北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A={x|0≤xA．[0,3] B．[0,2．已知a∈R，i为虚数单位，若a−2iA．−1 B．1 C．−43．已知向量a=(1,2)，b=(λA．−2 B．−1 C．04．某圆锥高为3，母线与底面所成的角为π3，则该圆锥的表面积为（

A．3π B．4π C．5π5．设x，y∈R，且0<A．x2>y2 B．sinx>6．延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数f(x)

A．f(x)为奇函数 C．f(x)在(−∞7．“k=12”是“直线y=kA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知圆C:(x−4)2+(y−3)2=1和两点A(A．4 B．5 C．6 D．79．已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn.若S1=−1，且A．a2<0 B．0<q<10．已知正方体ABCD−A1B1CA．2 B．4 C．6 D．8二、填空题11．(x2−2x12．已知双曲线x2a2−y13．已知α是第四象限角且sinα=−35，214．数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak−1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈15．已知函数f(①∃k<1，使得f②∃k>1③∀k>1，f④∃k>1其中所有正确的结论的序号是.三、解答题16．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且PD=AD(1)求证：AB(2)若CF=5，求直线BE17．在△ABC中，c(1)求b；(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC条件①：a=4；条件②：AB边上中线的长为17；条件③：注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.时间地点周一周二周三周四周五周六周日康庄镇刁千营村√√康庄镇榆林堡村√√康庄镇小丰营村√√延庆镇付余屯村√√延庆镇东小河屯村√√√√√√√香营乡屈家窑村√旧县镇米粮屯村√√旧县镇东羊坊村√永宁镇古城北街√√√√√√√(1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；(2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望E((3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设ξ为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设η为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量ξ和随机变量η的数学期望的大小.（结论不要求证明）19．已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线x=4与x轴交于点Q，点P是直线x=4上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线x=4交于点N，判断是否存在点20．已知函数f((1)若a=1，求f((2)若a<−1(3)若a<−1，且f21．数字1,2,3,...,nn≥2的任意一个排列记作a1,a（1）用列举法表示集合A3（2）求集合An（3）记集合Bn的元素个数为bn，证明：数列答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷》参考答案题号12345678910答案ACBADDACCC1．A【分析】先解对数函数不等式化简集合B，然后利用并集运算求解即可.【详解】因为B=又A={x|0故选：A2．C【分析】根据复数的除法运算及复数的相关概念得解.【详解】因为a−所以a+45故选：C3．B【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.【详解】因为a=(1所以a+因为(a所以−1+λ故选：B4．A【分析】求出该圆锥底面圆的半径为r，再利用勾股定理求出母线长，代入表面积公式求解即可.【详解】由圆锥高为3，母线与底面所成的角为π3，得圆锥底面圆半径r母线l=12故选：A5．D【分析】特殊值法分别判断A，B，C，再结合基本不等式计算判D.【详解】因为0<对于A：取x=13对于B：取x=π6对于C：取x=16对于D，x+1x≥2因为y>0,2-y>所以x+故选：D.6．D【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合导数判断原函数的单调区间，进而确定最值，即可判断ABC；对D解出ex【详解】对A，f(x)定义域为R，∵f对BC，又∵f'(x)则在f′(x则当x>0时，则f′(x∴f(x)的单调递减区间为(则fx≥f0=对D，令∵f(x再结合指数函数性质知方程f(故选：D7．A【分析】求出直线与抛物线有一个交点的等价条件结合充分条件和必要条件的定义，即可得出结论.【详解】由y=kx因为直线y=kx所以当k=0时，交点为当k≠0时，所以直线y=kx+2与抛物线y所以k=12”能推出“直线y直线y=kx+2“k=12”是“直线y故选：A8．C【分析】将问题转化为以AB为直径的圆O与圆C有公共点的问题来列不等式，解不等式求得m点的取值范围，由此求得m【详解】以AB为直径的圆O的方程为x2+圆C:(x−4要使圆C上存在点P，使得∠APB=90所以r1−r所以m−1≤所以m的最大值为6.故选：C9．C【分析】对于B：根据通项公式可得qn−1【详解】对于选项B：因为S1=a1=则a1·q则q>对于选项A：因为a2对于选项C：因为Sn由0<q<1B项已得，0<q<则Sn对于选项D：因为an+1故选：C.10．C【分析】结合点M在正方体的棱上，可分点M在棱AB和棱C1D1上，在棱BB1，棱【详解】因为B1B+B1C1所以当点M在棱BB1上时，设MB在△MBC1中，即(3−x所以在棱BB1上存在满足题意的一个点由对称性可知在棱BC，棱CC1，棱B因为D1B+D1所以当点M在棱C1D1上时，设M在直角三角形△MBC所以MB2=MC所以在棱C1D1由对称性可知在棱AB上也存在一个点M综上可知满足题意的点M共6个.故选：C.11．60【分析】根据二项式展开式的通项公式Tr【详解】二项式展开式的通项公式：Tr令12−3r所以可得第三项中x6的系数是−故答案为：6012．5【分析】将点代入渐近线方程得b2【详解】由题意双曲线渐近线方程为x2a2所以4a2−1b故答案为：5213．-【分析】由已知求得tanα【详解】因为α是第四象限角且sinα=−35因为2sinβ−则tan(故答案为：−214．10−【分析】根据二次函数的性质结合数列峰值的定义即可求出数列的峰值；构造函数fx【详解】由an函数y=−3又a1所以a1所以{an}若an=t令fx=t当t≤1时，f′x≤则数列{a当t>1时，令f′x>0，则所以函数fx在1,t要使数列{a则t>1a1>综上所述，实数t的取值范围为−∞故答案为：10；−∞15．①③④【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③，【详解】取k=0，得因为f(所以∃k<1，使得f由f(所以f(若k>当x≥2时，令fx令hx=1所以f′x=1x所以f(x)当1<x<2时，令所以f(x)所以∀k>1，f(x)在如图

若k>1，则当函数hx设切点横坐标为x0，此时hx=得到方程组11−x0=则此时有两个零点，图象见下图，AI

当k>则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，AI

故④对，故答案为：①③④【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点个数问题我们常将其转化成两个函数的交点个数问题，其次就是相切的临界状态将是零点变化得关键位置.16．(1)证明见解析(2)30【分析】（1）由线面平行的判定与性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）在矩形ABCD又AB⊄平面DCP，所以AB//平面又因为AB⊂平面ABE，且平面所以AB（2）由（1）可知FE又因为E是PC的中点，所以F是P因为CF=5，即C因为PD⊥平面AB所以P又在正方形ABCD所以DA如图建立空间直角坐标系D−则B所以BE设平面BCF由BF⋅n令y=1，得设直线BE与平面BCF则sin故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为303017．(1)b(2)答案见解析【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解；（2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关系，以及三角形面积公式即可求解.【详解】（1）在△ABC再由2可得2sinA所以2sinA+所以2c因为c=6，所以（2）选择条件①：a=4，b=由余弦定理得cosC=16因为△A选择条件②：在△ABC中，设点D为AB的中点，则△AC解得cosA=13，所以因为c=a=所以sinA在△ABC选择条件③：在△ABC因为sinB=sin所以b=2ccosC，b所以c2=a2+b2所以c=a=所以sinC在△ABC18．(1)1(2)分布列见解析，6(3)E【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式得解；（2）求出随机变量的概率，列出分布列，求期望即可；（3）分别计算两个随机变量的期望，即可得解.【详解】（1）记“周一和周四的大集中各随机选一次大集，恰好选的都是延庆镇大集”为事件A，由表可知，周一选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为12周四选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为14所以PA（2）随机变量X的所有可能取值为0,根据题意，PXPX=随机变量X的分布列是:X012P241数学期望E（3）E由题意，ξ可能取值为0,Pξ=0=C故E(由题意，η可能取值为0,Pη=0=C故E(所以E(19．(1)x(2)存在，点P的坐标为(4,【分析】（1）由题意得2a=4,ca=（2）假设存在点P，使得∠PAN=∠QMN，则AP‖MQ，设P(4,y0),【详解】（1）由题意得2a=4所以b2所以椭圆E的标准方程为x2（2）假设存在点P，使得∠PAN=∠所以kA设P(4,所以y06=y1因为点M(x1,y所以y0因为点P是直线x=4上不同于点Q的一点，所以所以16=x因为点M(x1,y1)当y1=32时，当y1=−32所以存在点P，使得∠PAN=∠Q【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为kAP=20．(1)y(2)单调递增区间为(0,ln((3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；（2）求出导数，再根据f′（3）求出fm【详解】（1）由a=1所以k=又f1所以曲线y=f(x)即y（2）由fx=af令f′(x)因为a<−1所以x2列表：x(0(ln(f−0+0−f递减递增递减所以f(x)的单调递增区间为(0（3）因为f′又a<−1所以em,e依题意，有em所以em+n所以f===aln−令ga=a令h(a因为a<−1所以g′(a所以g′(a)<所以g(a)【点睛】关键点点睛：根据题意计算出fm21．(1)A3=1,2【分析】(1)集合A3属于单调递增排列,集合B3属于实数对,利用列举法表示集合(2)根据题意知An=1,2,3(3)由(2)知,bn≠0.先求得b2=2.当分类讨论：假设ak=n【详解】(1)A3=(2)考虑集合An中的元素a由已知,对任意整数i,j.1所以ai所以ai由i,j的任意性可知,a1所以