浙江省杭州市西湖区仁和实验学校2024-2025学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

2024学年第一学期高一年级期末考试数学试题卷命卷人：高峰注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.已知集合，则（）A. B.C. D.R2.函数定义域为（）A. B.C. D.3.已知p：θ为锐角，q：θ为第一象限角，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若，则（）A0 B.1 C. D.5.已知，且，则（）A. B. C. D.6.计算：（）A. B. C. D.7.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.38.已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（）A B. C. D.2二、选择题（本小题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的最小正周期为πC.在区间上单调递增 D.为奇函数10.已知，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.11.已知函数，若方程，则（）A.当或时，方程有个解B.当时，方程有个解C.当或时，方程有个解D.当时，方程有个解三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.已知点是角α的终边上一点，则_____．13.已知函数为奇函数，则_____．14.如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为_____．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.求值（1）；（2）．16.已知为锐角，．（1）求证：；（2）的值．17.已知函数.（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）当时，求最小值和最大值.18.已知函数（a为常数）是奇函数．（1）求a的值与函数的定义域．（2）若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围．19.对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”.（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；；（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由.

2024学年第一学期高一年级期末考试数学试题卷命卷人：高峰注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.已知集合，则（）A. B.C. D.R【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式的解集，然后利用集合的交集运算求解即可.【详解】或，，所以，故选：C2.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，可得不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由函数有意义，等价于，解得且，故函数的定义域为.故选：A.3.已知p：θ为锐角，q：θ为第一象限角，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由θ是锐角,则θ是第一象限角，反之不成立，可得结论.【详解】由θ是锐角，则θ是第一象限角；反之不成立，例如是第一象限的角，但是不是锐角.所以p是q的充分不必要条件.故选：A.4.若，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由对数与指数幂的运算性质求解即可.【详解】因为，所以，故，故选：D5.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和同角三角函数关系可得.【详解】因为，所以，由平方关系可得，所以.故选：B6.计算：（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由两角和的正切公式的逆用结合诱导公式求解即可.【详解】，故选：D7.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用的定义，进行分段讨论，找出与图象交点个数即可.【详解】由题，，故时，，与没有交点，当时，，与没有交点，当时，，与有一个交点，当时，，与有1个交点，当时，，与没有交点，故共有2个交点，故选：C.8.已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】由条件结合余弦型函数的性质列关系式求.【详解】因为函数为奇函数，所以，，又函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，由函数为奇函数且在区间上单调，所以函数在区间，所以函数的周期，所以，又，所以，故选：C.二、选择题（本小题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的最小正周期为πC.在区间上单调递增 D.为奇函数【答案】BC【解析】【分析】利用函数的周期定义易判断AB项，利用正弦函数的单调性和绝对值函数的图象变换可判断C项，利用奇函数的定义可判断D项.【详解】对于AB，因，故的最小正周期不是，故A项错误；假设存在，对于，都有，不妨取，则，而因，，即不存在比更小的正周期，故的最小正周期是,故B项正确；对于C，当时，单调递减，且为负值，将在上的图象沿着轴翻折，即得在上的图象，故在区间上单调递增，故C项正确；对于D，因的定义域为，且，故不是奇函数，即D项错误.故选：BC.10.已知，，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、B、D选项可直接利用基本不等式判断是否正确，C选项可通过基本不等式进行计算并判断出是否正确.【详解】A．因为，所以，所以，取等号时，故正确；B．因为，取等号时，故正确；C．因为，取等号时，故错误；D．因为，所以，取等号时，故正确.故选：ABD.【点睛】本题考查基本不等式链的简单运用，难度一般.当时，，当且仅当时取等号.11.已知函数，若方程，则（）A.当或时，方程有个解B.当时，方程有个解C.当或时，方程有个解D.当时，方程有个解【答案】BCD【解析】【分析】根据分段函数的性质及函数单调性与最值情况，数形结合，转化为函数图像与直线交点情况.【详解】由已知，当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，且，，当时，，函数上单调递增，且此时，做出函数图像如图所示，方程解可转化为函数与函数的交点横坐标，当时，函数与函数有一个交点，即方程有个解；当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解；当时，函数与函数有三个交点，即方程有个解；当时，函数与函数有两个交点，即方程有个解；即A选项错误，BCD选项正确；故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.已知点是角α的终边上一点，则_____．【答案】##【解析】【分析】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得.【详解】点即，依题意，.故答案为:.13.已知函数为奇函数，则_____．【答案】【解析】【分析】由奇函数的定义求解即可.【详解】函数为奇函数，其定义域为，所以，所以，即，所以，所以.故答案为：14.如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为_____．【答案】##【解析】【分析】利用三角函数的定义表示出点，在直角三角形中表示出，进而得出矩形的面积表达式，从而得到最大值.【详解】设点，由则，所以矩形的面积，由，，，，当且仅当时取到最大值.故矩形面积的最大值为故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15求值（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算即得；（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即得.【小问1详解】；【小问2详解】.16.已知为锐角，．（1）求证：；（2）的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由两角和的正弦公式展开求解出，然后证明即可；（2）由（1）求出值，然后利用平方和关系结合角的范围求解即可.【小问1详解】证明：因为，所以，又，所以，所以，即所以【小问2详解】，所以，因为为锐角，所以，所以，所以，所以.17.已知函数.（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）当时，求的最小值和最大值.【答案】（1），对称轴，；（2）最小值为0，最大值为.【解析】【分析】（1）将函数化简，再根据正弦型函数的图象和性质求最小正周期和对称轴即可.（2）用换元法将求的最值转化成，再根据正弦型函数的图象和性质求最值即可.【详解】解：，（1）最小正周期为，由，得出对称轴，；（2），令，则，，即最小值为0，最大值为.18.已知函数（a为常数）是奇函数．（1）求a的值与函数的定义域．（2）若对任意的时，都有恒成立．求实数m的取值范围．【答案】（1）；函数的定义域为；（2）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，求得，再通过函数解析式舍去，求解一元二次不等式即得函数的定义域；（2）先根据对数型复合函数的单调性求出函数在上的值域，再利用不等式恒成立即可求出参数m的取值范围.【小问1详解】因是奇函数，故，即得，则有，因不恒为0，故，当时，，由，可得，即函数的定义域为：，又，故是奇函数；当时，因，函数没有意义.综上，且函数的定义域为.【小问2详解】由（1）得，因，函数在上为减函数，故得，又因在上为增函数，故有，即，依题意对任意的恒成立，故，解得，故实数m的取值范围为.19.对于定义在区间D上的函数，若存在，对任意的，都有，则称函数在区间D上有“下界”，把称为函数在D上的“下界”.（1）分别判断下列函数是否有“下界”？如果有，写出“下界”，否则请说明理由；；.（2）请你类比函数有“下界”的定义，写出函数在区间D上有“上界”的定义；并判断函数是否有“上界”，且说明理由.【答案】（1）无下界，理由见解析；有下界，为8；（2）答案见解析，无“上界”，理由见解析【解析