数学知识巧解学案：正弦函数、余弦函数的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、正弦函数、余弦函数的图象1。利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法,作出点(α，sinα），α∈［0,2π].由单位圆中的正弦线，可知只要能作出角α,就能利用几何法作出对应的正弦值sinα.如图1-4—1，当0≤α≤2π时，在单位圆中对任意的角α,它的弧度数恰好等于角α所对的弧长AP，我们可设想把单位圆的圆周拉直到x轴上，使A点与原点重合,这时点P就落到x轴上的（α，0)点，由于sinα=MP，所以平移MP至此，就可得到一点(α，sinα）.也就是说，要画出点P（α，sinα），只需把角α的正弦线MP向右平移，使M点与x轴上表示数α的点M1重合，得到线段M1P1,由于点P和P1的纵坐标相同，都等于sinα，所以点P1(α,sinα)是以弧AP的长为横坐标,正弦线MP的数量为纵坐标的点.图12.正弦函数y=sinx，x∈[0，2π］的图象（1)利用单位圆中的正弦线作y=sinx，x∈［0，2π］的图象.如图1—4—2，在直角坐标系的x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份，过圆O1上各分点分别作x轴的垂线，得到对应于角0，，，，…，2π等分点的正弦线.相应地，再把x轴上从0到2π这一段分成12等份,再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了函数y=sinx,x∈［0，2π］的图象。图1—4—2（2）正弦曲线根据诱导公式一，终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为2π的函数y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1)π］，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈［0，2π]的图象的形状完全一致，只是位置不同.我们只需把y=sinx，x∈[0，2π]的图象左、右平移(每次2π个单位），就可得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象（如图1—4-3).图1—4-3正弦函数的图象叫做正弦曲线。(3）余弦曲线根据诱导公式y=cosx=sin（x+)，可知y=cosx与y=sin（x+）是同一函数，而y=sin(x+)的图象可由y=sinx的图象向左平移个单位得到，即余弦函数的图象是由正弦函数的图象向左平移个单位而得到的。如图1—4—4.图1-4—4余弦函数的图象叫做余弦曲线。事实上，y=cosx=sin(x—）,可知余弦函数y=cosx，x∈R与函数y=sin(x-）也是同一函数,余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移个单位而得到。学法一得作图象时，函数的自变量要用弧度制，只有自变量与函数值均为实数(即x轴、y轴上的单位统一）,作出的图象才正规,且利于应用.利用正弦线为端点连线作函数图象时，份数越多，图象越精确，取6的倍数最为适宜,它既保证了点的个数足够多,又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点。由y=sinx的图象变换得到y=cosx的图象，平移的量是不唯一的,平移的方向也是可左可右的。二、“五点法”作草图通过正弦曲线、余弦曲线可以发现，这些曲线可以按照闭区间…，［—4π,—2π］,［—2π,0］，［0,2π］，［2π,4π］，…分段，这些闭区间的长度都等于2π个单位长度，并且在每一个闭区间上曲线的形状完全一致。因此,要研究曲线的形状，只需选一个闭区间，在这里,我们不妨选择［0，2π]，显然,有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用。对于正弦曲线，它们是（0，0)，(，1）,（π，0），（，—1)，(2π，0)；对于余弦曲线，它们是（0，1），(，0），(π，-1）,（，0)，(2π,1）.因此，在精确度要求不太高时,可先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”.学法一得“五点法”作图中的“五点"是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.典题•热题知识点一“五点法"作图例1用“五点法”画出下列函数在区间［0，2π］上的简图。(1)y=2sinx;（2）y=1—sinx;(3）y=cosx-1.思路分析：在区间[0，2π］上按五个关键点列表、描点、连线,并用光滑的曲线将它们连接起来。解：(1)按五个关键点列表:x0π2πsinx010—102sinx020-20描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1—4—5)。图1—4—5方法归纳函数y=2sinx的图象是把y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到的。(2)按五个关键点列表：x0π2πcosx10-101cosx-10-1—2—10描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1—4-6）.图1-4-6方法归纳y=f(x)y=f（x)+a(a＞0)，y=f（x)y=f（x)-a（a＞0），记忆的口诀是“上加下减".知识点二图象的应用例2方程sinx=lgx的实根的个数有（)A。1个B。2个C。3个D。无穷多个思路分析：如图1-4-7，在同一直角坐标系中作函数y=sinx与y=lgx的图象.图1-4-7由图中看出两函数图象有三个交点（xi，yi），其中xi∈(1，10)(i=1，2，3）是方程sinx=lgx的解，此方程再无别的解。答案：C方法归纳像这种含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数，把求方程的解转化为求两个函数的交点问题。例3写出使sinx≥（x∈R）成立的x的取值集合。思路分析：可借助于单位圆或正弦曲线求解。图1-4-8解：如图1-4—8，在0≤x＜2π中满足sinx≥的角x的集合为｛x|≤x≤}；当x∈R时集合为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z｝.巧解提示：由y=sinx在［0，］,(,π）两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数.又sinx≥，则有sinx≥sin或sinx≥sin,所有在［0，2π］中，满足sinx≥的角的集合为｛x|≤x≤}∪{x|＜x≤｝=｛x|≤x≤｝.以下同解。方法归纳利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时，可先在长度为［0，2π］的区间上找到适合不等式的解，再把它扩展到整个定义域上去。问题•探究思想方法探究问题三角函数最重要的特征之一就是它的周期性,推广到一般的情况,对于函数y=f(x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。那么是否所有周期函数都有最小正周期？对于周期函数的学习还应该注意什么问题？探究过程：首先，周期函数的定义是对定义域中的每一个x值来说的,只有个别的x值满足f（x+T）=f（x）或只差个别的x值不满足f（x+T)=f(x）都不能说T是f(x）的周期.例如sin(+）=sin，但是sin(+)≠sin。就是说，不能对x在定义域内的每一个值都有sin（x+）=sinx，因此不是sinx的周期.其次,从等式f（x+T)=f（x）来看，应强调的是给自变量x本身加的常数才是周期，如f(2x+T)=f(2x），T不是周期,而应写成f(2x+T)=f[2（x+）］=f(2x),则是f(x)的周期.第三，对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期。例如常数函数f(x）=x（C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f（x)的定义域内的每一个值x,都有f（x+T）=C,因此f（x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者,所以f(x）没有最小正周期。对于周期函数还应当注意，“f(x+T)=f（x)”是定义域内的恒等式，即它