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文档简介

湖南省邵东三中2025届高三4月质量检查数学试题试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如下的程序框图,则输出的是()A. B.C. D.2.()A. B. C.1 D.3.定义在上的函数满足,则()A.-1 B.0 C.1 D.24.已知函数,若则()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)5.已知函数是定义在上的偶函数,且在上单调递增,则()A. B.C. D.6.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.7.函数的定义域为()A.或 B.或C. D.8.在中,“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.等比数列若则()A.±6 B.6 C.-6 D.10.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.57811.设,是非零向量,若对于任意的,都有成立,则A. B. C. D.12.复数(为虚数单位),则等于()A.3 B.C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若椭圆:的一个焦点坐标为,则的长轴长为_______.14.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.15.已知数列满足:,,若对任意的正整数均有,则实数的最大值是_____.16.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D,直线AC、BD分别交直线于点E、F,求证:是定值.18.(12分)如图,已知在三棱台中,,,.(1)求证:;(2)过的平面分别交,于点,,且分割三棱台所得两部分几何体的体积比为,几何体为棱柱,求的长.提示:台体的体积公式(,分别为棱台的上、下底面面积,为棱台的高).19.(12分)已知数列为公差为d的等差数列,,,且,,依次成等比数列,.(1)求数列的前n项和;(2)若,求数列的前n项和为.20.(12分)设点,动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,且直线与轴交于点,设,,求证:为定值.21.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=2Sn+1(1)求数列{an}(2)设cn=bnan,求数列22.(10分)在平面直角坐标系中,,,且满足(1)求点的轨迹的方程;(2)过,作直线交轨迹于,两点,若的面积是面积的2倍,求直线的方程.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

列出每一步算法循环,可得出输出结果的值.【详解】满足,执行第一次循环,,;成立,执行第二次循环,,;成立,执行第三次循环,,;成立,执行第四次循环,,;成立,执行第五次循环,,;成立,执行第六次循环,,;成立,执行第七次循环,,;成立,执行第八次循环,,;不成立,跳出循环体,输出的值为,故选:A.本题考查算法与程序框图的计算,解题时要根据算法框图计算出算法的每一步,考查分析问题和计算能力,属于中等题.2.A【解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.【详解】,,因此,.故选:A.本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.3.C【解析】

推导出,由此能求出的值.【详解】∵定义在上的函数满足,∴,故选C.本题主要考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用,属于中档题.4.C【解析】

利用导数求得在上递增,结合与图象,判断出的大小关系,由此比较出的大小关系.【详解】因为,所以在上单调递增;在同一坐标系中作与图象,,可得,故.故选:C本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用函数的单调性比较大小,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.5.C【解析】

根据题意,由函数的奇偶性可得,,又由,结合函数的单调性分析可得答案.【详解】根据题意,函数是定义在上的偶函数,则,,有,又由在上单调递增,则有,故选C.本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意函数奇偶性的应用,属于基础题.6.D【解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.7.A【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式,即可解得函数的定义域.【详解】由题意可得,解得或.因此,函数的定义域为或.故选:A.本题考查具体函数定义域的求解,考查计算能力,属于基础题.8.D【解析】

通过列举法可求解,如两角分别为时【详解】当时,,但,故充分条件推不出;当时,,但,故必要条件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选:D.本题考查命题的充分与必要条件判断,三角函数在解三角形中的具体应用,属于基础题9.B【解析】

根据等比中项性质代入可得解,由等比数列项的性质确定值即可.【详解】由等比数列中等比中项性质可知,,所以,而由等比数列性质可知奇数项符号相同,所以,故选:B.本题考查了等比数列中等比中项的简单应用,注意项的符号特征,属于基础题.10.D【解析】

因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.11.D【解析】

画出,,根据向量的加减法,分别画出的几种情况,由数形结合可得结果.【详解】由题意,得向量是所有向量中模长最小的向量,如图,当,即时,最小,满足,对于任意的,所以本题答案为D.本题主要考查了空间向量的加减法,以及点到直线的距离最短问题,解题的关键在于用有向线段正确表示向量,属于基础题.12.D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简,从而求得,然后直接利用复数模的公式求解.【详解】,所以,,故选:D.该题考查的是有关复数的问题,涉及到的知识点有复数的乘除运算,复数的共轭复数,复数的模,属于基础题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

由焦点坐标得从而可求出,继而得到椭圆的方程,即可求出长轴长.【详解】解:因为一个焦点坐标为,则,即,解得或由表示的是椭圆,则,所以,则椭圆方程为所以.故答案为:.本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略,从而未对的两个值进行取舍.14.【解析】

设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】解:由已知,的三边长,,成等差数列,设,,,而,根据勾股定理有:,解得:,由椭圆定义知:的周长为,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴离心率.故答案为:.本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.15.2【解析】

根据递推公式可考虑分析,再累加求出关于关于参数的关系,根据表达式的取值分析出,再用数学归纳法证明满足条件即可.【详解】因为,累加可得.若,注意到当时,,不满足对任意的正整数均有.所以.当时,证明:对任意的正整数都有.当时,成立.假设当时结论成立,即,则,即结论对也成立.由数学归纳法可知,对任意的正整数都有.综上可知,所求实数的最大值是2.故答案为:2本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.16.2【解析】

将已知数列分组为(1),,共个组.设在第组,,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)证明见解析.【解析】

(1)由题意求得的坐标,代入椭圆方程求得,由此求得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,可得关于的一元二次方程,设出的坐标,分别求出直线与直线的方程,从而求得两点的纵坐标,利用根与系数关系可化简证得为定值.【详解】(1)由已知可得:,代入椭圆方程得:椭圆方程为;(2)设直线CD的方程为,代入,得:设,,则有,则AC的方程为,令,得BD的方程为,令,得,证毕.本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力,是难题.18.(1)证明见解析;(2)2【解析】

(1)在中,利用勾股定理,证得,又由题设条件,得到,利用线面垂直的判定定理,证得平面,进而得到;(2)设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为,根据棱台的体积公式,列出方程求得,得到,即可求解.【详解】(1)由题意,在中,,,所以,可得,因为,可得.又由,,平面,所以平面,因为平面,所以.(2)因为,可得,令,,设三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离为,则,整理得,即,解得,即,又由,所以.本题主要考查了直线与平面垂直的判定与应用,以及几何体的体积公式的应用,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理,以及熟练应用几何体的体积公式进行求解是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.19.(1)(2)【解析】

(1)利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差,从而求出,再利用等比数列的前项和公式即可求解.(2)由(1)求出,再利用裂项求和法即可求解.【详解】(1),且,,依次成等比数列,,即:,,,,,;(2),.本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法,需熟记公式,属于基础题.20.(1);(2)见解析.【解析】

(1)已知点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,由此可得曲线的方程;(2)设直线方程为,,则,设,由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得,,由,,用横坐标表示出,然后计算,并代入,可得结论.【详解】(1)设动圆圆心,由抛物线定义知:点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,设其方程为,则,解得.∴曲线的方程为;(2)证明:设直线方程为,,则,设,由得,①,则,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.本题考查求曲线方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方法,即设交点坐标,设直线方程,直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次方程,应用韦达定理得,,代入题中其他条件所求式子中化简变形.21.(1)an=(2)Tn【解析】

(1)利用an与Sn的递推关系可以an的通项公式;P点代入直线方程得b【详解】(1)由an+1=2S两式相减得an+1-a又a2=2S1+1=3,所以a由点P(bn,bn+1则数列{bn(

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