工程力学（第2版）课件：压杆稳定

工程力学

1压杆稳定

8.1压杆稳定的概念8.2细长压杆的临界力8.3压杆的临界应力8.4压杆的稳定计算8.5提高压杆稳定性的措施本章学习内容

8.1压杆稳定的概念

①强度

②刚度

③稳定性构件的承载能力：工程中有些细长构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。例如，取一根平直的钢锯条，将其竖直立于桌子上，在其上方，用手指压它，发现只使用很小的力钢锯条就会朝着厚度很薄的方向弯曲，从而丧失了承载能力。而若按强度条件来计算，钢锯条可以承受的压力则高达1600N。因此，对于细长压杆，除考虑强度问题外，还必须考虑稳定性问题。以下图所示细长直杆轴心受压为例，在大小不等的压力F作用下，观察压杆直线形式的平衡状态是否稳定。为便于观察，对压杆施加不大的横向干扰力，将其推至微弯状态。F轴压压弯F<Fcr恢复QF=Fcr压弯失稳F>Fcr保持常态、稳定失去常态、失稳QQQF<FcrQ8.1压杆稳定的概念轴向压力较小时，杆件能保持稳定的直线平衡状态；轴向压力增大到某一特殊值时，直线不再是杆件唯一的平衡状态；压杆稳定：理想中心压杆能够保持稳定的（唯一的）直线平衡状态；压杆失稳：理想中心压杆丧失稳定的（唯一的）直线平衡状态；临界力：压杆处于临界状态时，两端轴向压力的特殊值。8.1压杆稳定的概念除了细长压杆会发生失稳现象外，还存在着其他结构的失稳情况。8.1压杆稳定的概念8.2细长压杆的临界力8.2.1两端铰支时细长压杆的临界力推导：(1)弯矩：(2)挠曲线近似微分方程：EIFkcr=2令(3)微分方程的解：8.2.1两端铰支时细长压杆的临界力(4)确定积分常数：（n=0、1、2、3……）

临界力Fcr是微弯下的最小压力，故，只能取n=1，得欧拉公式8.2细长压杆的临界力8.2.2杆端为其他支承形式的细长压杆的临界力支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由失稳时挠曲线形状FcrABl临界力Fcr欧拉公式长度系数μμ=1

μ=0.7μ=0.5μ=2FcrABFcrABl0.7ll0.5lCCC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点Fcrl2l8.2细长压杆的临界力8.2.2杆端为其他支承形式的细长压杆的临界力（μ——长度因数，l——实际长度，μl——相当长度）欧拉公式（统一形式）8.2细长压杆的临界力【例8-1】如图所示，细长压杆的两端为铰支，弹性模量E＝200GPa，截面形状为：（1）方钢，截面尺寸为b×h＝50×50mm；（2）16号工字钢。杆长为l＝2.5m，在杆的一端施加轴向力F，试求当F为多少时该杆能处于稳定平衡状态。8.2细长压杆的临界力【例8-2】如图所示压杆在主视图（a）所在平面内，两端为铰支，在俯视图（b）所在平面内，两端为固定，材料的弹性模量E＝210GPa。试求此压杆的临界力。8.2细长压杆的临界力8.3压杆的临界应力8.3.1临界应力与柔度当压杆在临界力Fcr作用下处于直线临界状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示

λ——柔度，或长细比8.3.2欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极限σP。则λ≥λp（临界应力对应的柔度，判别柔度）当λ≥λp时，欧拉公式才能适用，这种压杆称为大柔度杆或细长杆。当λ<λp时，称为中、小柔杆或非细长杆，通过经验公式来计算。8.3压杆的临界应力8.3.3临界应力总图lplsscrlscr=a-blscr=

ss（1）当0≦λ≦λs时，为柔度较小的短粗杆，称为小柔度杆。这种压杆当应力达到屈服极限

σs才破坏。（2）当λs<λ<λp时，为中柔度杆，这种压杆临界应力与柔度成线性关系，其值小于屈服极限大于比例极限。（3）当λ≥λp时，为大柔度杆，这种压杆临界应力小于比例极限。8.3压杆的临界应力【例8-3】如图所示为由五根直径d=50mm的圆形钢杆组成边长为a=1m的正方形结构，材料为Q235钢，比例极限σp=200MPa，屈服应力σs=235MPa，弹性模量E=200GPa。试求该结构的许用载荷[F]。8.3压杆的临界应力【例8-4】某钢材的比例极限σp=230MPa，屈服应力σs=274MPa，弹性模量E=200GPa，σcr=331-1.09λ。试求λp和λ0，并绘出临界应力总图（0≤λ≤150)。8.3压杆的临界应力8.4压杆的稳定计算当压杆中的应力达到（或超过）其临界应力时，压杆会丧失稳定。要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应力的许用值，即稳定许用应力[σst]

式中nst为稳定安全因数φ为折减系数,是λ

的函数8.4压杆的稳定计算当压杆中的应力达到（或超过）其临界应力时，压杆会丧失稳定。要求横截面上的应力，不能超过压杆的临界应力的许用值，即稳定许用应力[σst]

稳定条件稳定条件可以进行三个方面的问题计算：1、稳定校核已知压杆的几何尺寸、所用材料、支承条件以及承受的压力，验算压杆是否满稳定条件；2、计算稳定时的许用荷载已知压杆的几何尺寸、所用材料及支承条件，按稳定条件计算其能够承受的需用荷载；3、进行截面设计(一般采用“试算法”)已知压杆的长度、所用材料、支承条件以及承受的压力，按照稳定条件计算压杆所需截面尺寸。

8.4压杆的稳定计算【例8-5】直径为d=200mm的圆形截面木柱，长为l=4.5m，其支承条件为一端固定，一端自由。已知木材的容许应力[σ]=10MPa，试验算当该柱承受轴向压力F＝50kN时是否安全。8.4压杆的稳定计算【例8-6】一圆形截面木柱，柱高2.5m，截面直径d=100mm，其支承条件为一端固定，一端铰支。已知木材的容许应力[σ]=10MPa，试确定该木柱所能承受的轴向压力F。8.4压杆的稳定计算8.5

提高压杆稳定性的措施8.5.1增大折减系数φ值（1）减小杆件长度（2）选择合理的截面形状8.5.2提高材料的弹性模量提高材料的弹性模量E值也可以改善压杆的