《矩阵初等变换的一些应用研究》8100字

矩阵初等变换的一些应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u4761摘要 1381.矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。 17908绪论 2220531.研究背景与意义 2227512.研究内容 328271第一章矩阵的秩 3202181.1矩阵的初等变换 367391.2证明过程 4161991.3举例说明 124508第二章矩阵的秩与行列式的联系 1352442.1证明过程 1397132.2举例说明 1619522第三章初等变换与矩阵标准形的联系 1836973.1证明过程 1863843.2举例说明 2029952结论 23251141）“矩阵的行秩等于列秩”的重新证明； 23315143）“任意矩阵都可经过初等变换变为标准形矩阵”的重新证明。 238864参考文献 23摘要作为矩阵理论的重要组成部分，矩阵初等变换是贯穿高等代数教学活动始末的一个重要概念。它也是解决高等代数诸多问题的重要工具，在高等代数中具有重要地位和广泛的应用。本论文主要讨论矩阵初等变换的一些应用，从矩阵的初等变换的角度重新证明一些矩阵的基本事实：矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩。一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.任意矩阵都与一左上角为单位矩阵且其余元素都为零的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以为0）.初等变换的这三个应用构成论文的主要内容，而在每一个应用中，都会通过一些例题进一步说明这些应用的理论意义。关键词：初等变换矩阵的秩标准形绪论1.研究背景与意义在世界数学史上，矩阵的概念最早是由詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特[1]提出的。1858年以来，英国数学家凯莱发表了一系列有关矩阵的论文，如《矩阵论的研究报告》。他研究了矩阵的运算规律、矩阵的逆、矩阵的转置和特征多项式方程等问题[2]。到19世纪末，矩阵理论体系基本形成。20世纪，矩阵理论得到了进一步的研究。目前，矩阵理论已成为数学理论的重要组成部分。矩阵理论作为处理量与有限维空间的重要工具，不仅是学习代数学的基础，而且在许多领域都有重要的应用价值[3]。例如，从1904年到1910年，希尔伯特用矩阵来研究积分方程，然后将积分方程应用到数学物理问题中。1925年，海森堡的无限矩阵理论应用于量子论[4]，矩阵力学应运而生。1927年，希尔伯特等人开始用矩阵理论、积分方程等分析工具研究量子理论，并在抽象几何中研究量子力学的特征值问题[5]。矩阵初等变换作为矩阵理论的重要组成部分[6]，有着丰富的研究成果。比如王廷明[7]用构造分块矩阵和广义初等变换的方法证明了矩阵秩的（不）等式。王路群、刘英、李凤霞、刘冬丽[8]利用初等变换对一次不定方程进行求解，并给出了相关结论。吕效国和赵本刚[9]借助初等变换理论，可以构造性地求出演化矩阵，即求出具体的可逆矩阵，使,且不仅限于存在性证明，应用实例表明，该方法具有普遍性。陈亮、杜翠真和高勤[10]研究了实对称矩阵正交对角化过程中正交矩阵的求解方法，给出了利用初等变换求解正交矩阵的方法。该方法不需要用特征方程求解特征值和特征向量，只使用初等变换和施密特正交化法。牛兴文[11]用初等变换证明了若尔当标准形式定理。掌握矩阵初等变换对我们学好高等代数很有帮助。例如，针对高等代数学习中常出现的一些抽象繁琐的问题，我们都可以利用矩阵初等变换去求解。在整个高等代数学习过程中，矩阵的初等变换在行列式的计算、极大向量无关组、二次型的变换、线性空间、线性变换、-矩阵等问题[12]中起着重要的作用。因此，矩阵初等变换在一定程度上显示了矩阵理论的独特魅力。2.研究内容作为矩阵理论的重要组成部分，矩阵的初等变换起源于求解线性方程组的消元法，这是高等代数学的一个基本概念：在解多元线性方程组时，经常对方程组实施三类初等变换达到消元的目的，而这三类初等变换本质上反映在方程组系数矩阵上的初等变换。矩阵的初等变换（行和列变换）是高等代数学的一个重要概念，也是解决数学和其他学科问题的重要工具。本论文主要对矩阵初等变换的性质应用作进一步的研究分析。在论文中将首先论述初等变换的理论基础，其次论述（证明）初等变换的三个应用，最后进行总结。本论文结构安排如下：第一章矩阵的秩，这一章主要总结出两个引理，对此进行证明并给出实例进行验证，进而利用两个引理完成对“矩阵行秩等于矩阵列秩”的证明。第二章矩阵的秩与行列式的联系，这一章将讨论矩阵的秩与其子式之间的关系，完成“矩阵的秩为的充要条件是矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零”的证明，举例说明了子式在矩阵的秩的证明中的应用。第三章初等变换与矩阵标准形的联系，这一章初等变换、矩阵的秩与矩阵标准形联系在一起，给出了求解矩阵标准形的另一种角度。在证明过程中将定理分为三种情形，分别讨论，从而完成矩阵标准形的证明。第一章矩阵的秩当我们把矩阵的每一行或每一列看作一个向量时，那么矩阵就是由若干个行向量或列向量组成的.向量组的秩是由极大线性无关组的个数决定的，因此相应地，矩阵的秩就是行向量组的秩或列向量组的秩。我们知道矩阵的行秩等于列秩，但这不是偶然的.1.1矩阵的初等变换在解线性方程组时，经常对方程实施下列三种变换：交换方程组中某两个方程的位置；用一个非零常数乘以某一个方程；将某一个方程的倍加到另一个方程上。这三种变换不会改变方程组的解，我们把这三类方程的运算称为方程组的初等变换[13]。显然，方程组的初等变换不改变矩阵的秩，方程组系数矩阵的秩不变。把这三类初等变换转移到矩阵上，就是矩阵的初等行变换。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换，下面来定义矩阵的初等变换。数域上矩阵的初等变换是指下列三种变换：以中的一个非零的数乘矩阵的某一行（列）；互换矩阵中两行（列）的位置；中任意一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）；当一个矩阵经过初等变换后，它就变成了另一个矩阵.当矩阵经过初等变换变成矩阵时，我们表示为.1.2证明过程下面我们将用两个引理来完成证明过程.利用矩阵的初等变换，我们可以得到以下两个引理.引理1设是一个矩阵.对矩阵进行若干次的初等行变换，则以下（i）,（ii）成立.初等行变换把的行向量组变换为等价的行向量组.因此，的行秩不变.初等行变换不改变的列向量组的线性相关性（无关性）.因此，的列秩不变.证明为了证明引理中的（i），我们只需证明每一次初等行变换（3种类型）不改变行秩即可.下面我们对3种类型的初等行变换分别进行讨论.（）记，不妨设，.显然，行向量组与行向量组等价.因而，行向量组与行向量组的秩相等.因此，的行秩等于的行秩.（）记，不妨设，.显然，行向量组与行向量组等价.因而，行向量组与行向量组的秩相等.因此，的行秩等于的行秩.（）记，不妨设，.显然，行向量组与行向量组等价.因而，行向量组与行向量组的秩相等.因此，的行秩等于的行秩.即引理中的（i）成立.为了证明引理中的（ii），我们只需证明每一次初等行变换（3种类型）不改变列秩即可.下面我们对3种类型的初等行变换分别进行讨论.记，不妨设，.向量中元素发生变化，但向量之间原有的数量关系式不发生改变.显然，列向量组与列向量组的线性相关性（无关性）是不发生改变的.因此，的列秩等于的列秩.记，不妨设，.向量中元素位置发生变化，但向量之间原有的数量关系式不发生改变.显然，向量组与向量组的线性相关性（无关性）是不发生改变的.因此，的列秩等于的列秩.记，不妨设，.不难证明，向量组与向量组的线性相关性（无关性）是不发生改变的.因此，的列秩等于的列秩.即引理中的（ii）成立，这就完成了引理的整个证明.例1计算下列矩阵的行秩.；2）.根据引理1，对以上两个矩阵进行初等行变换.1）.因此，矩阵的行秩为4.2）.因此，矩阵的行秩为5.通过观察我们发现，例1中第一个矩阵的第一行与第三行的所有元素互为相反数，很显然行秩为4，经过一系列的初等行变换后行秩仍为4；第二个矩阵的行秩为5，经过一系列的初等行变换后行秩仍为5.这就印证了“初等行变换不改变矩阵的行秩”.例2矩阵，用矩阵的初等行变换来看的列秩..一方面由引理可知，初等行变换不改变矩阵列秩.另一方面利用初等行变换将化为阶梯形矩阵，用来表示阶梯形矩阵的列向量，很容易看出.显然矩阵的列秩仍为3.引理2设是一个矩阵.对矩阵进行若干次的初等列变换，则以下（i），（ii）成立.（i）初等列变换把的列向量组变换为等价的列向量组.因此，的列秩不变.（ii）初等列变换不改变的列向量组的线性相关性（无关性）.因此，的行秩不变.证明为了证明引理中的（i），我们只需证明每一次初等列变换（3种类型）不改变列秩即可.下面我们对3种类型的初等列变换分别进行讨论.（）记，不妨设，.显然，列向量组与列向量组等价.因为等价向量组的极大线性无关组也等价，所以向量组与向量组的秩是相等的.因此，的列秩等于的列秩.（）记，不妨设，.显然，列向量组与列向量组等价.因而，列向量组与列向量组的秩相等.因此，的列秩等于的列秩.（）记，不妨设，.显然，列向量组与列向量组等价.因而，列向量组与列向量组的秩相等.因此，的列秩等于的列秩.即引理中的（i）成立.为了证明引理中的（ii），我们只需证明每一次初等列变换（3种类型）不改变行秩即可.下面我们对3种类型的初等列变换分别进行讨论.记，不妨设，.向量中元素发生变化，但向量之间原有的数量关系式不发生改变.显然，行向量组与行向量组的线性相关性（无关性）是不发生改变的.因此，的行秩等于的行秩.记，不妨设，.向量中元素位置发生变化，但向量之间原有的数量关系式不发生改变.显然，行向量组与行向量组的线性相关性（无关性）是不发生改变的.因此，的行秩等于的行秩.记，不妨设，.不难证明，行向量组与行向量组的线性相关性（无关性）是不发生改变的.因此，的行秩等于的行秩.即引理中的（ii）成立，这就完成了引理的整个证明.例3计算下列矩阵的列秩.；2）.根据引理2，对以上两个矩阵进行初等列变换.1）.因此，矩阵的列秩为4.2）.因此，矩阵的列秩为5.通过观察我们可以发现，例3中第一个矩阵的第二列与第四列的所有元素互为相反数，很显然列秩为4，经过一系列的初等列变换后列秩仍为4；第二个矩阵的列秩为5，经过一系列的初等列变换后列秩仍为5.这就印证了“初等列变换不改变矩阵的列秩”.例4矩阵，用矩阵的初等列变换来看的行秩..一方面由引理可知，初等列变换不改变矩阵行秩.另一方面利用初等列变换将化为阶梯形矩阵，用来表示阶梯形矩阵的行向量，很容易看出线性无关.显然矩阵的行秩仍为4.利用上面的两个引理，我们可以证明下面的定理.定理1设是一个矩阵，则的行秩等于的列秩.证明：令.设矩阵的行秩为，列秩为，不失一般性，我们设矩阵的前个行向量是线性无关的。,不妨设.易知，矩阵的任意个列向量是线性相关的.因此，的列秩.由引理1可知，初等行变换不改变矩阵的列秩.因而，的列秩.,不妨设.易知，矩阵的任意个行向量是线性相关的.因此，的行秩.由引理2可知，初等列变换不改变矩阵的行秩.因而，的行秩.综上所述，即矩阵的行秩等于列秩.1.3举例说明下面通过两个实例说明这部分的主要结论.例5设，对进行初等行变换.容易得知矩阵的行秩为3，列秩小于等于3.又初等行变换不改变矩阵的列秩，所以矩阵的列秩小于等于3.对进行初等列变换.容易得知矩阵的列秩等于3.得出结论，矩阵的行秩等于列秩.例6设，对进行初等行变换不难判断矩阵的行秩为3，列秩小于等于3.又初等行变换不改变矩阵的列秩，所以矩阵的列秩小于等于3.再对进行初等列变换.容易得知矩阵的列秩等于3.得出结论，矩阵的行秩等于列秩.我们在求解矩阵的秩这类问题时，利用初等变换不改变矩阵的行秩和列秩这一结论，将矩阵化为阶梯形矩阵来得到矩阵的秩[14].这一理论在矩阵理论中有着十分重要的作用，对求解线性方程组和建立矩阵与行列式之间的关系具有重要的理论意义.第二章矩阵的秩与行列式的联系在讨论线性方程组解的问题时，除了利用矩阵的秩外，一般也需要借助行列式的值来判断.因此，在这一章中，我们讨论矩阵的秩和行列式的值之间的关系.2.1证明过程为了建立矩阵的秩与行列式之间的关系，我们引入了矩阵的级子式.由于在选择行、列时位置不同，相对应的级子式也不同，这也就决定了级子式是很多的.那么，矩阵的秩与其级子式之间的关系[15]可以表示为：定理2一矩阵的秩是的充分必要条件为矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零.证明：先证必要性.设矩阵的秩为.这就是说，矩阵中行向量组极大线性无关组个数为，列向量组极大线性无关组个数为（不妨设前个）.令,所以.现在来证矩阵中所有级子式全为零.设任意一个矩阵的级子式为，假设，显然矩阵的行向量组线性无关.这就是说，矩阵的行向量组所处在的行向量组线性无关.因此，矩阵的秩大于等于，而这与假设矛盾.所以矩阵为零.这就证明了必要性.再证充分性.不妨设是一个不为零的级子式，则.由可知（下面用来表示一系列初等变换）.因此，（*）中的每一行都可以换到矩阵的第行，进行适当的列变换，第行中每一个（*）中的元素可以换到矩阵的第位置，因而可以变换到0.综上所述，矩阵可经过适当的行变换、列变换到，因此矩阵的秩为[16].2.2举例说明下面通过两个实例说明这部分的主要结论.例7设，已知的一个3级子式不为零.请从级子式的角度说明的秩.不妨设为满足条件的3级子式，对进行初等变换，以为中心，消去相邻非零元素..经过一系列的初等行变换、列变换，中出现一个值为零的四级子式，下面我们接着利用消去其他非零元素..显然，的所有4级子式都为零，存在一个3级子式不为零，所以矩阵的秩为3.例8设，已知的一个3级子式不为零.请从级子式的角度说明的秩.不妨设为满足条件的3级子式，对进行初等变换，以为中心，消去相邻非零元素..经过一系列的初等行变换、列变换，中出现一个值为零的四级子式，下面我们接着利用消去其他非零元素..显然，的所有4级子式都为零，存在一个3级子式不为零，所以矩阵的秩为3.通过这两个实例，我们发现这其实也是判断矩阵的秩的一种方法.以上过程我们总结为：根据已知条件假设符合条件的级子式，为了方便计算，一般选择左上角元素.以这个级子式为中心，对矩阵进行初等变换，将这个级子式所有的相邻元素消为零.接着交换下面的一行和一列，再次以这个级子式为中心进行初等变换.以此类推下去，就可以把这个级子式以外的所有元素消为零，得出“所有级子式都为零”这个结论.因此，矩阵的秩为.否则，矩阵的秩不为.第三章初等变换与矩阵标准形的联系利用初等变换矩阵可以简化求解线性方程组的计算过程，从而得到方程组的解。在求解线性方程组的过程中，我们需要对系数矩阵进行一系列的初等变换，以达到简化的目的.对系数矩阵经过一次初等变换，就相当于左乘或右乘了一个初等矩阵，因此矩阵的最简形就是一次次矩阵乘法后积累的结果[17].那么，我们就可以说矩阵与其最简形等价[18].那矩阵与其标准形是否等价，我们利用一个引理来给出这部分内容的证明.3.1证明过程引理设是一个阶方阵且可逆（即的秩为），则对只进行初等行变换或列变换，那么可化为阶单位阵.证明：以下过程只进行初等行变换.由的秩为可知，矩阵第一行元素不全为零.假设，对进行初等行变换，重复以上步骤，将化为上三角矩阵.因为可逆，，所以对角线上元素都不为零.以的最后一行分别消去最后一列的所有元素，以的倒数第二行分别消去倒数第二列的所有元素，以此类推，就化为了一个阶单位阵.只进行初等列变换利用类似方法即可证明.定理3任意一个矩阵都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵的标准形，主对角线上1的个数等于的秩（1的个数可以为0）.证明：如果，显然已经是标准形了.以下讨论中，假定.设的秩为.当时，不妨设矩阵的前个行向量线性无关，那么通过初等行变换，可变换为.由定理1的引理可知，初等行变换不改变列向量组的线性相关性.又因为行秩等于列秩，因此再假设前个列向量线性无关.那么，经过初等列变换，可变换为.这时左上角是一个阶方阵且秩为，根据引理这个阶方阵可经过初等变换为单位阵.这样就得到了所要的标准形.该单位阵阶数为，因而1的个数也就是，即1的个数等于的秩.当时，此时是一个行满秩矩阵.假设前个列向量线性无关，经过初等列变换，可变换为.这时，的左半部分为一个阶方阵且秩为，可变换为单位阵.这样就得到了所要的标准形.显然，1的个数等于的秩.当时，此时是一个列满秩矩阵.假设前个行向量线性无关，经过初等行变换，可变换为.这时，的上半部分为一个阶方阵且秩为，可变换为单位阵.这样就得到了所要的标准形.显然，1的个数等于的秩.综上所述，任何一个矩阵都可通过初等变化为标准形且1的个数等于矩阵的秩[19].3.2举例说明例9求下列矩阵的标准形.1）；2）；3）；4）.1）该矩阵的行数等于列数，所以对矩阵首先进行初等行变换，变为阶梯形矩阵.我们发现产生了元素全为零的行，因而接着进行初等列变换，使矩阵中出现元素全为零的列.这时，只需要对左上角元素进行简单的初等变换，即可得到矩阵的标准形.2）该矩阵的行数大于列数，所以对矩阵进行初等行变换，变为阶梯形矩阵.在变为阶梯形矩阵过程中，产生了元素全为零的行，因而接着进行初等列变换，使矩阵中出现元素全为零的列.这时，只需要对左上角元素进行简单的初等变换，即可得到矩阵的标准形..3）该矩阵的行数小于列数，所以对矩阵进行初等列变换，变为阶梯形矩阵.在变为阶梯形矩阵过程中，产生了元素全为零的列，因此该矩阵的秩为4.这时，我们发现矩阵是一个行满秩矩阵.所以只需要对左半部分元素进行简单的初等列变换，即可得到矩阵的标准形..4）该矩阵的行数等于列数，下列步骤与1）一致..在应用此方法求解矩阵的标准形时，首先比较行数和列数的大小关系，若行数等于列数或者行数大于列数，则先进行初等行变换，化矩阵为阶梯形矩阵后进行初等列变换；若行数小于列数，则先进行初等列变换，化矩阵为阶梯形矩阵后进行初等行变换，目的都是产生元素全为零的行和列.之后，对剩下的非零元素进行简单的初等变换，即可得到矩阵的标准形.结论本文从矩阵的初等变换角度出发首先研究了矩阵的行秩等于列秩的问题，通过两个引理给出了这一结论的重新证明。通过求解矩阵的秩实例进一步说明这一结论，更一步对矩阵理论知识的学习提供捷径。紧接着针对这一结论借助级子式，建立了矩阵的秩与行列式之间的联系，提供了从级子式角度求解矩阵的秩的思路，达到了对矩阵初等变换理论的进一步学习和研究的目标。最后，通过讨论任意矩阵都可通过初等变换变为标准形矩阵，为化简矩阵为标准形矩阵提供了新思路、新方法。本文主要做了以下工作：“矩阵的行秩等于列秩”的重新证明；“矩阵的秩为的充要条件是矩阵中有一个级子式不为零，同时所有级子式全为零”的重新证明；“任意矩阵都可经过初等变换变为标准形矩阵”的重新证明。参考文献[1]董可荣.矩阵理论的历史研究[D].山东大学硕士学位论