数学-知识导航间接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。2。2间接证明知识梳理证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不直接证明的方法通常称为__________.如反证法，反证法的证明过程概括为：“__________"“__________"“__________"“__________",即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程。知识导学在数学证明问题时，如果直接证明或正面证明不易证出或不易入手的情况下,可从反面证，用反证法来证，反证法的应用需要逆向思维,依据是互为逆否命题的等价性，即要证原命题成立，只需证逆否命题成立，用反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等,反证法主要适用于以下两种情形：(1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形,学习时注意体会。疑难突破反证法证明过程包括三个步骤剖析:（1）反设—-假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真。（2）归谬-—从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理得出矛盾结果。（3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立，那么为什么这样证？其理论根据又是什么呢？用反证法证明的依据是互为逆否命题的等价性，即“若p则q”等价于“若q则p”成立，这里得出矛盾可以与某个已知条件矛盾，可以是与某个事实、定理、公理矛盾，也可以与自身相矛盾,反证法的使用范围是正面不太容易证，而反面好证的情况下,“存在性”“唯一性”“至多”“至少”等问题常用反证法。典题精讲【例1】已知p3+q3=2,求证:p+q≤2。思路分析：本题的已知为三次式,且很难降次,虽然可分解为（p+q）（p2—pq+q2）=2，但还出现了我们不需要的二次式p2-pq+q2，所以正面很难入手，而所证的是一次式p+q，由一次式很容易升高次数，所以可用反证法.证明：假设p+q=t＞2，则p＞2-q.∴p3＞(2—q）3.∵p3+q3=2，∴p3+q3＞(2—q)3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8—12q+6q2=6(q-1）2+2≥2.∴2＞2与事实矛盾.绿色通道：在已知次数较高，而所证次数较低，正面解答不易时，可用反证法，注意反证法假设要全部否定结论.变式训练:设a、b都是整数，且a2+b2能被3整除.求证：a和b都能被3整除。证明：假设a、b中至少有一个不被3整除.不妨设a=3k+m（m=1或m=2且k∈Z),当b=3n(n∈Z),则a2+b2=（3k+m)2+（3n)2=9k2+6km+m2+9n2=3（3k2+2km+3n2）+m2。∵3（3k2+2km+3n2)能被3整除，m2不能被3整除，∴a2+b2不能被3整除,与已知矛盾。当b=3n+1(n∈Z）时，a2+b2=(3k+m）2+(3n+1)2=9k2+6km+m2+9n2+6n+1=3（3k2+2km+3n2+2n）+m2+1.∵m2+1不能被3整除，∴a2+b2不能被3整除，与已知矛盾。当b=3n+2(n∈Z）时,a2+b2=（3k+m)2+(3n+2)2=9k2+6km+m2+9n2+12n+4=3(3k2+2km+3n2+4n）+m2+4.∵m2+4不能被3整除,∴a2+b2不能被3整除，与已知矛盾.综上,可知a和b都能被3整除。【例2】证明是无理数。思路分析：无理数的概念是不是有理数的数，所以正面不易说明。若假设是有理数得出矛盾就能说明不是有理数，而是无理数。证明:假定是有理数,则可设，其中p、q为互质的正整数。∴2=,即q2=2p2。∴q2是偶数。∴q也是偶数。设q=2m(m为整数）,则4m2=2p2。∴p2=2m2.∴p∴p也是偶数.∴p、q都是偶数，有公因数2，与p、q互为质数矛盾.∴假设是有理数不成立。∴是无理数。绿色通道：在证明“不是"或“没有"等否定性命题时常用反证法。变式训练:求证：正弦函数没有比2π小的正周期。证明：假设正弦函数y=sinx有比2π小的正周期T，(0＜T＜2π），则sin（x+T）=sinx，对于任意x都成立,∴x=0时，sinT=0.∴T=π。∴sin(x+π）=sinx。但当x=时，sin（+π)=-1，sin=1,sin(x+π）≠sinx，与sin（x+π)=sinx矛盾.∴正弦函数没有比2π小的正周期.【例3】已知a、b、c、d∈R,且a+b=c+d=1，ac+bd＞1。求证：a、b、c、d中至少有一个是负数.思路分析：本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数?还是四个负数?都有可能，谁是负数也都有可能。所以正面证明很复杂，对于“至多”“至少”性问题可用反证法。证明：假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0,b≥0，c≥0，d≥0。∵a+b=c+d=1,∴b=1-a≥0,d=1—c≥0.∴ac+bd=ac+(1—a)(1—c）=2ac—(a+c）+1=（ac-a)+(ac-c)+1=a（c-1)+c(a—1)+1。∵a（c-1)≤0，c（a-1）≤0，∴a（c-1）+c(a-1）+1≤1，即ac+bd≤1。与ac+bd＞1相矛盾.∴假设不成立.∴a、b、c、d中至少有一个是负数.绿色通道:对于“至多”“至少"类命题的证明，常用反证法。变式训练：已知a、b、c∈(0,1），求证：（1-a）b，(1—b）c,（1—c）a不能同时大于.证法一:假设三式同时大于,即b-ab＞，c—bc＞，a—ac＞。相乘得a（1-a)b（1-b）c（1—c）＞.又∵a、b、c∈(0,1),a(1—a)≤,b（1—b)≤,c（1—c)≤，∴a（1-a）b（1-b)c(1—c）≤。矛盾,∴假设不成立，即（1-a）b,(1—b)c,（1—c)a不能同时大于。证法二:假设三式同时大于.∵0＜a＜1，∴1-a＞0，.同理，。三式相加得矛盾，∴假设不成立.∴（1-a）b，（1-b）c，(1-c)a不能同时大于。问题探究问题：1,,2能否为同一等差数列中的三项？导思:有些问题在不定性或结论不确定时，我们可进行探索性研究，可从正面研究。若正面不易研究，再从反面研究，或假设成立会导致什么结果，或举反例否定，从而确定答案，下结论.探究：目前等差数列是谁不知道,无法正面验证，只能从反面假设，是同一等差数列中的三项，得出矛盾说明假设错误，原结论正确；得不