数学知识巧解学案：函数y=Asin（ωx+φ）的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、φ对y=sin（x+φ)，x∈R的图象的影响1.以函数y=sin(x+），x∈R与y=sin（x-)，x∈R为例说明。函数y=cosx=sin（x+)，x∈R的图象可以看作是把正弦曲线上所有的点向左平移个单位长度而得到的。显然,y=sin（x+）的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有点向左平移个单位长度而得到的；y=sin(x-)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向右平移个单位长度而得到的。这函数y=sin（x+）,x∈R与函数y=sin（x-)，x∈R的周期都是2π，用“五点法”画出它们在［0，2π]上的简图.列表：xx+0π2πsin（x+)010-10xx—0π2πsin(x-)010-10描点作图：图1从图1-5-2和表格中都可以看出：在y=sin(x+）与y=sin(x—)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，它的横坐标分别比y=sinx的横坐标小与多.2。一般地，函数y=sin（x+φ)(φ≠0），x∈R的图象可以看作是把正弦曲线上所有点向左（φ＞0)或向右（φ＜0)平行移动|φ｜个单位长度而得到的，这种变换叫做相位变换.学法一得移图与移轴是相对的，把图象向右(左)平移φ（φ＞0）个单位，相当于把y轴向左（右）平移φ（φ＞0）个单位；把图象向上(下)平移k(k＞0)个单位，相当于把x轴向下(上）平移k（k＞0）个单位，移轴比移图更容易作出函数的图象。二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响1.以函数y=sin2x，x∈R与y=sinx,x∈R为例说明。由于函数y=sin2x的周期是π，所以可先画出它在［0，π］上的简图,按五个关键点列表：x0π2x0π2πsin2x010—10同理，函数y=sinx的周期是4π，所以可先画出它在［0，4π］上的简图，按五个关键点列表:x0π2π3π4πx0π2πsinx010-10描点作图：图1（1)函数y=sin2x与y=sinx的图象间的联系:从图1-5-3及所列表格中可以看出，函数y=sin2x，x∈［0，π］的图象上,横坐标为，x0∈［0，π]的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sin2x，x∈R的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx，x∈R(2)函数y=sinx与y=sinx的图象间的联系从图1—5—3及所列表格中可以看出，函数y=sinx，x∈[0,4π］的图象中，横坐标为2x0，x0∈[0，4π］的点的纵坐标与正弦曲线y=sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相等.因此，函数y=sinx，x∈2.一般地，函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1),x∈R的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标伸长(0＜ω＜1）或缩短(ω＞1)到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，这种变换称为周期变换，它是由ω的变化而引起的，ω与周期T的关系是.学法一得函数y=sinωx的图象是由y=sinx的图象通过实施周期变换而得到的，其中ω决定函数的周期，它能改变曲线的形状，φ的值只改变曲线的位置，并不改变曲线的形状.三、A对y=Asin(ωx+φ）的图象的影响1.以函数y=2sinx，x∈R，y=sinx,x∈R为例说明。由于这两个函数的周期都是2π，所以可先画出它们在［0，2π]上的简图，按五个关键点列表：x0π2πSinx010-102sinx020-20sinx000描点画图：图15—4利用这两个函数的周期性，把它们在［0,2π]上的简图向左、右扩展,从而得到它们在整个定义域上的简图.(1）函数y=2sinx的图象与y=sinx的图象之间的联系通过图1-5-4及所列表格可知,对同一个x的值,函数y=2sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx,x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的2倍.根据函数的周期性，它在其他区间上也是如此.所以函数y=2sinx,x∈（2）函数y=sinx的图象与y=sinx的图象之间的联系通过图154及所列表格可知，对同一个x的值,函数y=sinx，x∈［0，2π]的图象上点的纵坐标总是等于函数y=sinx，x∈［0，2π］的图象上点的纵坐标的倍，根据函数的周期性，在其他区间上也是如此。所以函数y=sinx，x∈R的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变）而得到的，从而函数y=sinx，x∈R的值域是[-，］.学法一得一般地，函数y=Asinx，x∈R(A＞0且A≠1)的图象可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1)到原来的A倍（横坐标不变)而得到的。这种变换叫做振幅变换，它是由A的变化而引起的，A叫做函数的振幅，函数y=Asinx，x∈R的值域是［—A，A]。四、函数y=Asin(ωx+φ)与y=sinx图象间的关系1.以函数y=3sin（2x+),x∈R为例说明。函数y=3sin（2x+)的周期是π,先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图,按五个关键点列表：x2x+0π2π3sin（2x+）030-30描点画图：图1—5-5函数y=3sin（2x+)，x∈R的图象,可看作是先将y=sinx图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=sin（x+），x∈R的图象；再把y=sin（x+），x∈R的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变）,得到y=sin(2x+），x∈R的图象；最后把y=sin(2x+)，x∈R的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变）得到的。2。一般地，函数y=Asin（ωx+φ)（其中A＞0,ω＞0），x∈R的图象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲线上所有的点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平行移动｜φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长（A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)。联想发散y=Asin（ωx+φ）(其中A＞0，ω＞0）,x∈R的图象也可通过下面的方法而得到:先把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变），再把所得各点向左(φ＞0）或向右(φ＜0)平移个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短（0＜A＜1）到原来的A倍(横坐标不变)。五、A、ω、φ的物理意义当函数y=Asin（ωx+φ)，x∈［0，+∞）（其中A＞0，ω＞0)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需要的时间,称为这个振动的周期;单位时间内往复振动的次数,称为振动的频率；ωx+φ称为相位；当x=0时,相位φ称为初相.例如，函数y=2sin（3x—),x∈［0，+∞）的振幅是2，周期T=，频率,相位是3x—，初相是。六、函数y=Asin（ωx+φ），x∈R的对称问题1。对称轴过函数y=Asin（ωx+φ）,x∈R的图象的最值点作x轴的垂线，可得该函数图象的对称轴.对称轴可由ωx+φ=kπ+,k∈Z解出,显然对称轴有无数条。例如，y=2sin(2x—)图象的对称轴方程是2x-=kπ+,k∈Z，即x=，k∈Z.函数y=Acos（ωx+φ)的对称轴方程可由ωx+φ=kπ，k∈Z解出.2。对称中心函数y=Asin（ωx+φ)与x轴的交点都叫做该函数的对称中心,它是函数值等于零的点，由ωx+φ=kπ得x=,即对称中心是(，0）.显然，函数y=4sin（2x-)的对称中心是（，0)。同理，函数y=Acos（ωx+φ）的对称中心是(，0），显然，函数y=2cos(2x+）的对称中心是(，0）。学法一得（1)所谓轴对称，就是把图形沿此直线对折，对折后的图形与原图形完全重合。由于函数y=Asin（ωx+φ）中的变量x∈R,所以它有无数条对称轴.（2)所谓中心对称，就是把图形绕该点旋转180°后，所得图形与原图形完全重合.由于y=Asin（ωx+φ）的变量x∈R，所以它有无数个对称中心.典题•热题知识点一A、ω、φ的求值与图象的平移例1（1）用“五点法”作函数y=2sin(2x-)，x∈R的图象，并指出这个函数的振幅、周期和初相；（2）怎样由y=sinx的图象,得到y=2sin(2x—)的图象?解：（1）列表:x2x—0π2π2sin(2x-）020—20描点连线：图1-5—6把函数y=2sin（2x—)在长度为一个周期的简图中向左右扩展，就得到y=2sin（2x-)，x∈R的简图.振幅A=2，周期T==π,初相φ=。（2)解：先把函数y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位,得到函数y=sin（x-）的图象;再把y=sin(x—)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变），得到函数y=sin(2x—）的图象；最后把y=sin（2x-)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）,得到y=2sin（2x—),x∈R的图象。知识点二图象的平移例2已知函数y=sin（2x+）+，x∈R.（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？思路分析:本题主要考查三角函数的图象和性质，求最值时，可把(ωx+φ)视为一个整体.解：（1)要使y取得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kx，k∈Z。所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x｜x=+kπ，k∈Z｝。(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：①把函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（x+）的图象；②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变)，得到函数y=sin（2x+)的图象；③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变)，得到函数y=sin（2x+）的图象；④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+)+的图象。综上可得函数y=sin(2x+)+的图象。方法归纳先相位，再周期变换，同先周期，后相位变换一样，函数y=sinx图象上的点(0，0）都被变换成了点（，0）.但要注意平移的单位是不同的，先相位后周期,平移的单位为｜φ|；先周期，后相位，平移的单位为.例3把函数y=f（x)的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位,得到曲线y=sinx的图象，试求函数y=f（x)的解析式。思路分析：一是设f(x)=Asin(ωx+φ），按图象变换的法则，分两步,得y=Asin［（x+)+φ］，它就是y=sinx，构造A、ω、φ的方程求解;二是采用逆变换，即把上述变换倒过来，由y=sinx得到y=f（x）。解：设y=Asin（ωx+φ),把它的横坐标伸长到原来的2倍得到y=Asin(x+φ),再向左平移个单位,得到y=Asin［(x+)+φ］,即y=Asin。由两个代数式恒等，得∴f（x）=sin(2x—)=—cos2x.巧解提示：将y=sinx的图象向右平移个单位，得到y=sin(x—)的图象，再把y=sin（x—)的图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍,得到y=sin（2x—),即y=cos2x的图象，所以所求函数f(x）=cos2x.方法归纳平移是相对的，平移的量也不是唯一的，若通过平移φ（φ＞0）个单位能实现图象间的转化，那么平移kT+φ（k∈Z,T是函数的最小正周期)个单位也能实现转化。三角函数的图象的变换是相对的、互逆的.知识点三已知函数y=Asin（ωx+φ)的图象,求它的解析式.例4已知函数y=Asin(ωx+φ）,|φ｜＜的图象，试确定A、ω、φ的值.图1-5-7解:显然,A=2.∵T=—（-)=π，∴.从图1—5—7中可以看出,函数y=2sin(2x+φ）是由y=2sin2x的图象向左平移个单位得到的,所以y=2sin2（x+)，即φ=.也可利用代点法求φ：由图可知当时，ymax=2。故有2x+φ=2×+φ=2kπ+，即φ=2kπ+.∵|φ|＜，∴φ=.方法归纳若用代点法确定函数y=Asin（ωx+φ)中的φ值时，能代入最值点更好；若A＞0，ω＞0时，若代入递增区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ，k∈Z.若代入递减区间中心点的横坐标，应使ωx+φ=2kπ+π,k∈Z，再依据φ的范围,确定φ的值.例5图1-5—8是一个按正弦规律变化的交流电的图象.根据图象求出它的周期、频率和电流的最大值，并写出图象的函数解析式.图1-5-8思路分析:通过图象确定周期T，从而进一步求得ω的值是关键,振幅A也可通过识图求得，初相φ一般通过代点求得。解:由图象看出，这个交流电的周期T=0.2s，由频率f与周期T的关系式，得频率，电流的最大值为10A。由图1-5—8可知,这个曲线的函数解析式是正弦型函数I=Asin（ωt+φ），其中A=10，ω==10π,再把点(0，10）代入函数解析式I=10sin（10πt+φ），得sinφ=1，取φ=，于是得到曲线的函数解析式为I=10sin（10πt+),t∈［0，+∞）.根据诱导公式,函数式可化为I=10cos10πt，t∈［0,+∞）。方法归纳A表示振动量离开平衡位置的最大距离；ω可由周期T或T的一部分确定；φ可由图象离原点最近的递增区间中心点的横坐标确定，也可用代点法确定.问题•探究思想方法探究问题如何理解函数y=A1sin(ω1x+φ1)与函数y=A2sin（ω2x+φ2)图象间的关系?探究过程：设函数y=2sin（x+)，x∈R的图象为C，要得到y=3sin(x+)，x∈R的图象，只需把C上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；要得到y=2sin（x+)，x∈R的图象,只需把曲线C上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变);要得到y=2sin（x+）,x∈R的图象，只需把曲线C上所有的点向左平移个单位长度；要得到y=2sin(x+)+2的图象,只需把曲线C上所有点向上平移2个单位。对于余弦函数也是如此。不同名称的弦函数间的关系，可先统一函数名称，如y=sin(2x—)与y=cos2x图象间的关系，由于y=sin（2x-)=cos［—(2x—）］=cos(-2x)=cos(2x-)，所以只需把y=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度，即可得到y=cos2x的图象.把y=cos2x的图象向右平移个单位，便可得到y=c