工程力学（机械）课件：平面力系的平衡

工程力学

EngineeringMechanics工程力学

EngineeringMechanics平面力系的平衡3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程3.2平面力系平衡方程的应用3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程平面任意力系平衡的充分必要条件是：

力系的主矢和对任一点A

的主矩全为零。其数学表达式为：3.1.1平面任意力系平衡的充要条件3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程3.1.1平面任意力系平衡的充要条件3.1.2平面任意力系平衡方程的形式（x轴和y

轴不平行）（x轴和y

轴不平行）3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程3.1.2平面任意力系平衡方程的形式（x轴和y

轴不平行）平面任意力系平衡方程的基本形式为三个互相独立的代数方程，可以求解三个未知量。（1）两矩一影式（2）三矩式（x

轴与A、B两点的连线不垂直）（A、B、C三点不共线）3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程3.1.3平面特殊力系的平衡方程1.平面汇交力系设平面汇交力系的汇交点为O，（x轴和y

轴不平行）则3.1.2平面任意力系平衡方程的形式（x轴和y

轴不平行）平面任意力系平衡方程的基本形式3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程3.1.3平面特殊力系的平衡方程2.平面平行力系的平衡方程（y

轴与各力不垂直）3.1.2平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的基本形式（x轴和y

轴不平行）3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程3.1.3平面特殊力系的平衡方程3.平面力偶系的平衡方程3.1.2平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的基本形式平面力偶系的主矢等于零，力偶系对任一点主矩都相等。（x轴和y

轴不平行）3.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程力系类型独立平衡方程个数平面任意力系3平面汇交力系2平面平行力系2平面力偶系1这对于具体问题的定性判断具有指导意义。3.2平面力系平衡方程的应用非自由刚体处于平衡状态时，其所受的全部外力（包括主动力和约束力）应为平衡力系，它们应满足平衡条件。因此，力系的平衡方程可以用于求解如下问题

平衡刚体所受到的力的大小关系，或

平衡位置的几何参数。基本步骤：（1）选取研究对象，画出分离体简图；（2）对研究对象进行受力分析，画出其受力图；（3）根据求解目标建立必要的平衡方程；（4）求解平衡方程得到未知约束力，或平衡位置的几何参数。3.2平面力系平衡方程的应用这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，在网上完成相应的作业。

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EngineeringMechanics平面力系的平衡3.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3.1静定和静不定的概念l/2ll/2独立的平衡方程的个数与约束力中未知量的个数相等，A、B

两处的约束力可由独立的平衡方程求解得到唯一的一组解。3.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3.1静定和静不定的概念l/2ll/2约束力中有四个未知量，而只有三个独立的平衡方程，解中包含一个自由变量，对于任一的值均有对应的一组解，因此存在无穷多组解，即仅由静力学平衡方程无法确定全部的约束力。3.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3.1静定和静不定的概念约束力中未知量个数为2，而独立的静力学平衡方程个数为3，一般情况下，平衡方程无法得到全部满足，即刚体无法保持平衡。静力学范围内无解。实际上，这类问题属于动力学范畴，未知约束力须由动力学原理求解。或系统的主动力满足一定条件时也可以平衡。l/2ll/23.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3.1静定和静不定的概念一个问题的独立平衡方程个数为nE，未知约束量个数为nF求解情况问题类型nE=nF唯一确定一组解静定问题nE<nF多组解静不定（超静定）问题nE>nF无解动力学问题，或有条件的平衡3.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3.2刚体系的平衡问题实际的承载结构中，通常由两个或两个以上的刚体通过相互之间的某种约束连接而组成，这样的系统称为刚体系或物系。物系平衡也分为静定问题、静不定问题和有条件的平衡问题。理论力学中主要研究静定问题。如果物系是平衡的，则物系内部的单个刚体或几个刚体组成的子系统均是

平衡的，都可列出相应的平衡方程加以求解。因此，针对求解目标，合理地选择物系中子系统作为研究对象进行有效的求解是解决物系平衡问题的重要途径。3.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3.2刚体系的平衡问题一般思路：选择含待求未知力的刚体或刚体系统作为研究对象， 受力分析，画受力图，判断是否可求，若可求则求之；若不可求出，确定可求的条件，根据要求重复上一过程。直至全部未知力求出，问题解决。3.3静定和静不定的概念·刚体系的平衡问题3.3.2刚体系的平衡问题这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，在网上完成相应的作业。

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EngineeringMechanics平面力系的平衡3.4平面桁架杆件内力的计算3.4平面桁架杆件内力的计算常见的结构：实际的物系平衡问题： 工程中多个构件组成的结构的平衡问题是指由多个刚体组合而成的，至少包含一个非二力构件的刚性承载结构。构架桁架机构3.4平面桁架杆件内力的计算常见的结构：实际的物系平衡问题： 工程中多个构件组成的结构的平衡问题构架桁架机构是一种只由二力杆件组成，同样被完全约束住，没有任何活动力度的理想结构。3.4平面桁架杆件内力的计算常见的结构：实际的物系平衡问题： 工程中多个构件组成的结构的平衡问题动力学中加以研究。构架桁架机构是一种能实现某种预期运动的特殊结构。3.4平面桁架杆件内力的计算平面桁架：构成桁架的各杆件分布在同一平面内。空间桁架：构成桁架的各杆件分布三维空间内。理想桁架： 各杆的连接均视为光滑铰接，

连接处称为节点。 忽略各杆之自重， 外力仅作用在节点处，

各杆均为二力杆。平面桁架示意图3.4平面桁架杆件内力的计算桁架杆件内力

1.截面内额外的、源自杆件外力的分布内力系；2.其向截面中心简化结果为杆件内力；

3.拉正（背离截面）、压负（指向截面）。任务：计算桁架杆件内力。方法：节点法和截面法。ABCACBC内力符号为正内力符号为负3.4平面桁架杆件内力的计算节点法对于一个静定问题的平面桁架： 列写整体的平衡方程，求出支座约束力； 由只连接两根杆的节点入手，求出相应的内力； 再依次取只有两个未知力的节点，求解各杆内力。空间桁架类似，由三个未知力节点入手即可。这种以节点为研究对象的方法称为节点法。桁架中各杆件均为二力杆；节点处，外力、各杆内力构成共点力系；B(c)3.4平面桁架杆件内力的计算节点法ACB1D23456E(a)C(b)D(d)例

图示桁架尺寸为AB=BC=BD=a；。集中力。试计算各杆的内力。3.4平面桁架杆件内力的计算节点法ACB1D23456E(a)C(b)xy解：(1)节点C（压杆）（拉杆）B(c)(2)节点B

（压杆）（拉杆）3.4平面桁架杆件内力的计算节点法ACB1D23456E(a)xy解：(1)节点CD(d)(2)节点B

(3)节点D联立求解（压杆）（拉杆）（方法一）3.4平面桁架杆件内力的计算节点法ACB1D23456E(a)xy解：(1)节点CD(d)(2)节点B

(3)节点D（方法二）（压杆）（拉杆）ACB1D23456EH30o30o30o30o798解：(1)以整体为研究对象例

图示桁架受三铅垂力作用，且，杆长AB=BD=DE=EH=a，求各杆的内力。例

图示桁架受三铅垂力作用，且，杆长AB=BD=DE=EH=a，求各杆的内力。解：(1)以整体为研究对象(2)逐点求解（略）ACB1D23456EH30o30o30o30o7983.4平面桁架杆件内力的计算截面法假想用一适当的截面将平面桁架截开，取其中一部分为研究对象，

若被截开的最多只包含三根杆件，则可由平衡方程求出这些杆件的内力。空间桁架处理类似，这种方法称为截面法。截面法特别适用于只求某些杆件的内力而不求全部杆件的内力时使用。(1)用截面I-I将桁架截开AB1D23456EII例

图示桁架尺寸为AB=BC=BD=a；。集中力。试计算1,3,6杆的内力。解：A(2)以右半部分为研究对象CDBC（压杆）（拉杆）（拉杆）3.4平面桁架杆件内力的计算桁架中的零力杆桁架中有杆件的内力为零的情况，称为零力杆或零杆。(1)节点仅连接两根不共线的杆，且该节点无外力的作用，则此两杆均为零杆。(2)

节点仅连接两根不共线的杆，且该节点只受与其中一杆共线的外力作用，则另一杆为零杆。(3)节点仅连接三根杆，且有两根杆共线，则当该节点无外力作用时，第三根杆为零杆。xy0000gm3.4平面桁架杆件内力的计算桁架中的零力杆桁架中有杆件的内力为零的情况，称为零力杆或零杆。a00bcdefhijklnopq这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，在网上完成相应的作业。

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EngineeringMechanics平面力系的平衡3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质两个非光滑面接触的物体，在外力作用下，沿其接触面存在相对滑动的可能时，物体之间就会产生相互阻止这种滑动的切向约束力。此现象称为摩擦。这种阻止物体之间相对运动的力称为摩擦力。摩擦有利（加以利用）、有弊（尽量避免、消除）。物理机理复杂，本课程仅从宏观效果说明其的性质。3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质两个非光滑面接触的物体，在外力作用下，沿其接触面产生相对滑动或相对滑动趋势时，仍保持相对静止时的摩擦称为静滑动摩擦（静摩擦），

相应摩擦力称为静滑动摩擦力（静摩擦力）；已产生相对滑动时的摩擦称为动滑动摩擦（动摩擦），

相应摩擦力称为动滑动摩擦力（动摩擦力）3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质物体平衡的要求：全约束力较小时，摩擦力足够大，物体保持平衡3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质令静摩擦因数物体平衡的要求：全约束力增大到使物体将动未动，临界状态，摩擦力达到最大值静摩擦力达到最大时，间夹角称为摩擦角。库仑静摩擦定律3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质物体平衡的要求：增大到使物体将动未动，临界状态，摩擦力达到最大值公法线摩擦锥主动力的合力作用线在摩擦锥之内，无论大小多大，物体总能保持平衡，称为摩擦自锁。全约束力3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质摩擦自锁的几何条件：公法线摩擦锥全约束力平衡时主动力的合力与公法线间夹角满足

螺旋千斤顶3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质时，物体将滑动，无法用平衡方程求解摩擦力动摩擦力:动摩擦因数全约束力3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.1滑动摩擦力及其性质小结：(1)物体之间无相对滑动且均处于静止状态时，摩擦力为静滑动摩擦力，其值可由物体的平衡方程确定，且有如下关系摩擦力的方向与物体相对运动或趋势的方向相反临界状态：未达到临界状态之前，由平衡方程求得摩擦力大小。(2)当物体之间有相对滑动时，摩擦力为动滑动摩擦力，其大小由物理关系确定，方向与相对运动方向相反。3.5考虑摩擦时的平衡问题3.5.2有摩擦力时物体的平衡条件确定研究对象；受力分析，画受力图；建立坐标系，列写平衡方程；(4)给出考虑摩擦的物理条件(5)求解。平衡方程这节课就讲到这里。同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，在网上完成相应的作业。

例如图(a)所示，粗糙斜面上放置一重量为G=100N的物块，已知物体与斜面间的静摩擦因数fs=0.3，斜面倾角为30°。试求欲使物块不滑动，应加多大的水平力F。(1)以物块为研究对象解：(2)假设物块有下滑趋势，其受力如图(b)所示(3)代入摩擦物理条件，得：(4)求解并将G=100N，fs=0.3代入得：BAC例

如图(a)所示直角托架，A

处为固定铰支座，B

处为光滑接触；托架在C

处受到铅垂方向、大小为F=6kN的集中载荷而处于平衡状态。若不计自重和各接触处摩擦，试求A、B

两处的约束力。解：(1)取托架为研究对象(2)受力分析并画其受力图(3)列写平衡方程并求解AC400300(a)(b)B(mm)34xyABC400300AC(a)(b)B(mm)34xy例

如图(a)所示直角托架，A

处为固定铰支座，B

处为光滑接触；托架在C

处受到铅垂方向、大小为F=6kN的集中载荷而处于平衡状态。若不计自重和各接触处摩擦，试求A、B

两处的约束力。解：(1)取托架为研究对象(2)受力分析并画其受力图(3)列写平衡方程并求解解：几何法ABC400300AC(a)(b)(c)(d)B(mm)34xy例

如图(a)所示直角托架，A

处为固定铰支座，B

处为光滑接触；托架在C

处受到铅垂方向、大小为F=6kN的集中载荷而处于平衡状态。若不计自重和各接触处摩擦，试求A、B

两处的约束力。(1)以AB梁为研究对象(2)作AB的受力图(3)建立平衡方程解：力偶只能由力偶平衡例在长为l简支梁AB上作用一已知力偶矩为M的力偶。不计梁自重，求A，B两处的约束反力。aa(b)d(a)(1)以AB为研究对象(2)作AB的受力图(3)建立平衡方程BCAa解：DllE例

图示匀质杆AB，长为2l，下端靠在光滑的铅直墙上，同时又被支承在光滑的右墙顶角C

点。已知两铅直墙的距离为a，求杆在平衡时与水平的夹角等于多大？解：(1)取悬臂梁为研究对象(2)受力分析并画其受力图(3)列写平衡方程并求解例悬臂梁AB

的尺寸和受到的载荷、约束如(a)所示，其中，，，若不计自重，试求悬臂梁在A

处所受的约束力。lq(a)xy2l/3(b)(b)lq(a)xy2l/3解：(1)取悬臂梁为研究对象(2)受力分析并画其受力图(3)列写平衡方程并求解例悬臂梁AB

的尺寸和受到的载荷、约束如(a)所示，其中，，，若不计自重，试求悬臂梁在A

处所受的约束力。的值为正值，表明其真实方向即为图示方向；的值为负值，表明其真实方向向下，与图示方向相反；的值为负值，表明其真实转向为顺时针转向，与图示转向相反。(b)lq(a)xy2l/3解：(1)取悬臂梁为研究对象(2)受力分析并画其受力图(3)列写平衡方程并求解例悬臂梁AB

的尺寸和受到的载荷、约束如(a)所示，其中