数学知识巧解学案：两角差的余弦公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、两角差的余弦公式1。推导方法1（向量法)：把cos（α—β）看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设α、β的终边分别与单位圆交于点P1(cosα,sinα）,P2（cosβ，sinβ)，由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只需考虑0≤α-β＜π的情况.图3—1—2设向量a==（cosα，sinα），b==（cosβ,sinβ）,则ab=|a｜·|b|·cos（α-β)=cos（α-β）;另一方面，由向量数量积的坐标表示有a·b=cosαcosβ+sinαsinβ,所以cos（α—β)=cosαcosβ+sinαsinβ。于是对于任意的α、β都有上述式子成立.图3—1-32.公式的结构特征记忆要诀公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反。3。两角差的余弦公式Cα—β的应用（1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来。(2）已知角α、β的弦函数值，求cos（α-β）的值.由cos(α—β）的展开式可知要求cos（α—β)的值，只需求得α、β的正弦值与余弦值即可.其中sinα、cosα，sinβ、cosβ都是同角的三角函数关系。（3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式。（4）利用两角差的余弦公式化简三角函数式.学法一得公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°—20°)=cos30°=.误区警示和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos(α±β)≠cosα±cosβ.典题•热题知识点一已知角α、β的三角函数值，求cos（α—β)的值例1已知sinα=，α∈(,π),求cos（-α)的值.思路分析：由于是特殊角，根据cos(-α)的展开式，只需求出cosα的值即可。解:∵sinα=,α∈（，π），∴cosα=.∴cos(-α)=coscosα+sinsinα=。例2已知sinα=，cosβ=，α、β均为第二象限角,求cos（α—β）.思路分析：由cos（α—β）的展开式可知要求cos（α-β）的值,还需求出cosα、sinβ。解：由sinα=，α为第二象限角，∴cosα=.又由cosβ=，β为第二象限角,∴sinβ=.∴cos（α—β）=cosαcosβ+sinαsinβ=.方法归纳若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来,因此合理进行角的变换是解题的关键.例3求函数y=cosx+sinx的周期、最值及取得最值时x的集合。思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2(cosxcos+sinxsin)=2cos（x-）。所以所求周期为2π。当x-=2kπ,k∈Z，即｛x|x=+2kπ,k∈Z｝时,ymax=2；同理,可知当｛x|x=-+2kπ，k∈Z｝时，ymin=-2。例4已知cosα+cosβ=，sinα+sinβ=,求cos（α—β）的值。思路分析:由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关，根据条件，将其平方后即可构造出同名的三角函数之积的形式.解：将cosα+cosβ=，sinα+sinβ=的两边分别平方并整理，得cos2α+cos2β+2cosαcosβ=,sin2α+sin2β+2sinαsinβ=.把上述两式的两边分别相加，得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1,即cos(α-β）=.方法归纳要牢记Cα-β的展开式的特点,着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键。知识点二利用两角差的余弦公式证明三角恒等式例5利用差角余弦公式证明下列等式：（1)cos（π-α)=—cosα；（2）cos（-α)=-sinα.思路分析：直接利用差角余弦公式展开,利用特殊角的三角函数值化简证明。证明：(1）cos(π-α)=cosπcosα+sinπsinα=—cosα+0·sinα=—cosα；(2)cos（—α）=coscosα+sinsinα=0·cosα—1·sinα=-sinα.例6证明cosα+sinα=2cos(—α).思路分析:由于右边是我们熟悉的两角差的余弦形式,所以可从展开右边入手,把复角的三角函数转化成两单角的三角函数的形式。证明:∵右边=2(coscosα+sinsinα)=cosα+sinα=左边，∴原式成立。知识点三逆用两角差的余弦公式化简三角函数式例7化简下列各式：(1)cos（α+β)cosα+sin(α+β)sinα；(2)cos50°cos20°+cos40°sin20°。思路分析:逆用两角差的余弦公式化简的关键是观察题目的特点，从整体出发，利用诱导公式，转化成两角差的形式.逆用公式求值是一种常见思路。解：（1）原式=cos［(α+β）—α］=cosβ；(2）原式=cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos（50°—20°）=cos30°=。方法归纳通过对变换对象和变换目标进行对比、分析,逐步学会如何根据题设与结论的特点选择公式、变形公式，从而找到两者间的联系是我们学习的关键，为此可从角的角度、函数名称的角度及式子结构形式的角度入手去分析解决问题.问题•探究思想方法探究问题在三角恒等变换中，角的变换是解决问题的有效手段，在本节当中，角有哪些变换方法？在解题中如何应用？探究过程：角的代换的实质是根据解题的需要灵活处理角的形式，也就是将单角、倍角的形式变成几个角的和或差,而这些角的和或差在题目中已知,如：若α、β均为锐角，且cosα=，cos(α+β）=，求cosβ的值。如果展开cos（α+β）进行运算则烦琐难解，但若利用β=(α+β)—α代换，也就是cosβ=cos［(α+β）—α］，则解法十分简便，大大降低问题的难度.探究结论:本节涉及角的以下几种变换，在以后解题中常常见到，请你多加注意.常见的角的代换关系有：α=（α+β）—β；α=β—（β—α)；β=（α+β)-α;2α=［(α+β）+（α—β）］；2β=［（α+β）—(α—β）]等。方案设计探究问题在自然界中，存在着大量的周期函数，研究这些周期函数有利于我们在科学技术中加以应用。两个周期函数合成后，是否还是周期函数?如果是周期函数，那么函数的类型是否发生了改变？比如两个正弦电流i1=sin（100πt+)和i2=sin(100πt—)合成后是否仍是正弦电流呢?类似地，两个声波和光波合成后又是怎样的？探究思路:利用现代信息技术作一研究，可以按下面的程序进行操作，也可以设计其他的研究方案。1。上网搜寻并安装绘图软件；2。分别选取不同的函数y=asinx+bcosx，猜想你所选取的y=asinx+bcosx的化简后的类型,再利用绘图工具绘制出其图象，并与y=asinx+bcosx的图象对比；3.尝试确定猜测的该类型函数中的参变量与y=asinx+bcosx中a、b的关系，得出asinx+bcosx的化简公式；4.尝试采用不同的方法证明得出的结论，并说明与其相关联的三角变换公式之间的联系；5.利用结论求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅、周期、初相。探究结论：由于两电流分别为i1=sin(100πt+)，i2=sin（100πt—），将它们相加后，可以