2025年抛物线试题及答案

抛物线试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题3分，共15分）

1.抛物线的标准方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c的取值关系是：

A.a≠0，b²-4ac>0

B.a≠0，b²-4ac=0

C.a≠0，b²-4ac<0

D.a=0，b≠0，c≠0

2.抛物线y=x²-6x+9的顶点坐标是：

A.(0,9)

B.(3,0)

C.(6,0)

D.(0,-9)

3.抛物线y=-2x²+4x+1的开口方向是：

A.向上

B.向下

C.向左

D.向右

4.抛物线y=x²-2x-3的对称轴方程是：

A.x=1

B.x=-1

C.y=1

D.y=-1

5.抛物线y=2x²-8x+6的顶点坐标是：

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(3,2)

D.(2,3)

二、填空题（每题4分，共20分）

1.抛物线y=x²-6x+9的顶点坐标是______。

2.抛物线y=-2x²+4x+1的对称轴方程是______。

3.抛物线y=x²-2x-3的焦点坐标是______。

4.抛物线y=2x²-8x+6的开口方向是______。

5.抛物线y=-x²+4x-3的顶点坐标是______。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.已知抛物线y=2x²-8x+12，求该抛物线的顶点坐标、对称轴方程和焦点坐标。

2.已知抛物线y=-x²+4x+3，求该抛物线的顶点坐标、对称轴方程和焦点坐标。

3.已知抛物线y=2x²-8x+12，求该抛物线与x轴的交点坐标。

四、解答题（每题10分，共30分）

4.抛物线y=x²-4x+4与直线y=2x相交于两点A和B，求点A和B的坐标，并求线段AB的长度。

5.已知抛物线y=-x²+2x+1，若抛物线上存在一点P，使得点P到直线y=3x+1的距离最小，求点P的坐标。

6.抛物线y=x²-4x+4的顶点为V，若过V的直线与抛物线相切于点A，求该直线的斜率。

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述抛物线顶点的坐标如何确定。

2.简述抛物线焦点坐标与顶点坐标的关系。

3.简述如何确定抛物线的开口方向。

六、证明题（每题10分，共20分）

1.证明：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴方程为x=-b/2a。

2.证明：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的焦点坐标为（-b/2a，1/(4a)）。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析思路：

1.答案：C

解析思路：抛物线的标准方程为y=ax²+bx+c，其中a≠0，因为a=0时，方程不再表示抛物线。而b²-4ac<0时，方程表示的是无解的抛物线，即不存在实数解的抛物线。

2.答案：B

解析思路：抛物线y=x²-6x+9可以重写为y=(x-3)²，因此顶点坐标为(3,0)。

3.答案：B

解析思路：抛物线y=-2x²+4x+1的二次项系数a=-2，小于0，因此开口向下。

4.答案：A

解析思路：抛物线y=x²-2x-3可以重写为y=(x-1)²-4，因此对称轴方程为x=1。

5.答案：B

解析思路：抛物线y=2x²-8x+6可以重写为y=2(x-2)²-2，因此顶点坐标为(2,1)。

二、填空题答案及解析思路：

1.答案：(3,0)

解析思路：抛物线y=x²-6x+9可以重写为y=(x-3)²，因此顶点坐标为(3,0)。

2.答案：x=2

解析思路：抛物线y=-2x²+4x+1可以重写为y=-2(x-1)²+3，因此对称轴方程为x=1。

3.答案：(1,3)

解析思路：抛物线y=x²-2x-3可以重写为y=(x-1)²-4，因此焦点坐标为(1,3)。

4.答案：向下

解析思路：抛物线y=2x²-8x+6的二次项系数a=2，大于0，因此开口向上。

5.答案：(2,-1)

解析思路：抛物线y=-x²+4x-3可以重写为y=-(x-2)²+1，因此顶点坐标为(2,-1)。

三、解答题答案及解析思路：

1.答案：顶点坐标为(2,12)，对称轴方程为x=2，焦点坐标为(2,3)。

解析思路：抛物线y=2x²-8x+12可以重写为y=2(x-2)²+12，因此顶点坐标为(2,12)，对称轴方程为x=2，焦点坐标为(2,1/(4*2))，即(2,3)。

2.答案：顶点坐标为(2,1)，对称轴方程为x=2，焦点坐标为(2,1/(4*1))，即(2,1/4)。

解析思路：抛物线y=-x²+4x+3可以重写为y=-(x-2)²+7，因此顶点坐标为(2,1)，对称轴方程为x=2，焦点坐标为(2,1/(4*(-1)))，即(2,1/4)。

3.答案：交点坐标为(2,0)和(3,0)。

解析思路：抛物线y=2x²-8x+12与x轴的交点满足y=0，即2x²-8x+12=0，解得x=2和x=3，因此交点坐标为(2,0)和(3,0)。

四、解答题答案及解析思路：

4.答案：点A的坐标为(2,4)，点B的坐标为(4,8)，线段AB的长度为2√5。

解析思路：将抛物线y=x²-4x+4与直线y=2x联立，得到x²-6x+4=0，解得x=2和x=4，代入直线方程得到点A(2,4)和点B(4,8)，使用距离公式计算AB长度。

5.答案：点P的坐标为(2,3)。

解析思路：点P到直线y=3x+1的距离最小，意味着点P到直线的垂线段最短，垂线段的斜率为直线斜率的负倒数，即-1/3。设点P的坐标为(x,-x²+2x+1)，则垂线段的斜率为(-x²+2x+1-3x-1)/(-x+2)，令其等于-1/3，解得x=2，代入得到点P的坐标为(2,3)。

6.答案：直线