浙江专用2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第5讲直线平面垂直的判定及其性质练习含解析

PAGEPAGE9第5讲直线、平面垂直的判定及其性质[基础达标]1．(2024·嘉兴市七校联考)“直线a与平面M内的多数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.依据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的多数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应当是必要不充分条件．2.如图，O为正方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C1解析：选D.由题易知A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥B1O.3．(2024·温州中学高三模考)如图，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.4．(2024·浙江省名校协作体高三联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A．eq\f(\r(6),4) B．eq\f(\r(10),4)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)解析：选A.如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则可知B1D⊥平面ACC1A1，所以∠DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为2，所以在Rt△AB1D中，sin∠DAB1＝eq\f(B1D,AB1)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，故选A.5．(2024·浙江省中学学科基础测试)在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设eq\f(PE,ED)＝m，则“0<m<2”是“三棱锥C­ABE的体积不小于1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.过E点作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥平面ABCD.因为VC­ABE＝VE­ABC，所以三棱锥C­ABE的体积为eq\f(2,3)EH.若三棱锥C­ABE的体积不小于1，则EH≥eq\f(3,2)，又PA＝3，所以eq\f(PE,ED)＝m≤1，故选B.6．(2024·绍兴市柯桥区高考数学模拟)如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD，异面直线CD与A′B所成的角为α，则()A．α<∠A′CA B．α>∠A′CAC．α<∠A′CD D．α>∠A′CD解析：选B.因为AB∥CD，所以∠A′BA为异面直线CD与A′B所成的角．假设AB＝BC＝1，平面A′BD⊥平面ABCD.连接AC交BD于点O，连接A′A，A′C，A′O，则A′O⊥平面ABCD，A′O＝AO＝BO＝CO＝DO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，所以A′A＝A′C＝A′B＝A′D＝1，所以△A′BA，△A′CD是等边三角形，△A′CA是等腰直角三角形，所以∠A′CA＝45°，∠A′CD＝∠A′BA＝60°，即α>∠A′CA，α＝∠A′CD.解除A，C，D.故选B.7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2eq\r(7).答案：2eq\r(7)8.如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两垂直，且BC＝CD＝1.直线BD与平面ACD所成的角为30°，则线段AB的长度为________．解析：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为点H，连接DH.因为CD⊥AB，CD⊥BC，所以平面ACD⊥平面ABC，所以BH⊥平面ACD.所以∠BDH为直线BD与平面ACD所成的角．所以∠BDH＝30°，在Rt△BDH中，BD＝eq\r(2)，所以BH＝eq\f(\r(2),2).又因为在Rt△BHC中，BC＝1，所以∠BCH＝45°.所以在Rt△ABC中，AB＝BC＝1.答案：19．(2024·台州市书生中学月考)如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，PD＝AD＝DC＝2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为________；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为________．解析：因为AB∥CD，所以∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角，明显三角形PDC为等腰直角三角形，所以∠PCD＝eq\f(π,4).设AB＝1，则可计算得，PB＝3，而点B到平面PDC的距离d等于AD的长为2，所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为eq\f(d,PB)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(π,4)eq\f(2,3)10．(2024·浙江名校新高考联盟联考)如图，已知正四面体D­ABC，P为线段AB上的动点(端点除外)，则二面角D­PC­B的平面角的余弦值的取值范围是________．解析：当点P从A运动到B，二面角D­PC­B的平面角渐渐增大，二面角D­PC­B的平面角最小趋近于二面角D­AC­B的平面角，最大趋近于二面角D­BC­A的平面角的补角，故余弦值的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))11.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的随意一点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若PA＝AC，D为PC的中点．求证：PB⊥AD.证明：(1)设⊙O所在的平面为α，由已知条件PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A，B的随意一点，AB是⊙O的直径，所以∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC⊥平面PBC.(2)因为PA＝AC，D是PC的中点，所以AD⊥PC.由(1)知平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC.因为AD⊂平面PAC.所以AD⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC，所以PB⊥AD.12．(2024·浙江名校协作体高三质检)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，DA＝2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．(1)求证：PD∥平面OCM；(2)若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．解：(1)证明：设BD交OC于N，连接MN，OB，因为O为AD的中点，AD＝2，所以OA＝OD＝1＝BC.又因为AD∥BC，所以四边形OBCD为平行四边形，所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，所以MN∥PD.又因为MN⊂平面OCM，PD⊄平面OCM，所以PD∥平面OCM.(2)由四边形OBCD为平行四边形，知OB＝CD＝1，所以△AOB为等边三角形，所以∠A＝60°，所以BD＝eq\r(1＋4－2×1×2×\f(1,2))＝eq\r(3)，即AB2＋BD2＝AD2，即AB⊥BD.因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD.又因为BD∩PD＝D，所以AB⊥平面BDP，所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB＝60°，所以PB＝eq\f(\r(3),3).[实力提升]1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()A．①③ B．②③C．②④ D．③④解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满意，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不行能在FC上，所以④不成立．2．(2024·绍兴诸暨高考模拟)已知三棱锥A­BCD的全部棱长都相等，若AB与平面α所成角等于eq\f(π,3)，则平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(6),6)，\f(3＋\r(6),6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(6),6)，1))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(3),6)，\f(\r(2),2)＋\f(\r(3),6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(3),6)，1))解析：选A.因为三棱锥A­BCD的全部棱长都相等，所以三棱锥A­BCD为正四面体，如图：设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP，则∠BAP为AB与平面ADC所成角．AP＝BP＝eq\r(3)，可得cos∠BAP＝eq\f(\r(3),3)，sin∠BAP＝eq\f(\r(6),3).设∠BAP＝θ.当CD与α平行且AB在平面ACD上面时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最小，为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝sineq\f(π,3)cosθ－coseq\f(π,3)sinθ＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(3－\r(6),6)；当CD与α平行且AB在平面ACD下面时，平面ACD与平面α所成角的正弦值最大，为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝sineq\f(π,3)cosθ＋coseq\f(π,3)sinθ＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(3＋\r(6),6)，所以平面ACD与平面α所成角的正弦值的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(6),6)，\f(3＋\r(6),6))).故选A.3．(2024·杭州市高三期末)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,3)，边BC在平面α内，顶点A在平面α外，直线AB与平面α所成角为θ.若平面ABC与平面α所成的二面角为eq\f(π,3)，则sinθ＝________．解析：过A作AO⊥α，垂足是O，过O作OD⊥BC，交BC于D，连接AD，则AD⊥BC，所以∠ADO是平面ABC与平面α所成的二面角，即∠ADO＝eq\f(π,3)，∠ABO是直线AB与平面α所成的角，即∠ABO＝θ，设AO＝eq\r(3)，所以AD＝2，在Rt△ADB中，∠ABD＝eq\f(π,3)，所以AB＝eq\f(2,sin\f(π,3))＝eq\f(4\r(3),3)，所以sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(\r(3),\f(4\r(3),3))＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)4．(2024·浙江“七彩阳光”新高考联盟联考)已知直角三角形ABC的两条直角边AC＝2，BC＝3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角A­CP­B，此时二面角P­AC­B的正切值为eq\r(2)，则翻折后AB的长为________．解析：如图，在平面PCB内过P作直二面角A­CP­B的棱CP的垂线交边BC于E,则EP⊥平面ACP.于是在平面PAC中过P作二面角P­AC­B的棱AC的垂线，垂足为D，连接DE，则∠PDE为二面角P­AC­B的平面角，且tan∠PDE＝eq\f(EP,PD)＝eq\r(2)，设DP＝a，则EP＝eq\r(2)a.如图，设∠BCP＝α，则∠ACP＝90°－α，则在直角三角形DPC中，PC＝eq\f(a,sin（90°－α）)＝eq\f(a,cosα)，又在直角三角形PCE中，tanα＝eq\f(PE,PC)，则eq\f(a,cosα)·tanα＝eq\r(2)a，sinα＝eq\r(2)cos2α，所以α＝45°，因为二面角A­CP­B为直二面角，所以cos∠ACB＝cos∠ACP·cos∠BCP，于是eq\f(AC2＋BC2－AB2,2·AC·BC)＝cos∠ACP·sin∠ACP＝eq\f(1,2)，解得AB＝eq\r(7).答案：eq\r(7)5．(2024·浙江模拟)如图，在四棱锥E­ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AD＝ED＝3，EC＝2.(1)证明：AB⊥平面BCE；(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．解：(1)证明：因为∠DAB＝∠ABC＝90°，所以四边形ABCD是直角梯形，因为AB＝BC＝1，AD＝ED＝3，EC＝2.所以CD＝eq\r(12＋（3－1）2)＝eq\r(5)，所以CE2＋DC2＝DE2，所以EC⊥CD，因为平面EDC⊥平面ABCD，平面EDC∩平面ABCD＝DC，所以CE⊥平面ABCD，所以CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE＝C，所以AB⊥平面BCE.(2)过A作AH⊥DC，交DC于H，则AH⊥平面DCE，连接EH，则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的角，因为eq\f(1,2)×DC×AH＝eq\f(AD＋BC,2)×AB－eq\f(1,2)×AB×BC，所以AH＝eq\f(\f(1,2)×（3＋1）×1－\f(1,2)×1×1,\f(1,2)×\r(5))＝eq\f(3\r(5),5)，AE＝eq\r(AB2＋（CE2＋BC2）)＝eq\r(6)，所以sin∠AEH＝eq\f(\r(30),10)，所以直线AE与平面CDE所成角的正弦值为eq\