matlab拉格朗日试题及答案

matlab拉格朗日试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[5]分，共[25]分）

1.拉格朗日插值法是一种用于在给定节点上插值多项式的方法，以下关于拉格朗日插值法的描述中，正确的是：

A.插值多项式是唯一的

B.插值多项式是唯一的，但可能不是最小二乘多项式

C.插值多项式不是唯一的，可能存在多个满足条件的插值多项式

D.插值多项式不是唯一的，但一定是最小二乘多项式

2.在MATLAB中，使用拉格朗日插值法可以通过哪个函数实现？

A.lagrange

B.interp1

C.pade

D.lagrange2

3.在MATLAB中，以下哪个函数可以实现多项式拟合？

A.polyfit

B.polyval

C.lagrange

D.interp1

4.拉格朗日插值多项式在节点处的值为：

A.0

B.1

C.节点对应的函数值

D.无法确定

5.拉格朗日插值法适用于以下哪种情况？

A.函数在插值区间内连续

B.函数在插值区间内存在多个零点

C.函数在插值区间内存在无穷远处

D.函数在插值区间内存在间断点

二、填空题（每题[5]分，共[25]分）

1.拉格朗日插值多项式的形式为：__________

2.拉格朗日插值法的基本思想是：__________

3.在MATLAB中，使用lagrange函数进行拉格朗日插值时，需要提供节点和函数值，节点和函数值的格式分别为：__________和__________

4.拉格朗日插值法在节点处的误差为：__________

5.拉格朗日插值法在节点附近的误差估计公式为：__________

三、简答题（每题[10]分，共[30]分）

1.简述拉格朗日插值法的原理。

2.比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的优缺点。

3.如何在MATLAB中实现拉格朗日插值法？请给出示例代码。

四、编程题（每题[20]分，共[40]分）

1.编写MATLAB函数，实现拉格朗日插值法，并计算给定节点和函数值下的插值多项式。

2.编写MATLAB函数，实现使用拉格朗日插值法对给定数据进行插值，并绘制原始数据和插值曲线。

五、应用题（每题[15]分，共[30]分）

1.已知函数f(x)=e^(-x^2)在x=0,1,2,3,4处有值，请使用拉格朗日插值法构造一个插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。

2.设有如下一组数据点：(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，请编写MATLAB代码，实现以下要求：

a.使用拉格朗日插值法构造插值多项式。

b.计算插值多项式在x=0.5处的值。

六、论述题（每题[15]分，共[30]分）

1.论述拉格朗日插值法的误差特性，并说明如何估计插值误差。

2.分析拉格朗日插值法在实际应用中的局限性，并提出可能的改进方法。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.答案：A

解析：拉格朗日插值法确保在所有节点处的插值多项式值与给定函数值相等，因此插值多项式是唯一的。

2.答案：B

解析：在MATLAB中，函数interp1可以用来进行拉格朗日插值。

3.答案：A

解析：polyfit函数用于计算最小二乘多项式，而polyval用于评估多项式。

4.答案：C

解析：拉格朗日插值多项式在节点处的值为节点对应的函数值。

5.答案：A

解析：拉格朗日插值法适用于函数在插值区间内连续的情况。

二、填空题答案及解析：

1.答案：y=Σ[L_i(x)*y_i]

解析：拉格朗日插值多项式是所有基函数乘以对应的函数值的和。

2.答案：通过构造一个多项式，使得该多项式在给定的节点处等于函数值。

解析：拉格朗日插值法的基本思想是通过节点处的函数值构造一个多项式来逼近函数。

3.答案：节点列表x_values，函数值列表y_values

解析：在MATLAB中，lagrange函数需要节点列表和对应的函数值列表作为输入。

4.答案：f(x)-L(x)

解析：拉格朗日插值法在节点处的误差等于函数值与插值多项式值之差。

5.答案：|f(x)-L(x)|≤|h|^n*M*(n+1)!/((n+1)!!)

解析：拉格朗日插值法在节点附近的误差估计公式考虑了节点间距和函数的n阶导数的最大值。

三、简答题答案及解析：

1.答案：拉格朗日插值法通过构造一系列的拉格朗日基函数，在每个节点处与函数值相乘，然后将这些乘积求和得到插值多项式。

解析：拉格朗日插值法的原理是通过基函数的线性组合来逼近给定的函数。

2.答案：拉格朗日插值法的优点是计算简单，易于实现，而缺点是插值多项式可能非常振荡，且在节点处之外的性能可能较差。牛顿插值法在节点之间提供了更好的平滑性，但计算更为复杂。

解析：比较两种插值法的优缺点，分析各自的适用场景。

3.答案：

```matlab

functionp=lagrange_interpolation(x_values,y_values,x_interp)

n=length(x_values);

p=0;

fori=1:n

L_i=1;

forj=1:n

ifi~=j

L_i=L_i*(x_interp-x_values(j))/(x_values(i)-x_values(j));

end

end

p=p+L_i*y_values(i);

end

end

```

解析：编写MATLAB代码实现拉格朗日插值法，包括节点和函数值的输入，以及插值点的计算。

四、编程题答案及解析：

1.答案：请参考第三部分简答题中的代码示例。

2.答案：

```matlab

%示例数据

x_values=[0,1,2,3,4];

y_values=[exp(-0),exp(-1),exp(-4),exp(-9),exp(-16)];

x_interp=0.5;

%拉格朗日插值

p=lagrange_interpolation(x_values,y_values,x_interp);

%绘制原始数据和插值曲线

plot(x_values,y_values,'o','MarkerFaceColor','r','DisplayName','OriginalData');

holdon;

plot(x_interp,p,'b-','LineWidth',2,'DisplayName','InterpolatedCurve');

legendshow;

xlabel('x');

ylabel('y');

title('LagrangeInterpolationExample');

holdoff;

```

解析：编写MATLAB代码实现拉格朗日插值，并绘制原始数据和插值曲线。

五、应用题答案及解析：

1.答案：

```matlab

%给定数据点

x_values=[0,1,2,3,4];

y_values=[exp(-0),exp(-1),exp(-4),exp(-9),exp(-16)];

%使用拉格朗日插值法构造插值多项式

p=lagrange_interpolation(x_values,y_values,1.5);

%计算f(1.5)的近似值

f_1_5=p;

```

解析：使用拉格朗日插值法计算给定点的函数值近似。

2.答案：

```matlab

%给定数据点

x_values=[0,1,2,3,4,5];

y_values=[1,2,3,4,5,6];

%使用拉格朗日插值法构造插值多项式

p=lagrange_interpolation(x_values,y_values,0.5);

%计算插值多项式在x=0.5处的值

p_0_5=p;

```

解析：编写MATLAB代码实现拉格朗日插值，并计算指定点的插值多项式值。

六、论述题答案及解析：

1.答案：拉格朗日插值法的误差特性与插值多项式的阶数、节点间距以及函数的特性有关。误差估