工程力学（第2版）课件：杆件结构的变形计算

工程力学

1杆件结构的变形计算

7.1轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律7.2弯曲变形7.3用叠加法计算梁的变形7.4梁的刚度条件7.5能量法基础7.6单位荷载法7.7图乘法7.8静定结构由于支座位移和温度变化所引起的位移计算本章学习内容

7.1.1绝对变形7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律①轴向绝对变形②横向绝对变形当杆受轴向拉伸时，Δl为正值，Δd为负值；当杆受轴向压缩时，则反之。7.1.2相对变形正应变单位长度的变形通常称为线应变（简称应变）。当杆各部分为均匀伸长（缩短）时，定义其线应变（简称为应变）为纵向正应变ε横向正应变ε’当杆受轴向拉伸时，ε为正值，

ε’为负值；当杆受轴向压缩时，则反之。线应变无量纲。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律7.1.3胡克定律当应力不超过某一限度，杆件变形为弹性变形时，材料的横向线应变ε’和纵向线应变ε之比的绝对值为一常数μ式中，为泊松比，无量纲，通常由试验测得。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律7.1.3胡克定律只要应力不超过某一极限值时，杆的轴向变形与轴力成正比、与杆的长度成正比、与杆的横截面面积成反比。∝引进比例常数E

，则有式中，E

为材料的弹性模量，常用单位GPa

。对同一材料，E为常数。→胡克定律由上式可知，受力和长度相同的杆件，绝对变形Δl和EA成反比，EA愈大，变形Δl就愈小。EA反映了杆件抵抗拉伸(压缩)变形的能力，故称为杆的抗拉(抗压)刚度。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律7.1.3胡克定律当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，或当拉（压）杆的横截面发生变化时，需要按下式分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长(缩短)量。如杆件轴力或横截面的变化是连续的，则下式中的代数和应改为相应的积分计算。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律7.1.3胡克定律将、代入上式，得上式是胡克定律的又一表达形式：当应力在线弹性范围内时，

应力与应变成正比。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律【例7-1】如图所示杆件材料的弹性模量E=200GPa，杆各段的横截面面积分别为AAB=ABC=2500mm2，ACD=1000mm2，杆各段的长度分别为lAB=lBC=300mm，lCD=400mm，试求：杆的总伸长量。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律【例7-2】一木柱受力如图所示，柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为服从胡克定律，其弹性模量E=10GPa，如不计柱的自重，试求木柱顶端A截面的位移。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律【例7-3】图中的M12螺栓内径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=80mm内产生的总伸长为Δl=0.03mm，钢的弹性模量E=210GPa，计算螺栓内的应力和螺栓的预紧力。7.1

轴向拉伸、压缩时的变形及胡克定律7.2.1工程弯曲变形问题7.2

弯曲变形1、限制弯曲变形：例吊车梁若变形过大，将使梁上小车行走困难，出现爬坡现象等；2、利用弯曲变形：叠板弹簧应具有较大的变形，才可以更好地起到缓冲减振的作用。7.2.2梁弯曲后的挠曲线挠度与转角弯曲变形所导致的梁横截面的位移可用两个参量来描述横截面形心的竖向线位移，横截面绕中性轴转动的角度，1.挠度（线位移，

w）为挠曲线的纵坐标w，图中上负下正即2.转角（角位移，

）在小变形情况下，转角为记作

，图中顺时针旋向为正，反之为负，挠曲线方程：7.2

弯曲变形式中，EIz称为梁的抗弯刚度。梁的挠曲线近似微分方程7.2

弯曲变形对梁的挠曲线近似微分方程一次积分，得转角方程二次积分，得挠曲线方程式中，C、D

为积分常数，由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定。7.2

弯曲变形位移边界条件、连续条件与光滑条件积分常数C、D由边界条件确定（常见支承情况下的边界条件）xyxyABCA②连续条件：③光滑条件：①位移边界条件：支座处的约束条件相邻两段梁在交界处的挠度相邻两段梁在交界处的转角7.2

弯曲变形【例7-4】左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布荷载如图所示。均布荷载集度为q，梁的弯曲刚度为EI，长度为l。q、EI、l均已知。求：梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转角。7.2

弯曲变形【例7-5】一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示，梁的弯曲刚度为EI，求梁的最大挠度及B截面的转角。7.2

弯曲变形【例7-6】图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。7.2

弯曲变形积分法求解梁位移的思路：1)求支座反力，列弯矩方程。2)列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其逐次积分。3)利用边界条件和连续条件确定积分常数。4)建立转角方程和挠度方程。5)求最大转角和最大挠度或指定截面的转角和挠度。7.2

弯曲变形7.3.1多个荷载作用时叠加法的应用在小变形和材料服从胡克定律的条件下，梁的挠曲线近似微分方程式是线性的，弯矩与荷载也具有线性关系，因此，梁在几个荷载共同作用下产生的弯曲变形等于各个荷载单独作用时产生的弯曲变形的代数和。假设等直梁受两个荷载作用，则每个荷载作用下：所以：每一荷载单独作用下的挠度之和与两个荷载共同作用下的挠度相等，这就是求梁的变形的叠加法。7.3

用叠加法计算梁的变形【例7-7】桥式起重机的大梁的自重为均布荷载，集度为q。作用于跨度中点的吊重为集中力F。试求大梁跨度中点的挠度。7.3

用叠加法计算梁的变形【例7-8】图示的悬臂梁，受集中力F和集度为q的均布载荷作用。求端点B处的挠度和转角。7.3

用叠加法计算梁的变形7.3.2间断性分布荷载作用时叠加法的应用当分布荷载不是沿全梁连续作用，而是间断性地分布在梁的某一段上时，可将间断性分布荷载变为梁全长上连续分布荷载，然后在原来没有分布荷载的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布荷载，最后再应用叠加法进行计算。7.3

用叠加法计算梁的变形7.4.1梁的刚度条件要求控制梁的弯曲变形不超过规范规定的容许值，所建立的关于梁最大挠度和最大转角的控制条件称为梁的刚度条件。|w|max——梁中绝对值最大挠度；|θ|max——绝对值最大转角；[w]——规定的许用挠度；[θ]——规定的许用转角。许用挠度和许用转角一般可由设计规范中查得：对吊车梁对架空管道7.4

梁的刚度条件【例7-10】一台起重量为50kN的单梁吊车，由45a号工字钢制成。已知电葫芦重5kN，吊车梁跨度l=9.2m，许用挠度[w]=l/500，材料的弹性模量E=210GPa。试校核此吊车梁的刚度。7.4

梁的刚度条件【例7-11】矩形截面悬臂梁承受均布荷载如图所示。已知q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，[σ]=118MPa，许用最大挠度与梁跨度比值[wmax/l]=1/250，且已知梁横截面的高度与宽度比为2，即h=2b，试求梁横截面尺寸b和h。7.4

梁的刚度条件7.4.2提高梁刚度的措施1．减小弯矩数值

调整梁的加载方式合理地设置支座位置2．改善结构形式减小梁的跨度增加支座3．选用合理截面

截面面积尽量分布在距中性轴较远处。例如，工字形、槽形、T形截面。7.4

梁的刚度条件变形——结构原有形状的变化。位移——某点位置或某截面位置和方位的移动。位移包括线位移和角位移两种。线位移——结构上某点沿直线方向相对于原位置移动的距离，结构上两点之间沿两点连线方向相对位置的改变量，称为相对线位移；角位移——杆件某截面相对于原位置转动的角度，结构上两个截面相对转动的角度称为相对角位移。7.5

能量法基础7.5.1作用在弹性杆件上的力所作的功1．常力功当杆件位移发生之前，力已经存在，且位移产生过程中，作用力不发生变化，则此时力所作的功为常力功。常力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力方向相应位移的乘积。2．变力功当弹性杆件在力的作用下所产生的位移随力和变形的增加而增加时，力所作的功为变力功。7.5

能量法基础力和位移均为广义的。力也可以是一个力偶，此时，位移应为相应的角位移。7.5

能量法基础7.5.2杆件的弹性应变能弹性体在外力的作用下将产生弹性变形，此时，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。而当外力逐渐减小时，弹性体的变形可逐渐恢复，储存在体内的能量被释放而作功。这种因弹性体变形而储存的能量称为弹性应变能。（例如钟表的发条）根据能量守恒定律，储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功。对于轴向拉压杆件：将FN=F和胡克定律代入得或7.5

能量法基础7.5.3互等定理1．功的互等定理设有两个不同的力系FPi（i=1,2,……m）、FSj（j=1,2,……n）作用在两个相同的结构如弹性梁上，则功的互等定理为力系FPi（i=1,2,……m）在力系FSj（j=1,2,……n）引起的位移上所作的功，等于力系FSj（j=1,2,……n）在力系FPi（i=1,2,……m）引起的位移上所作的功。Δij——力系FSj在FPi作用点处沿FPi方向引起的位移；Δji——力系FPi在FSj作用点处沿FSj方向引起的位移。7.5

能量法基础证明:加载过程一：先加FPi（i=1,2,……m），再加FSj（j=1,2,……n），记为P→S；加载过程二：先加FSj（j=1,2,……n），再加FPi（i=1,2,……m），记为S→P。两种梁由于变形而产生的应变能相等，(V

ε)P→S=(V

ε)S→P根据能量守恒原理，Δii、Δjj——分别表示力系FPi、FSj在自身作用点处且沿自身力的作用方向产生的位移。整理得7.5

能量法基础7.5.3互等定理2．位移互等定理设有两个力FP和FS，且FP

=FS，则位移互等定理可表述为Δij——力FS在FP作用点i处所引起的与FP相对应的位移；Δji——力FP在FS作用点j处所引起的与FS相对应的位移。7.5

能量法基础证明:两力系FPi（i=1,2,……m）和FSj（j=1,2,……n）中各自只取一个力FP和FS，则功的互等定理成为当FP

=FS

，有Δij=Δji当FP

=FS

=1时，所产生的位移Δ称为单位位移，用δ表示，此时位移互等定理可写成δij=δjiPS：互等定理中的力和位移均为广义的，力也可以是指一个力偶，此时，位移应为相应的角位移。7.5

能量法基础7.6

单位荷载法7.6.1结构位移计算假定1）结构材料处于弹性工作阶段，服从胡克定律，即应力应变成线性关系。2）结构满足小变形假设，在建立平衡方程时，仍然可用结构原有几何尺寸进行计算。3）结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力影响。满足上述条件的理想化结构体系，其位移与荷载之间为线性关系，称为线性变形体系，其位移计算可以应用叠加原理。7.6.2单位荷载法根据能量守恒定律，储存于弹性体内的应变能在数值上等于外力所作的功，即梁弯曲时的应变能代入上式得MF——力F引起的梁内弯矩，单位N.m；ΔF——梁在力F作用点沿力F方向产生的位移。7.6

单位荷载法7.6.2单位荷载法7.6

单位荷载法7.6.2单位荷载法

几种常见的广义位移所设置的单位荷载(单位广义力)7.6

单位荷载法7.6.2单位荷载法单位荷载法计算位移的主要步骤为：1）沿拟求位移的位置和方向加设相应的单位荷载。2）根据静力平衡条件，求出在所设单位荷载下结构的弯矩。3）根据静力平衡条件，计算在荷载作用下结构的弯矩MF。4）代入位移计算公式中计算位移。7.6

单位荷载法7.6.2单位荷载法

对于桁架对于组合结构7.6

单位荷载法7.6

单位荷载法【例7-12】求下图所示简支梁上力P点的作用点的竖向位移ΔF和转角θF。EI为常数。【例7-13】试计算如图所示桁架结点C的竖向位移。各杆EA为同一常数。7.6

单位荷载法7.7

图乘法7.7.1图乘法概念在利用单位荷载法计算梁、刚架在荷载作用下的位移时，如果结构的杆件数量较多或荷载情况比较复杂，用积分法计算比较麻烦。通常可以用比较简单的图乘法来代替积分运算，其前提是结构中的各杆段符合下列三个条件：1）杆轴是直线。2）杆段的弯曲刚度EI为常数。3）两个弯矩图和MF中至少有一个是直线图形。如果结构上所有各杆段均满足图乘法的三个条件，则图乘法的位移计算公式为7.7.2几种常见图形的面积和形心位置7.7

图乘法7.7.3应用图乘法时的几个具体问题1.应用条件杆为直杆，EI为常数，两个图形中至少有一个是沿着ω的整个长度为一直线变化的图形，纵坐标yC取自该直线图中。2.正负号规则面积ω与纵坐标yC在杆的同侧时，乘积ωyC取正号；否则取负号。3.分段计算（1）若用来选取纵坐标yC的图形是由几段直线组成的折线，则应分段计算。（2）杆件各段有不同的EI，则应在EI变化处分段并按分段进行图乘。7.7

图乘法7.7.3应用图乘法时的几个具体问题4.叠加计算当图形比较复杂而使得面积计算或形心位置确定比较困难时，可将复杂图形分解为若干个简单图形，分别将简单图形相乘后再叠加。1)两个图形都是梯形，为避免求梯形面积的形心，可以把一个梯形分解为两个三角形(或分为一个矩形和一个三角形)，分别应用图乘法，然后叠加。7.7

图乘法7.7.3应用图乘法时的几个具体问题1)两个图形都是梯形，为避免求梯形面积的形心，可以把一个梯形分解为两个三角形(或分为一个矩形和一个三角形)，分别应用图乘法，然后叠加。7.7

图乘法7.7.3应用图乘法时的几个具体问题1)两个图形都是梯形，为避免求梯形面积的形心，可以把一个梯形分解为两个三角形(或分为一个矩形和一个三角形)，分别应用图乘法，然后叠加。7.7

图乘法7.7.3应用图乘法时的几个具体问题2)对于图中所示在均布荷载及杆端弯矩作用下的杆件，可根据直杆弯矩图的叠加法原理，将其分解成由两端弯矩产生的直线弯矩图、在均布荷载q作用下的抛物线弯矩图两部分，再根据分解后的图形与另一弯矩图进行图形相乘，最后将图乘结果相加。7.7

图乘法【例7-14】用图乘法计算图中所示简支梁在均布荷载q作用下中点C的挠度，EI=常数。7.7

图乘法【例7-15】计算图中所示伸臂梁在C端截面的转角，EI=45kN·m2，为常数。7.7

图乘法【例7-16】下图所示变截面杆AB段的弯曲刚度为4EI，BC段的弯曲刚度为EI，试求C点的竖向位移ΔCy。7.7

图乘法【例7-17】求图中所示多跨静定梁D点的竖向位移ΔDy和铰C处左、右两侧截面的相对转角θC。7.7

图乘法【例7-18】求图中刚架在水压力作用下C、D两点的相对水平位移。各杆EI=常数。7.7

图乘法【例7-19】求图中所示刚架刚结点C处的转角。各杆弯曲刚度EI=常量。7.7

图乘法7.8

静定结构由于支座位移和温度变化所引起的位移计算静定结构由于支座位移和温度变化等因素的作用，会产生位移，此类位移的计算可以利用虚功原理来进行。1.虚功由前述可知，常力所作的功定义为该力的大小与其作用点沿力方向相