数学知识导航间接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.2.2间接证明知识梳理1。不是直接从命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法称为______________（indirectproof).______________就是一种常用的间接证明方法.2.反证法：一般地,假设原命题不成立.经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做______________（reducationtoabsurdity)。3。反证法的证明过程为“否定—-______________-—______________”.4.反证法的一般步骤：（1）反设—-________________________________________________________.（2)归谬——________________________________________________________.（3）存真——________________________________________________________.知识导学通过本节课的学习，认识反证法在证明问题中的重要作用，学会用反证法，证明有关命题，并且要注意根据题目的类型,合理选择运用证明问题的方法，学会寻找问题中的矛盾，正确推理。疑难突破1.对反证法的理解：从假设结论不成立入手，推出与“已知条件、假设、公理或显然成立的事实”等相矛盾的结果,从而判定假设错误,结论成立,这种方法叫做反证法.反证法证题的特征：是通过导出矛盾、归结为谬误,而使命题得证。反证法的原理是“否定之否定等于肯定”.反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确.即证明命题的逆否命题成立否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法，要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾。反证法适宜证明存在性、惟一性、带有“至少有一个"或“至多有一个”等字样的一些数学问题.用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥"的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”;“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠"的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞"及“＜”。反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”。其中：第一个否定是指“否定结论（假设）”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设"。反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理,导出矛盾，从而肯定结论的真实性。2。应用反证法证明数学命题的一般步骤：(1）反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬：从反设和已知条件出发，应用正确的推理方法,经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。（3）存真：由矛盾结果、断定反设不真，从而肯定原结论成立。常见的主要矛盾有:①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾;②与临时假设矛盾；③与公认的事实或自相矛盾等.典题精讲【例1】如图2—2—4所示，AB、CD为圆的两条相交弦、且不全为直径.求证：AB、CD不能互相平分。思路分析:要证AB与CD不能互相平分，从正面来证明难度很大，所以正难则反，采用反证法，假设AB与CD相互平分，可以找出存在的矛盾。图2-2—4证明：假设AB、CD互相平分,连结AC、CB、AD、BD则ACBD为平行四边形。所以：∠ACB=∠ADB，∠CAD=∠CBD。因为四边形ACBD为圆内接四边形，所以∠ACB+∠ADB=180°，∠CAD+∠CBD=180°.因此，∠ACB=90°，∠CAD=90°.所以，对角线AB、CD均为直径,与已知矛盾。因此，AB、CD不能互相平分。绿色通道：反证法的关键是，在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾；或与假设矛盾；或与定义、定理、公理、事实矛盾等.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“……归谬法（反证法）是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方!”。黑色陷阱：在利用反证法证明问题时，一定要分清命题的条件和结论，假设时要对结论进行否定.【变式训练】如图2-2-5所示，在△ABC中，AB＞AC,AD为BC边上的高线，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上.图2—2-5证明(反证法）假设M在线段CD上，则BD＜BM=CM＜DC，且AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+CD2,所以AB2=BD2+AD2＜BM2+AD2＜CD2+AD2=AC2，即AB2＜AC2,AB＜AC。这与AB＞AC矛盾，所以点M不在线段CD上。【例2】若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2—2x+,c=z2-2x+,求证:a、b、c中至少有一个大于0。思路分析：命题以否定形式出现（如不存在，不相交等)，并伴有“至少……”，“不都……”，“都不……"，“没有……”，“至多……”等指示性语句，在直接方法很难证明时，可以采用反证法。证明：假设a、b、c都不大于0,即a≤0，b≤0,c≤0，则a+b+c≤0,而a+b+c=x2-2y++y2—2x++z2—2x+=(x—1)2+(y-1）2+(z—1)2+π-3∵π—3＞0,且（x-1)2+(y-1)2+（z—1）2≥0，∴a+b+c＞0这与a+b+c≤0矛盾,因此，a、b、c中至少有一个大于0.绿色通道：在利用反证法证明时的实质是证明它的逆否命题成立,反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A,或者非A，即在同一讨论过程中,A和非A有一个且仅有一个是对的,不能有第三种情形出现。【变式训练】已知：a、b、c是一组勾股数,即a2+b2=c2求证:a、b、c不可能都是奇数。证明：假设a、b、c都是奇数.∵a、b、c是一组勾股数，∴a2+b2=c2①∵a、b、c都是奇数，∴a2、b2、c2也都是奇数，∴a2+b2是偶数，这样①式的左边是偶数，右边是奇数，产生矛盾.∴a、b、c不可能都是奇数.【例3】(2006年北京高考卷，理20）在数列{an}中，若a1,a2是正整数，且an=|an-1-an-2|,n=3，4,5，…，则称{an｝为“绝对差数列”。（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列"（只要求写出前十项）；（2)若“绝对差数列”｛an｝中，a20=3，a21=0.数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2，n=1,2,3…,分别判断当n→∞时，an与bn的极限是否存在,如果存在，求出其极限值；（3）任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.思路分析：本题以提出一个新概念的方式来考查数列的概念及极限的问题,背景新颖.解：（1）a1=3,a2=1,a3=2，a4=1，a5=1，a6=0,a7=1,a8=1，a9=0，a10=1（答案不惟一）；（2）解:因为在绝对差数列{an}中，a20=3，a21=0，所以自第20项开始，该数列是a20=3，a21=0,a22=3,a23=3,a24=0，a25=3，a26=3,a27=0,…，即自第20项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3.所以当n→∞时，an的极值不存在。当n≥20时，bn=an+an+1+an+2=6.所以limn→∞bn=6.（1）证明:根据定义，数列｛an｝必在有限项后出现零项,证明如下（用反证法）：假设{an}中没有零项，由于an=｜an—1-an-2｜,所以对于任意的n都有an≥1，从而当an-1＞an-2时,an=an—1—an-2≤an—1-1(n≥3）;当an-1＜an—2时，an=an-2—an—1≤an-2-1(n≥3）。即an的值要么比an—1至少小1，要么比an—2至少小1.令Cn=n=1,2，3…，则0＜Cn≤Cn-1-1（n=2,3,4，…）由于a是确定的正整数,这样减少下去,必然存在某项Ck＜0，这与Cn＞0(n=1,2，3,…）矛盾，从而｛an｝必有零项.若第一次出现的零项为第n项，记an—1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项同期地取值0,A、A，即k=0，1,2,3…,所以绝对数列｛an}中有无穷多个为零的项。绿色通道:在用反证法证题时,常用的主要矛盾为：与假设矛盾、与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾，与公认的事实相矛盾。【变式训练】（2004年太原模拟，20）已知:f(x）=x2+px+q(1）求证：f(1)+f(3）-2f(2)求证:｜f(1）|、｜f（2)｜、|f(3)|中至少有一个不小于。证明：（1)f（1）+f（3)-2f（2)=（1+p+q）+（9+3p+q）—2(4+2p+q)=2.（2)假设｜f(1）|、｜f（2)|、|f（3)|中至少有一个不小于不成立，则假设｜f(1）｜、｜f（2)｜、｜f（3）|都小于，则｜f（1)｜+2|f(2）｜+|f（3）|＜2,而|f(1）|+2｜f（2）|+|f(3)|＞f（1）+f(3）—2f(2）=(1+p+q)+（9+3p+q）—(8+4p+2q)=2,这与｜f（1）｜+2|f(2）|+|f（3)｜＜2相矛盾。因此假设不成立，从而原命题成立,即｜f（1）｜、|f(2)|、｜f（3）|中至少有一个不小于.问题探究问题：反证法与直接证法相比较，反证法具有哪些特点呢？探究：反证法与直接证法相比较，就会发现反证法具有如下特点：①从推理论证的前提看,反证法增加了“反设”这个新的条件，下述情况常采用反证法。在一门学科开始的阶段，对一些最基本的性质的证明，由于这些基本性质予以成立的条件简明扼要，同时可使用的定理甚少，所以直接证明很困难.另外，在题目中含有“至