2025年温州中学数学试题及答案

温州中学数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.若a，b，c成等差数列，且a+b+c=9，则a²+b²+c²的值为（）

A.27B.36C.45D.54

2.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，且a²+b²=25，则角C的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

3.已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=3，f(2)=7，则f(3)的值为（）

A.11B.13C.15D.17

4.若log₂x+log₃x=2，则x的值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a₁=1，S₃=9，则该数列的公差为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（每题5分，共20分）

1.若等差数列{an}的公差为d，且a₁=2，a₃=8，则d=_________。

2.在直角坐标系中，点A(2,3)，B(-3,4)，则线段AB的中点坐标为_________。

3.若函数f(x)=x²-2x+1在区间[1,3]上的最大值为_________。

4.已知对数方程logₐ(x-1)+logₐ(x+1)=2的解集为_________。

5.在等差数列{an}中，若a₁=3，公差d=2，则第10项a₁₀=_________。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a₁=1，S₃=9，求该数列的公差d。

2.在直角坐标系中，已知点A(2,3)，B(-3,4)，求线段AB的长度。

3.已知函数f(x)=x²-2x+1在区间[1,3]上的最大值，求该函数在该区间上的最小值。

四、解答题（每题10分，共30分）

4.已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求该数列的前10项和S10。

5.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=5，b=7，角A的余弦值为1/2，求三角形ABC的面积。

6.已知函数f(x)=x³-3x²+4x，求该函数在区间[-1,2]上的单调区间和极值。

五、证明题（每题10分，共20分）

7.证明：对于任意实数x，都有(x+1)²≥4x。

8.证明：对于任意正整数n，都有1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

六、综合题（每题20分，共40分）

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a₁=2，a₂=5，对于任意正整数n，都有an=2an-1+3an-2，求该数列的通项公式an。

10.在直角坐标系中，已知点A(1,2)，B(4,6)，C(8,10)，求直线BC的方程。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B

解析思路：由等差数列的性质知，a₁+aₙ=2a₂，所以a₁+aₙ=2(a₁+d)，代入a₁=2，aₙ=8，得2+8=2(2+d)，解得d=3，因此a²+b²+c²=(2+3)²+(2+6)²+(2+9)²=36+36+81=153。

2.C

解析思路：由余弦定理知，cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入a=3，b=4，c=5，得cosA=(4²+5²-3²)/(2*4*5)=1/2，所以角A=60°。

3.D

解析思路：根据函数的连续性，f(3)的值介于f(2)和f(4)之间，f(2)=7，f(4)=9，所以f(3)的值在7和9之间，只有D选项17符合。

4.C

解析思路：由对数的换底公式知，log₂x+log₃x=log₂x/log₂3+log₃x/log₂3=log₂(x*3)/log₂3=2，解得x*3=2³，即x=8。

5.B

解析思路：由等差数列的性质知，Sₙ=n(a₁+aₙ)/2，代入a₁=1，S₃=9，得9=3(1+a₃)/2，解得a₃=5，因此公差d=a₃-a₂=5-3=2。

二、填空题

1.3

解析思路：由等差数列的性质知，a₃=a₁+2d，代入a₁=2，a₃=8，得8=2+2d，解得d=3。

2.(-1,3.5)

解析思路：线段AB的中点坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)，代入A(2,3)，B(-3,4)，得中点坐标为((-1,3.5))。

3.1

解析思路：函数f(x)=x²-2x+1可以写成f(x)=(x-1)²，因为平方项总是非负的，所以f(x)的最小值为0，当x=1时取得。

4.(-1,3)

解析思路：由对数的性质知，logₐ(x-1)+logₐ(x+1)=logₐ[(x-1)(x+1)]=logₐ(x²-1)=2，解得x²-1=2，即x²=3，所以x=±√3，但x-1和x+1都必须大于0，所以x=√3，因此解集为(-1,3)。

5.19

解析思路：由等差数列的通项公式an=a₁+(n-1)d，代入a₁=3，d=2，n=10，得a₁₀=3+(10-1)*2=19。

四、解答题

4.110

解析思路：由等差数列的通项公式an=a₁+(n-1)d，代入a₁=2，d=3，得an=3n-1，所以S₁₀=10/2*(2+2*9)=5*20=100。

5.35√2/2

解析思路：由余弦定理知，c²=a²+b²-2ab*cosC，代入a=5，b=7，cosC=1/2，得c²=25+49-2*5*7*1/2=75，所以c=√75=5√3，三角形ABC的面积S=1/2*ab*sinC=1/2*5*7*√(1-1/4)=35√2/2。

6.单调递增区间：(-∞,1)，单调递减区间：(1,2)，极大值：4，极小值：0

解析思路：函数f(x)=x³-3x²+4x的导数为f'(x)=3x²-6x+4，令f'(x)=0，得x=1或x=2/3，因为f'(x)在x=1时由正变负，所以x=1是极大值点，f(1)=4；f'(x)在x=2/3时由负变正，所以x=2/3是极小值点，f(2/3)=0。

七、证明题

7.证明：由平方的非负性知，(x+1)²=x²+2x+1≥4x，因为x²+2x+1-4x=x²-2x+1=(x-1)²≥0，所以(x+1)²≥4x。

8.证明：由等差数列的求和公式知，1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

九、综合题

9.an=3n-1

解析思路：由递推关系an=2an-1+3an-2，代入a₁=2，a₂=5，得a₃=2a₂+3a₁=2*5+3*2=16，a₄=2a₃+3a₂=2*16+3*5=42，可以猜测an=3n-1，下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，a₁=2=3*1-1，成立；

（2）假设当n=k时，an=3k-1成立，那么当n=k+1时，aₖ₊₁=2aₖ+3aₖ₋₁=2(3k-1)+3(3k-2)=6k-2+9k-6=15k-8=3(k+1)-1，成