北京市西城区2015-2016学年高一上期末数学试卷(含答案)

2015-2016学年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．sin（﹣60°）的值等于（）A． B． C． D．2．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C． D．3．已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于（）A． B． C． D．4．已知平面向量=（﹣1，2），=（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，6） D．（2，﹣6）5．在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A． B． C． D．6．若tanα=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=（）A．﹣3 B．3 C． D．7．函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标是（）A．（0，0） B． C． D．8．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15° B．sin215°﹣cos215°C．1﹣2sin215° D．sin215°+cos215°9．已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（）A．0 B． C．2 D．10．函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+） B．f（x）=sin（2x﹣） C．f（x）=sin（x+） D．f（x）=sin（x﹣）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知，那么=_______．12．已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα的值为_______．13．cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于_______．14．函数y=sinxcosx的最小值是_______．15．已知向量=（﹣1，2），=（3，4），则||2﹣•=_______．16．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为_______；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为_______．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知向量、满足||=||=1，且与的夹角为60°．（1）求；（2）若与+λ垂直，求实数λ的值．18．已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．（1）若，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求的最大值；（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．

2015-2016学年北京市西城区普通中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．sin（﹣60°）的值等于（）A． B． C． D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°），而sin60°的值易知，从而得到所求的结果．【解答】解：由诱导公式可得sin（﹣60°）=﹣sin（60°）=﹣，故选D．2．下列函数中，最小正周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=sin2x C． D．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】分别找出四个选项函数的λ值，代入周期公式T=中求出各自的周期，即可得到最小正周期为π的函数．【解答】解：A、y=cos4x的周期T==，本选项错误；B、y=sin2x的周期T==π，本选项正确；C、y=sin的周期为T==4π，本选项错误；D、y=cos的周期为T==8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y=sin2x．故选B3．已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），那么α的值等于（）A． B． C． D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线y=﹣x（x≤0）上，从而得到α的值．【解答】解：∵已知tanα=﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线y=﹣x（x≤0）上，故α=，故选C4．已知平面向量=（﹣1，2），=（1，0），则向量等于（）A．（﹣2，6） B．（﹣2，﹣6） C．（2，6） D．（2，﹣6）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】按照向量数乘的坐标运算及和运算，直接计算即可．【解答】解：=3（﹣1，2）+（1，0）=（3×（﹣1）+1，3×2+0）=（﹣2，6）故选A5．在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A． B． C． D．【考点】向量的减法及其几何意义．【分析】根据题意，由两个向量的减法的几何意义可得=．【解答】解：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得=，故选C．6．若tanα=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=（）A．﹣3 B．3 C． D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由正切的差角公式tan（α﹣β）=解之即可．【解答】解：tan（α﹣β）===，故选D．7．函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标是（）A．（0，0） B． C． D．【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据正弦函数的对称中心，直接求出函数y=sinx图象的对称中心，即可．【解答】解：因为函数y=sinx图象的一个对称中心的坐标（kπ，0）k∈Z，当k=1时对称中心坐标为（0，0）．故选A．8．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15° B．sin215°﹣cos215°C．1﹣2sin215° D．sin215°+cos215°【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式求出2sin15°cos15°，sin215°﹣cos215°，1﹣2sin215°的值，利用同角三角函数的基本关系式求出sin215°+cos215°的值，即可得到选项．【解答】解：因为2sin15°cos15°=sin30°=，sin215°﹣cos215°=﹣cos30°=﹣，1﹣2sin215°=cos30°=；sin215°+cos215°=1；所以1﹣2sin215°的值为：；故选C．9．已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则||等于（）A．0 B． C．2 D．【考点】平面向量的综合题；向量的模；向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意得，||=，故有||=|2|，由此求出结果．【解答】解析：如图，，故．有||=|2|，又||=1∴有||=2，故选C．10．函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+） B．f（x）=sin（2x﹣） C．f（x）=sin（x+） D．f（x）=sin（x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象的最高点和最低点，得到A的值，根据半个周期的长度得到ω的值，写出解析式，根据函数的图象过（）点，代入点的坐标，求出φ的值，写出解析式．【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知，那么=．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】若，则，结合向量模的计算公式可得答案．【解答】解：因为，所以||=．故答案为．12．已知角α的终边经过点P（4，3），则cosα的值为．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据任意角的三角函数定义确定出所求式子的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，3），∴cosα==，故答案为：13．cos40°cos20°﹣sin40°sin20°的值等于．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】直接利用两角和与差的余弦公式得出所求的式子等于cos60°，然后利用特殊角的三角函数求出结果．【解答】解：cos40°cos20°﹣sin40°sin20°=cos（20°+40°）=cos60°=故答案为．14．函数y=sinxcosx的最小值是．【考点】二倍角的正弦；三角函数的最值．【分析】由于y=sinxcosx=sin2x而x∈R故所以【解答】解：∵y=sinxcosx∴y=sin2x又∵x∈R∴∴∴故答案为：15．已知向量=（﹣1，2），=（3，4），则||2﹣•=0．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，向量的模的平方等于自身数量积．【解答】解：||2﹣•═（﹣1，2）•（﹣1，2）﹣（﹣1，2）•（3，4）=（﹣1）2+22﹣[（﹣1）×3+2×4]=5﹣5=0故答案为：016．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3，P0为圆周上一点，且∠AOP0=，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．①1秒钟后，点P的横坐标为﹣；②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为，t≥0．【考点】已知三角函数模型的应用问题．【分析】①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称；②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，故可求点P的横坐标，从而求出点P到直线l的距离．【解答】解：①1秒钟后，点P从P0处开始绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动，旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为；②由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，则此时点P的横坐标为，所以点P到直线l的距离为，t≥0．故答案为；，t≥0．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知向量、满足||=||=1，且与的夹角为60°．（1）求；（2）若与+λ垂直，求实数λ的值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用向量模的性质：向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式求出的值．（2）利用向量垂直的充要条件：⇔列出方程，利用向量的数量积公式及向量模的性质求出实数λ的值．【解答】解：（1）=||2﹣||||cos60°=（2）∵∴即解得λ=﹣218．已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）通过角的范围求出正弦函数值，然后求出tanα的值．（2）利用诱导公式以及二倍角公式，化简函数的表达式为余弦函数的形式，代入数据求解即可．【解答】解：（1）因为，，所以，…故．…（2）…=．…19．在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），其中．（1）若，求tanθ的值；（2）设点D（1，0），求的最大值；（3）设点E（a，0），a∈R，将表示成θ的函数，记其最小值为f（a），求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量的综合题．【分析】（1）由已知中A（﹣2，0），，C（2cosθ，sinθ），我们可以计算出向量的坐标，进而由，我们可以构造一个三角方程，利用同角三角函数关系，即可求出tanθ的值；（2）由D的坐标，我们可以进而求出向量的坐标，根据向量数量积的运算公式，我们可以给出的表达式，然后根据