高二数学期望试题及答案

高二数学期望试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.下列概率中，表示事件A发生的概率最小的是（）

A.P(A)=0.3

B.P(A)=0.5

C.P(A)=0.7

D.P(A)=0.9

2.若随机变量X的期望值E(X)=3，方差D(X)=4，则随机变量X的方差D(X)等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.抛掷一枚均匀的六面骰子，设随机变量X表示出现的点数，则E(X)等于（）

A.3.5

B.4

C.5

D.6

4.下列关于期望的说法，正确的是（）

A.期望总是存在的

B.期望是概率的加权平均

C.期望是方差的平方根

D.期望是方差的平方

5.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，则E(X)等于（）

A.3

B.4

C.5

D.6

二、填空题（每题5分，共20分）

1.抛掷一枚均匀的硬币，设随机变量X表示出现正面的次数，则E(X)等于______。

2.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=5，σ=2，则E(X)等于______。

3.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=15，p=0.4，则E(X)等于______。

4.设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，其中a=1，b=3，则E(X)等于______。

5.设随机变量X服从泊松分布P(λ)，其中λ=3，则E(X)等于______。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.抛掷一枚均匀的六面骰子，设随机变量X表示出现的点数，求E(X)和D(X)。

2.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=10，σ=3，求P(X≤12)。

3.设随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=20，p=0.5，求P(X≥15)。

4.设随机变量X服从均匀分布U(a,b)，其中a=2，b=5，求P(X≤3)。

四、解答题（每题10分，共30分）

4.设随机变量X服从指数分布E(λ)，其中λ=1/2，求P(X≥2)。

解：根据指数分布的概率密度函数，我们有

\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax}\)对于\(x\geq0\)。

因此，\(P(X\geq2)=1-P(X<2)=1-\int_0^2\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x}dx\)。

计算这个积分，我们得到

\(P(X\geq2)=1-\left[-2e^{-\frac{1}{2}x}\right]_0^2=1-(0-2e^{-1})=1+2e^{-1}\)。

5.设随机变量X和Y独立同分布，且X服从参数为p的伯努利分布，即P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。求随机变量Z=XY的期望值E(Z)。

解：由于X和Y独立同分布，我们有

\(E(Z)=E(XY)=E(X)E(Y)\)。

因为X服从伯努利分布，所以\(E(X)=p\)。

同理，因为Y也服从伯努利分布，所以\(E(Y)=p\)。

因此，\(E(Z)=p\cdotp=p^2\)。

6.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的泊松分布，Y服从参数为μ的泊松分布。求随机变量Z=X+Y的分布类型及其参数。

解：由于X和Y相互独立，Z的分布可以通过泊松分布的卷积得到。泊松分布的卷积公式为

\(P(Z=k)=\sum_{i=0}^kP(X=i)P(Y=k-i)\)。

对于泊松分布，我们有

\(P(X=i)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}\)和\(P(Y=k-i)=\frac{e^{-\mu}\mu^{k-i}}{(k-i)!}\)。

因此，

\(P(Z=k)=\sum_{i=0}^k\frac{e^{-\lambda}\lambda^i}{i!}\cdot\frac{e^{-\mu}\mu^{k-i}}{(k-i)!}=e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^k}{k!}\)。

这表明Z服从参数为\(\lambda+\mu\)的泊松分布。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B

解析：事件A发生的概率最小，即P(A)最接近0，选项B的P(A)=0.5是最小的。

2.C

解析：方差的定义是D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2，已知E(X)=3，D(X)=4，解得E(X^2)=19，所以E(X)=√19。

3.A

解析：期望值E(X)是所有可能点数的加权平均，每个点数出现的概率相等，因此E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

4.B

解析：期望是概率的加权平均，即E(X)=Σ[πi*xi]，其中πi是第i个事件发生的概率，xi是第i个事件的值。

5.A

解析：二项分布的期望值E(X)=np，其中n是试验次数，p是每次试验成功的概率，所以E(X)=10*0.3=3。

二、填空题答案及解析：

1.E(X)=0.5

解析：抛掷硬币，正面和反面出现的概率都是0.5，期望值E(X)=0.5*1+0.5*0=0.5。

2.E(X)=5

解析：正态分布的期望值等于均值μ，所以E(X)=μ=5。

3.E(X)=6

解析：二项分布的期望值E(X)=np，其中n=20，p=0.4，所以E(X)=20*0.4=8。

4.E(X)=3.5

解析：均匀分布的期望值E(X)=(a+b)/2，其中a是分布的下限，b是分布的上限，所以E(X)=(1+3)/2=2。

5.E(X)=3

解析：泊松分布的期望值等于参数λ，所以E(X)=λ=3。

三、解答题答案及解析：

1.E(X)=3.5，D(X)=2.9167

解析：期望值E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5，方差D(X)=[(1-3.5)^2+(2-3.5)^2+...+(6-3.5)^2]/6=2.9167。

2.P(X≤12)=0.8187

解析：正态分布的累积分布函数可以查表得到，P(X≤12)=Φ((12-10)/3)=Φ(0.3333)≈0.8187。

3.P(X≥15)=0.0013

解析：二项分布的累积分布函数可以查表得到，P(X≥15)=1-P(X<15)=1-(P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=14))≈0.0013。

4.P(X≤3)=0.125

解析：均匀分布的累积分布函数可以查表得到，P(X≤3)=Φ((3-2)/3)=Φ(1/3)≈0.125。

四、解答题答案及解析：

4.P(X≥2)=1+2e^{-1}

解析：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^{-λx}，计算P(X≥2)=1-P(X<2)=1-∫[0,2]