2025年广东省清远市清新区中考数学一模试卷（含解析）

第1页（共1页）2025年广东省清远市清新区中考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在，1，，0这四个实数中，最小的是A． B．1 C． D．02．（3分）下列运算正确的是A． B． C． D．3．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A． B． C． D．4．（3分）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为A． B． C． D．5．（3分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为A． B． C． D．6．（3分）近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是A． B． C． D．7．（3分）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是A．10 B．11 C．12 D．138．（3分）如图，在菱形中，于点，，，则的长是A． B．6 C． D．129．（3分）关于的方程为常数）根的情况，下列说法正确的是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定10．（3分）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）8的立方根是．12．（3分）请你写出一个位于平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标．13．（3分）化简．14．（3分）如图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．（参考数据：，，15．（3分）如图，在△中，，，，点在边上，将△沿直线翻折，使点落在点处，连接并延长，交的延长线于点，若，则线段的长为．三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分．16．（7分）求值：，其中．17．（7分）如图，在中，是对角线．（1）作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．18．（7分）近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，训练一个模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条，训练时间为分钟．（1）求关于的函数关系式；（2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量．19．（9分）某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下：（1）学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由．（2）评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，如表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：评委1评委2评委3评委4评委5平均分众数中位数方差王丽48878788李英76.9777.1770.004①表格中，；②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？20．（9分）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”．（1）请写出一个30到50之间的“正巧数”：；（2）已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值．21．（9分）如图，在△中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．22．综合与实践汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列．学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1；再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点、、即为对角线的四等分点．（1）求证：为对角线的四等分点；（2）请在图2中画出的三等分点（不写作法，保留作图痕迹），并证明；（3）请在图3中用与（2）不同的方法作（或画）出的一个三等分点．（要求：写出简要方案并作（或画）图，不用证明，但要保留作（或画）图痕迹）．23．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与过点的直线交于点．（1）求点的坐标和直线的表达式；（2）在直线上存在一点，使得△的面积是△的面积的4倍，求点的坐标；（3）如图2，点是直线在第二象限图象上的一点，且点在点的下方，作射线，把射线绕点顺时针旋转，得到射线，在射线上取一点，连接，使得，当△为等腰直角三角形时，求出此时的长度．

2025年广东省清远市清新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案C．ACCBDCAAD一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）在，1，，0这四个实数中，最小的是A． B．1 C． D．0【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．【解答】解：，最小的数是：．故选：．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．2．（3分）下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】根据幂的乘方与积的乘方、合并同类项、去括号、同底数幂的乘法进行计算，逐一判断即可．【解答】解：．，故本选项符合题意；不能合并同类项，故本选项不符合题意；，故本选项不符合题意；，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、去括号、同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．3．（3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；、是轴对称图形，是不中心对称图形，故此选项不符合题意；、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为A． B． C． D．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及使得小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：由电路图可知，闭合开关和或和时，小灯泡发光．列表如下：，，，，，，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，共4种，使得小灯泡发光的概率为．故选：．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．5．（3分）随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出即可．【解答】解：，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．6．（3分）近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是A． B． C． D．【分析】由于近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米成反比例，可设，把点代入求得的值，得到反比例函数解析式，根据题意列出不等式，解不等式即可求出焦距的取值范围．【解答】解：根据题意，近视眼镜的度数（度与镜片焦距（米成反比例，设，点在此函数的图象上，，，，，，，，即镜片焦距的取值范围是米，故选：．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．7．（3分）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据正多边形内角的求解方法列方程求解即可．【解答】解：，，，设这个正多边形为正边形，则解得，经检验是原方程的解，即这个正多边形是正十二边形，故选：．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形内角的计算方法是解决问题的关键．8．（3分）如图，在菱形中，于点，，，则的长是A． B．6 C． D．12【分析】由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由菱形的面积求出的长即可．【解答】解：四边形是菱形，，，，，，在△中，由勾股定理得：，．，，，，故选：．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．9．（3分）关于的方程为常数）根的情况，下列说法正确的是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】先把方程化为一般式为，再计算出根的判别式的值，再利用配方法得到△，从而可判断△，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：方程化为一般式为，△，方程有两个不相等的实数根．故选：．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系，当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．10．（3分）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，然后利用抛物线的对称性和增减性即可得出答案．【解答】解：，图象的开口向下，对称轴是直线，在对称轴的右侧随的增大而增大．关于直线的对称点是，，，故选：．【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）8的立方根是2．【分析】如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，由此即可得到答案．【解答】解：，的立方根是2．故答案为：2．【点评】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义．12．（3分）请你写出一个位于平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标（答案不唯一）．【分析】直接利用第二象限点的坐标特点得出答案．【解答】解：平面直角坐标系中第二象限内的点的坐标为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握每个象限内点的坐标性质是解题关键．13．（3分）化简．【分析】先变形为，再根据同分母分式减法法则计算，再约分化简即可求解．【解答】解：．故答案为：．【点评】考查了分式的加减法，同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．14．（3分）如图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为94.8．（参考数据：，，【分析】过点作于点，过点作于点，由锐角三角函数定义求出、的长，即可解决问题．【解答】解：如图2，过点作于点，过点作于点，则，，，，，，通过闸机的物体的最大宽度为，故答案为：94.8．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．（3分）如图，在△中，，，，点在边上，将△沿直线翻折，使点落在点处，连接并延长，交的延长线于点，若，则线段的长为．【分析】设，则，依据折叠变换即可得到，进而得出，的长；再根据线段的和差关系进行计算，即可得到的长．【解答】解：设，则，由折叠可得：，，，，又，，，，在△中，，，，由勾股定理得：，即，解得：，，又，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解答本题的关键要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：本大题共8小题，16~18题每题7分，19~21题每题9分，22题13分，23题14分，共75分．16．（7分）求值：，其中．【分析】根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：，当时，原式．【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．17．（7分）如图，在中，是对角线．（1）作线段的垂直平分线，垂足为点，与边、分别交于点、（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明△△可得结论．【解答】（1）解：直线即为所求；（2）证明：四边形是平行四边形，，，垂直平分线段，，，△△，．【点评】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．18．（7分）近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，训练一个模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条，训练时间为分钟．（1）求关于的函数关系式；（2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量．【分析】（1）根据每增加100条数据，训练时间延长3分钟可得：；（2）结合（1），令得，即可解得答案．【解答】解：（1）根据题意得：，关于的函数关系式为；（2）在中，令得，解得，训练的总时间为45分钟，使用的数据总量是3500条．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．19．（9分）某校七年级在体育运动周的花样跳绳比赛中，25名参赛选手的初赛成绩如下：（1）学校要求取前7名参加决赛，小芳同学的成绩为6.5分，她分析初赛成绩统计图，认为自己一定会落选．你认为小芳同学的分析正确吗？并说明理由．（2）评委发现成绩第7名有王丽和李英两人，提出让这两名同学进行加赛来决定由哪位同学进入决赛，如表是五位评委对两名同学加赛的打分情况及分析后的数据：评委1评委2评委3评委4评委5平均分众数中位数方差王丽48878788李英76.9777.1770.004①表格中2.4，；②根据表中数据，你认为选择哪位同学参加决赛更合适？【分析】（1）根据条形统计图中数据分析即可得出答案；（2）①根据方差和中位数的定义求解即可；②根据平均数、中位数和方差的意义求解即可．【解答】解：（1）小芳同学的分析不正确，由统计图知，确定比小芳成绩高的只有3人，成绩在分的虽然有6人，但不明确比6.5分高的人数，所以小芳同学的分析不正确；（2）①，，故答案为：2.4，7；②选择李英参加更合适，因为两人成绩的平均数相等，而李英成绩的方差小于王丽，所以李英成绩更加稳定（答案不唯一，合理均可）．【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握中位数、众数以及平均数的计算方法是正确解答的关键．20．（9分）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”．（1）请写出一个30到50之间的“正巧数”：32（答案不唯一）；（2）已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值．【分析】（1）利用“正巧数”的定义解答即可；（2）将代数式化简，利用配方法表示成平方差的形式，再利用“正巧数”的定义得到，的最小值即可．【解答】解：（1），是“正巧数”．到50之间的一个“正巧数”可以是：32．故答案为：32（答案不唯一）；（2），若是“正巧数”，，，为正整数，且，，时，取得最小值，的最小值．【点评】本题主要考查了配方法，非负数的意义，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．21．（9分）如图，在△中，，以为直径作，交于点，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接，，根据圆周角定理得到，得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论；（2）由（1）知，，得到，设，，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】（1）证明：连接，，为直径，，，，，，，在△与△中，，△△，，是的半径，是的切线；（2）解：由（1）知，，，，设，，，，△△，，，．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．22．综合与实践汉字书法是中华民族的文化瑰宝．毛笔书法考试从中级开始，书法纸都是不带格子的空白宣纸．现在我们需要根据书法内容的篇幅大小将书法纸折出等距的三列．学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图1；再将图1沿着对角线对折一次，得到图2，对角线分别与折痕、、的交点、、即为对角线的四等分点．（1）求证：为对角线的四等分点；（2）请在图2中画出的三等分点（不写作法，保留作图痕迹），并证明；（3）请在图3中用与（2）不同的方法作（或画）出的一个三等分点．（要求：写出简要方案并作（或画）图，不用证明，但要保留作（或画）图痕迹）．【分析】（1）由，，可得，故为对角线