数学知识导航数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.3数学归纳法知识梳理一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法证明分两步：(1)_______________________________________;(2)_______________________________________.知识导学与自然数n有关的命题，我们无法对所有的自然数逐一验证，可用数学归纳法证明,对于数学归纳法要求的两步缺一不可，第一步是基础，第二步是循环递增，直至无穷,学习时要正确理解，特别是在前步的基础上，下一步如何成立，是不是证明了这两步就对所有的自然数都成立？结合例子来理解.疑难突破为什么证明（1）(2）两步就能说明对于所有的n≥n0都成立呢?剖析：这是因为第一步首先验证了n取第一个值n0，这样假设就有了存在的基础，至少k=n0成立，根据假设和合情推理，证明n=k+1时也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n0=1成立，又证明了n=k+1成立，这就一定有n=2时成立，n=2成立,则n=3成立,n=3成立,则n=4也成立,如此反复，以至无穷,对所有n≥n0的整数就都成立了.数学归纳法用两步就可以巧妙地解决了无限问题，这就是数学方法的神奇.数学归纳法这两步缺一不可，只完成步骤（1)而缺少步骤(2)，就作出判断得出不正确的结论，因为单靠步骤（1)无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样,只有步骤（2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了.用数学归纳法证明有关问题的关键，在于第二步，即n=k+1时成立是利用假设n=k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论,推证出n=k+1时成立,而不是直接代入，否则n=k+1时也成假设了，命题并没有得到证明.典题精讲【例1】证明12-22+32—42+…+（2n—1）2-（2n）2=-n（2n+1).思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化,即由n=k到n=k+1时,左右两边各增添哪些项。证明：（1）当n=1时,左边=12-22=—3右边=—1×(2×1+1)=—3，∴左边=右边,等式成立。(2）假设当n=k时等式成立，即12-22+32-42+…+（2k-1)2—（2k)2=-k(2k+1)成立.则当n=k+1时,左边=12-22+32—42+…+(2k-1）2-（2k)2+［2(k+1)-1］2+［2(k+1)］2=-k（2k+1)+(2k+1)2—(2k+2）2=（2k+1）（k+1）-4(k+1)2=(k+1)［2k+1—4(k+1）］=(k+1)(—2k-3）=—（k+1)［2(k+1)+1]=右边，∴当n=k+1时，等式成立.由（1）（2)可知对于任意正整数n，等式都成立。绿色通道：可用数学归纳法来证明关于自然数n的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n=k+1时，必须用假设n=k成立的结论证明.变式训练：用数学归纳法证明.证明：(1）当n=1时，左边=，右边=,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即=成立。则当n=k+1时，左边====右边.∴当n=k+1时等式成立.由(1）(2）可知等式恒成立。【例2】数列｛an｝满足a1=，前n项和Sn=an。（1)写出a2、a3、a4；（2）猜出an的表达式，并用数学归纳法证明.思路分析：研究数列问题，可先由前n项归纳猜想，再证明.解：(1）令n=2，∵a1=,∴S2=a2,即a1+a2=3a2.∴a2=。令n=3,得S3=a3,即a1+a2+a3=6a3,∴a3=.令n=4,得S4=a4，即a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4=。(2)猜想an=,下面用数学归纳法给出证明.①当n=1时，a1=结论成立。②假设当n=k时，结论成立，即ak=，则当n=k+1时，Sk=ak=,Sk+1=，即Sk+ak+1=。∴.∴ak+1=。∴当n=k+1时结论成立.由①②可知，对一切n∈N＊都有an=成立.绿色通道:由递推关系或前n项和公式求通项可求出前n项，再归纳猜想，用数学归纳法证明数列的通项公式.变式训练：对于数列{an｝，若an+1=an2—nan+1，n∈N*，当a1=2时,求a2、a3、a4并猜想an的一个通项公式。解：a2=a12-1×a1+1=22-1×2+1=3,a3=a22—2×a2+1=32-2×3+1=4,a4=a32-2a3+1=42-3×4+1=5,猜想an=n+1（n∈N＊）.证明：(1）当n=1时，a1=1+1=2成立.(2)假设当n=k时,ak=k+1成立,则当n=k+1时,ak+1=ak2—kak+1=(k+1)2-k(k+1）+1=k+2。∴当n=k+1时结论成立.由（1)（2）可知，an=n+1(n∈N＊）成立.【例3】试用数学归纳法证明n3-3n2+8n-6能被6整除。思路分析：与自然数n有关的命题都可以用数学归纳法证明。证明：(1）当n=1时,13—3×12+8×1-6=0能被6整除。（2）假设当n=k时结论正确，即k3-3k2+8k-6能被6整除，则当n=k+1时，(k+1)3—3（k+1）2+8（k+1）-6=（k3—3k2+8k-6)+3k(k+1）+6.∵3k(k+1)和6都能被6整除,∴当n=k+1时结论正确。由（1)(2)可知命题成立.绿色通道：用数学归纳法证明整除性问题时，注意构造出归纳假设来，用上假设证明出.变式训练：求证:n3+(n+1）3+(n+2）3（n∈N*)能被9整除。证明:(1）当n=1时,13+（1+1）3+(1+2)3=36能被9整除。（2)假设当n=k时命题成立,即k3+(k+1)3+(k+2）3能被9整除,则当n=k+1时，(k+1)3+（k+2）3+(k+3)3=k3+（k+1）3+(k+2)3+9k2+27k+27=[k3+(k+1)3+（k+2)3］+9［k2+3k+3］能被9整除。由(1）（2)可知命题成立.问题探究问题：是否存在常数a、b,使等式对于一切n∈N＊都成立。导思：存在性问题先假设存在，然后求出符合条件的量.本题求a、b两个量只需两个等式即可,而已知条件是对于一切n∈N＊都成立，即有无数个等式，只需取两特定n值即可求出。求出得到的a、b对于一切n∈N＊是否成立，需用数学归纳法证明.像这种存在性问题可由特殊求出a、b，即不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法加以证明对所有的n∈N＊都成立.探究：假设