定义法(反证):(用于判断);(ii)判定定理:aa,,,,//,,b,,,,,//,“线线平行面面平行”(用于证明);(iii)“面面平行线面平行”(用于证明);,,,a//,,a,,,ba,,,ba,,,,//(4)(用于判断);,,a,,,lA:,,2.线面斜交:PO,,?直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。于，PAO,,O，则AO是PA在平面内的射影，则就是直线PA与平面所成的角。l0:ll,,ll,,,或//,,::0,90,,范围:，注:若，则直线与平面所成的角为;若，则直线与平面所成的角,,90:为。3.面面平行:?定义:;?判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互,,,,:,,,//相平行;符号表述:【如下图?】ababOab,,,//,////,,,,,,,,:aaOObb,,,aa'Ob',,,图?图?推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述:ababOabaabb,,,',',//',//'//,,,,,,,,:【如上图?】aa,,,,,,,,//判定2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:.【如右图】?判定与证明面面平行的依据:(1)定义法;(2)判定定理及推论(常用)(3)判定2,,//,,,//,,?面面平行的性质:(1)(面面平行线面平行);(2);(面面平行线线平:,,aab//,,,a//,,,,,a,,,,:,b,,,行)(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】(四)垂直关系(包括线面垂直，面面垂直)1.线面垂直la,?定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述:若任意都有，a,,,l,,l,,且，则.PPab,,,,,abO:,,,ll,,,?判定定理:(线线垂直线面垂直),a,,,OAO,la,B,,CA,lb,,,?性质:(1)(线面垂直线线垂直);(2);lala,,,,,,,,abab,,,,,,//ab//,?证明或判定线面垂直的依据:(1)定义(反证);(2)判定定理(常用);(3)(较常用);(4),,,b,a,,,,,,,,,,//ab:,,,,;(5)(面面垂直线面垂直)常用;,a,,a,,,,,,aa,,,,,,,ab,,?三垂线定理及逆定理:(I)斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，(1)斜线相等射影相等;(2)斜,PO,,PBPCOBOC,,,PAPBOAOB,,,线越长射影越长;(3)垂线段最短。【如图】;,PO,,,(II)三垂线定理及逆定理:已知，斜线PA在平面内的射影为OA，，a,,aPA,aOA,?若，则——垂直射影垂直斜线，此为三垂线定理;,aPA,aOA,?若，则——垂直斜线垂直射影，此为三垂线定理的逆定理;,三垂线定理及逆定理的主要应用:(1)证明异面直线垂直;(2)作、证二面角的平面角;(3)作点到线的垂线段;3.2面面斜交，,::AOB[0,180]?二面角:(1)定义:范围:OBlOAlAOBl,,,，,,是二面角,的平面角,,?作二面角的平面角的方法:(1)定义法;(2)三垂线法(常用);(3)垂面法.(4)向量法3.3面面垂直90:(1)定义:若二面角,,,,l的平面角为，则,,,;,(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.aBa,,,,(线面垂直面面垂直),,,,,a,,,,A，MON，,:MON90,,,(3)性质:?若，二面角的一个平面角为，则;,,,,,,,,,,aABA,:,,,,,,,,,?(面面垂直线面垂直);?.?,aa,,,,,,,,aa//,,或,,,Aaa,,,a,,,,,,,aaAB,,,,,空间角问题(1)直线与直线所成的角,?两平行直线所成的角:规定为。0?两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。,,a,b?两条异面直线所成的角:过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。(2)直线和平面所成的角,,0?平面的平行线与平面所成的角:规定为。?平面的垂线与平面所成的角:规定为90。?平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作，二证，三计算”。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。(3)二面角和二面角的平面角?二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。?二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角(((((叫二面角的平面角。?直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直;反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角?求二面角的方法(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性;(2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;(3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直;(4)射影法:利用面积射影公式S,Scos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角;,,射原7.空间距离的求法(1)两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算;(2)求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解;(3)求点到平面的距离，一是用垂面法，借助