2025年朝阳三模数学试题及答案

朝阳三模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共30分）

1.已知函数f(x)=x²-2x+1，则f(x)的图像是：

A.一个开口向上的抛物线

B.一个开口向下的抛物线

C.一条直线

D.一个圆

2.如果等差数列{an}的第一项a1=3，公差d=2，那么数列的第10项an是多少？

A.19

B.21

C.23

D.25

3.在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点是：

A.(2,3)

B.(3,2)

C.(1,4)

D.(4,1)

4.若a、b是方程x²+px+q=0的两根，且p²=4q，那么方程的解是什么？

A.一正一负

B.两个都是正数

C.两个都是负数

D.两个都是0

5.已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，那么数列的第5项bn是多少？

A.162

B.48

C.18

D.6

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若方程x²-5x+6=0的两根分别是a和b，则a+b=______。

7.在直角坐标系中，点A(1,2)和点B(3,4)的中点是______。

8.若等差数列{cn}的第三项c3=7，公差d=2，那么数列的第一项c1是______。

9.若等比数列{dn}的第四项d4=16，公比q=2，那么数列的第一项d1是______。

10.在直角坐标系中，点P(2,-3)关于y轴的对称点是______。

三、解答题（每题15分，共45分）

11.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}

\]

12.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求函数的顶点坐标。

13.已知数列{en}是等比数列，其中e1=3，e2=6，求公比q和数列的前5项和S5。

四、解答题（每题15分，共45分）

14.已知函数f(x)=(x-1)²-4，求函数的图像与x轴的交点坐标。

15.已知等差数列{fn}的第一项f1=2，公差d=3，求该数列的前10项和S10。

16.已知等比数列{gn}的首项g1=5，公比q=0.5，求该数列的前5项和S5。

五、证明题（每题15分，共30分）

17.证明：对于任意实数x，有(x+1)²≥4x。

18.证明：若a、b是方程x²-(a+b)x+ab=0的两根，则a²+b²=(a+b)²。

六、应用题（每题15分，共30分）

19.某商品原价100元，第一次打八折，第二次打九折，求该商品打折后的售价。

20.一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60公里/小时，返回时速度为80公里/小时。若往返总路程为480公里，求汽车往返的平均速度。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共30分）

1.A。因为函数f(x)=x²-2x+1是一个二次函数，其标准形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a=1>0，所以图像是一个开口向上的抛物线。

2.B。等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，得到an=3+(10-1)×2=3+18=21。

3.B。点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为(3,2)，因为对称点的横坐标和纵坐标互换。

4.A。根据韦达定理，方程x²+px+q=0的两根之和等于-p，两根之积等于q。由p²=4q，可知两根一正一负。

5.A。等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)，代入a1=2，q=3，n=5，得到an=2×3^(5-1)=2×243=486。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.5。由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=2，得到a2=3+(2-1)×2=3+2=5。

7.(2,3)。中点坐标公式为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，代入A(1,2)和B(3,4)，得到中点坐标为(2,3)。

8.1。由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a3=7，d=2，得到a1=a3-2×(3-1)=7-4=3。

9.5。由等比数列的通项公式an=a1q^(n-1)，代入a4=16，q=2，得到a1=a4/q^(4-1)=16/2^3=16/8=2。

10.(-2,-3)。点P(2,-3)关于y轴的对称点坐标为(-2,-3)，因为对称点的横坐标取相反数。

三、解答题（每题15分，共45分）

11.解方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}

\]

解得x=3，y=2。

12.已知函数f(x)=2x²-3x+1，求函数的顶点坐标。

顶点坐标公式为(-b/2a,f(-b/2a))，代入a=2，b=-3，得到顶点坐标为(3/4,-1/8)。

13.已知数列{en}是等比数列，其中e1=3，e2=6，求公比q和数列的前5项和S5。

公比q=e2/e1=6/3=2，数列的前5项为3,6,12,24,48，前5项和S5=3+6+12+24+48=93。

四、解答题（每题15分，共45分）

14.已知函数f(x)=(x-1)²-4，求函数的图像与x轴的交点坐标。

令f(x)=0，得到(x-1)²-4=0，解得x=3或x=-1，所以交点坐标为(3,0)和(-1,0)。

15.已知等差数列{fn}的第一项f1=2，公差d=3，求该数列的前10项和S10。

等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)，代入a1=2，d=3，n=10，得到S10=10/2(2×2+(10-1)×3)=5(4+27)=5×31=155。

16.已知等比数列{gn}的首项g1=5，公比q=0.5，求该数列的前5项和S5。

等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，代入a1=5，q=0.5，n=5，得到S5=5(1-0.5^5)/(1-0.5)=5(1-0.03125)/(0.5)=5×0.96875/0.5=9.6875。

五、证明题（每题15分，共30分）

17.证明：对于任意实数x，有(x+1)²≥4x。

展开(x+1)²得到x²+2x+1，移项得到x²-2x+1≥0，即(x-1)²≥0，因为平方数总是非负的，所以原不等式成立。

18.证明：若a、b是方程x²-(a+b)x+ab=0的两根，则a²+b²=(a+b)²。

由韦达定理，a+b=a+b，ab=ab，所以a²+b²=(a+b)²-2ab，代入a+b和ab的值，得到a²+b²=(a+b)²-2ab，即a²+b²=(a+b)²。

六、应用题（每题15分，共30分）

19.某商品原价100元，第一次打八折，第二次打九折，求该商品打折后的售价。

第一次打八折后的价格为100×0.8=80元，第二次打九折后的价格为80×0.9