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文档简介

2025年辽宁省凌源市第二高级中学高三模拟数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.2.在函数:①;②;③;④中,最小正周期为的所有函数为()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③3.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()A. B.C.1 D.34.已知,则()A. B. C. D.5.双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.已知集合,,则集合的真子集的个数是()A.8 B.7 C.4 D.37.若与互为共轭复数,则()A.0 B.3 C.-1 D.48.陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为()A. B.C. D.9.设复数满足,在复平面内对应的点为,则不可能为()A. B. C. D.10.设直线过点,且与圆:相切于点,那么()A. B.3 C. D.111.如图,是圆的一条直径,为半圆弧的两个三等分点,则()A. B. C. D.12.设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.平面向量,,(R),且与的夹角等于与的夹角,则.14.已知为椭圆内一定点,经过引一条弦,使此弦被点平分,则此弦所在的直线方程为________________.15.的三个内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知,则________.16.已知数列为等差数列,数列为等比数列,满足,其中,,则的值为_______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱柱中,底面为菱形,.(1)证明:平面平面;(2)若,是等边三角形,求二面角的余弦值.18.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求证:(2)求证:.19.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的方程;(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.21.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若函数的定义域为,求实数的取值范围.22.(10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系,已知曲线(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,的距离之积.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.2.A【解析】逐一考查所给的函数:,该函数为偶函数,周期;将函数图象x轴下方的图象向上翻折即可得到的图象,该函数的周期为;函数的最小正周期为;函数的最小正周期为;综上可得最小正周期为的所有函数为①②③.本题选择A选项.点睛:求三角函数式的最小正周期时,要尽可能地化为只含一个三角函数的式子,否则很容易出现错误.一般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.3.D【解析】

在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为,所以,即,又,所以公差,所以,即,因为函数,在时,单调递减,且;在时,单调递减,且.所以数列的最大值是,且,所以数列的最大值是3.故选:D.本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.4.C【解析】

利用诱导公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【详解】由可得,∴,∴.故选:C.本题考查诱导公式、倍角公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意三角函数的符号.5.D【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用,求出点,因为点在双曲线上,及,代入整理及得,又已知,即可求出离心率.【详解】由题意可知,代入得:,代入双曲线方程整理得:,又因为,即可得到,故选:D.本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于,,的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题.6.D【解析】

转化条件得,利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得,,集合的真子集的个数为个.故选:D.本题考查了集合的化简和运算,考查了集合真子集个数问题,属于基础题.7.C【解析】

计算,由共轭复数的概念解得即可.【详解】,又由共轭复数概念得:,.故选:C本题主要考查了复数的运算,共轭复数的概念.8.C【解析】

画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可,【详解】由题意可知几何体的直观图如图:上部是底面半径为1,高为3的圆柱,下部是底面半径为2,高为2的圆锥,几何体的表面积为:,故选:C本题考查三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.9.D【解析】

依题意,设,由,得,再一一验证.【详解】设,因为,所以,经验证不满足,故选:D.本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义,还考查了推理论证能力,属于基础题.10.B【解析】

过点的直线与圆:相切于点,可得.因此,即可得出.【详解】由圆:配方为,,半径.∵过点的直线与圆:相切于点,∴;∴;故选:B.本小题主要考查向量数量积的计算,考查圆的方程,属于基础题.11.B【解析】

连接、,即可得到,,再根据平面向量的数量积及运算律计算可得;【详解】解:连接、,,是半圆弧的两个三等分点,,且,所以四边形为棱形,.故选:B本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用,属于基础题.12.B【解析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.【详解】因为,均为非零的平面向量,存在负数,使得,所以向量,共线且方向相反,所以,即充分性成立;反之,当向量,的夹角为钝角时,满足,但此时,不共线且反向,所以必要性不成立.所以“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件.故选B.判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】试题分析:,与的夹角等于与的夹角,所以考点:向量的坐标运算与向量夹角14.【解析】

设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的点斜式方程,化为一般式即可.【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,由于点为弦的中点,则,得,由题意得,两式相减得,所以,直线的斜率为,所以,弦所在的直线方程为,即.故答案为:.本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,属于中等题.15.【解析】

利用正弦定理边化角可得,从而可得,进而求解.【详解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因为,所以,因为,所以,故答案为:本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式,属于基础题.16.【解析】

根据题意,判断出,根据等比数列的性质可得,再令数列中的,,,根据等差数列的性质,列出等式,求出和的值即可.【详解】解:由,其中,,可得,则,令,,可得.①又令数列中的,,,根据等差数列的性质,可得,所以.②根据①②得出,.所以.故答案为.本题主要考查等差数列、等比数列的性质,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)根据面面垂直的判定定理可知,只需证明平面即可.由为菱形可得,连接和与的交点,由等腰三角形性质可得,即能证得平面;(2)由题意知,平面,可建立空间直角坐标系,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,再分别求出平面的法向量,平面的法向量,即可根据向量法求出二面角的余弦值.【详解】(1)如图,设与相交于点,连接,又为菱形,故,为的中点.又,故.又平面,平面,且,故平面,又平面,所以平面平面.(2)由是等边三角形,可得,故平面,所以,,两两垂直.如图以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.不妨设,则,,则,,,,,,设为平面的法向量,则即可取,设为平面的法向量,则即可取,所以.所以二面角的余弦值为0.本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的应用,以及利用向量法求二面角,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和数学运算能力,属于基础题.18.(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】

(1)先根据绝对值不等式求得的最大值,从而得到,再利用基本不等式进行证明;(2)利用基本不等式变形得,两边开平方得到新的不等式,利用同理可得另外两个不等式,再进行不等式相加,即可得答案.【详解】(1)∵,∴.∵,,,∴,∴,∴.(2)∵,,即两边开平方得.同理可得,.三式相加,得.本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和推理论证能力.19.(1)(2)【解析】

(1)由已知条件列出关于和的方程,并计算出和的值,jike得到椭圆的方程.(2)设出点和点坐标,运用点坐标计算出,分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,求解出的最小值.【详解】(1)由己知得:,解得,所以,椭圆的方程(2)设,.当直线垂直于轴时,,且此时,,当直线不垂直于轴时,设直线由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值为本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解,需要掌握解题方法,并且有一定的计算量.20.(1)的极坐标方程为,的直角坐标方程为(2)【解析】

(1)先把曲线的参数方程消参后,转化为普通方程,再利用求得极坐标方程.将,化为,再利用求得曲线的普通方程.(2)设直线的极角,代入,得,将代入,得,由,得,即,从而求得,,从而求得,再利用求解.【详解】(1)依题意,曲线,即,故,即.因为,故,即,即.(2)将代入,得,将代入,得,由,得,得,解得,则.又,故,故的面积.本题考查极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化、极坐标的几何意义,还考查推理论证能力以及数形结合思想,属于中档题.21.(1)(2)【解析】

(1)分类讨论,去掉绝对值,化为与之等价的三个不等式组,求得每个不等式组的解集,再取并集即可.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案.【详解】(1)不等式或或,解得或,即x>0,所以原不等式的解集为.(2)要使函数的定义域为R,只要的最小值大于0即可

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