江西省九江市2025届高三上学期第一次高考模拟统一考试数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江西省九江市2025届高三上学期第一次高考模拟统一考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x||x|<3,x∈Z,B=x3A．−2,−1,0 B．−2,−1,0,1 C．0,1,2 D．−1,0,1,2【答案】C【分析】解绝对值不等式和一元二次不等式求出集合A和B，再由交集定义求解即得.【详解】因A=x||x|<3,x∈Z则A=−2,−1,0,1,2,故A∩B=0,1,2故选：C．2．若复数z=52+i，则z−A．2 B．4 C．5 D．5【答案】A【分析】应用复数除法求复数，再求共轭复数，进而求复数的模.【详解】∵z=5∴z=2+i故选：A3．已知角α的终边在直线2x−y=0上，则tan2α=（

A．−43 B．43 C．−【答案】A【分析】由正切的定义及正切二倍角公式即可求解；【详解】解：依题意，在直线上任取一点m,2m（m≠0），可得tanα=2,∴故选：A．4．新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记X表示抽到问题A的教师人数，则EX=（A．43 B．4 C．23【答案】D【分析】确定X服从二项分布，由二项分布期望公式即可求解；【详解】解：∵每名教师抽到问题A的概率为C8由题意可知X∼B6,13故选：D．5．已知向量a,b满足a⋅b=3，且a=A．−433a B．433【答案】B【分析】计算出bcosa,【详解】由题意得bcos∴b在a上的投影向量为b故选：B．6．将函数fx=sinωx+π3的图象向左平移π6A．5 B．8 C．11 D．13【答案】D【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出ω=6k+1,k∈Z，得到答案.【详解】依题意，得gx则ωπ6+当k=2时，ω=13，D正确，其他选项均不正确.故选：D．7．在棱长为3的正方体ABCD−AB1C1D1中，点P在正方体内（包含边界）运动．若直线A1P与A．π4 B．π2 C．3π【答案】B【分析】根据直线A1P与DC所成角为π6，得直线A1P与直线A【详解】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，即直线A1P与直线A1B1所成角为π母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点P所围成的图形的面积为14故选：B．8．定义在R上的函数fx满足：①对任意x∈R，都有f2+x=f1−f−x；②fA．fx+2是奇函数 B．fC．f−12【答案】C【分析】根据对称性可得fx的图象关于1,0对称，直线x=2【详解】令x=−1，得f2−1=f1−f1=0，即又∵f2x的图象关于直线x=1对称，故f2x=f22−xfx=f4−x对于A，fx+2的图象是将fx的图象向左平移2个单位，故fx+2的图象关于y对于B，fx+1的图象是将fx的图象向左平移1个单位，故fx+1对于C，由f2+x+f−x=0，得f−∴f−对于D，依题意，得f12=−22故选：C．二、多选题9．某校高三年级第一次联考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（

）A．a=0.05B．估计该年级学生物理成绩的均值为72C．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.5D．估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为240【答案】BCD【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出a=0.005；B选项，利用中间值作代表，求出平均值；C选项，先确定学生物理成绩的中位数所在区间，利用公式计算出答案；D选项，结合80分及以上的学生人数频率，得到答案.【详解】A选项，10×3a+5a+8a+3a+a=1，解得B选项，由频率分布直方图可知，估计该年级学生物理成绩的均值为0.005×10×3×55+5×65+8×75+3×85+1×95C选项，∵50,70的频率为10×50,80的频率为10×3+5+8∴估计该年级学生物理成绩的中位数为70+0.5−0.4D选项，估计该年级物理成绩在80分及以上的学生人数为0.005×10×3+1故选：BCD．10．已知函数fx=cosA．fx是偶函数 B．fC．fx的最大值为1 D．fx【答案】AC【分析】根据偶函数定义判断A，零点定义计算判断B，根据余弦函数的有界性得出最大值判断C，D.【详解】∵f−x=cos由fx=0，得∵−1≤cos即−1≤fx≤1，等号成立的条件当x=−π,cosx=−1,x2+1=1故选：AC．11．天文学家在研究某行星时，发现其运行轨道与图中曲线C极其相似．已知C过坐标原点，且C上的点到F1−1,0与F21,0两点的距离之积为常数A．a=1B．C上点的纵坐标的最大值为1C．若双曲线2x2−2y2=1与CD．若直线y=kx与C有三个交点，则k【答案】ABD【分析】A选项：对于已知曲线的性质求参数值的问题，通过将特殊点代入曲线所满足的条件来求解参数.B选项：方法一：利用圆与曲线的交点性质以及三角形面积公式，结合三角函数的性质来求解曲线C上点的纵坐标的最大值.方法二：通过对y2关于x的表达式求导，分析函数的单调性来求最大值.C选项：方法一：根据双曲线的定义和勾股定理逆定理判断三角形的形状，再利用三角形面积公式求解.方法二：通过联立方程组求解交点坐标，进而求出三角形的高y，再根据三角形面积公式求解.D选项：将直线方程代入曲线方程，转化为关于x【详解】设C上的点为x,y，则x−12∴a=1，故A正确；∵以F1F2为直径的圆与C必有交点M,∴存在点M设N为C上的点，则△NF1F又∵S=1∵双曲线2x2−2y2=1的焦点为∴P∴△PF1F2为直角三角形，故∵C的方程为x−12+y将y=kx代入（*）得1+k要使得方程有三个不等的实根，则1−kB选项另解：由对称性，不妨设C上点Px,y由（*）得y2=4则t′x=2x24由t′x<0∴tx在0,32∴txmax=tC选项另解：联立方程组x2+y又∵2x2−2y2故选：ABD．【点睛】思路点睛：A选项：遇到求曲线中参数值的问题，优先考虑利用曲线所过的特殊点或已知条件来建立方程求解.B选项：求曲线C上点的纵坐标的最大值，可以从几何角度（如三角形面积与曲线的关系）或代数角度（如求函数的最值）入手，根据具体情况选择合适的方法.C选项：对于涉及双曲线和曲线C交点以及三角形面积的问题，可以从双曲线的定义、勾股定理等几何性质出发，也可以通过联立方程组求解交点坐标来解决.D选项：处理直线与曲线交点个数问题，一般将直线方程代入曲线方程，转化为关于一个变量的方程，然后根据方程根的个数来确定参数的取值范围.三、填空题12．已知函数fx=log1【答案】0【分析】根据分段函数先求f2，再求f【详解】∵f2故答案为：0.13．已知抛物线E:y2=8x，⊙F:x−22+y2=1，过点F的直线l与E【答案】6【分析】抛物线E:y2=8x的焦点F2,0，则AB+【详解】如图，因为抛物线E:y2=8x所以AB=故AD的最小值为抛物线的通径长8，故AB+故答案为：6.14．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则B,G灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为．【答案】5【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类F,I灯区，第二类A,B,【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有A9与B相邻的灯区为A,C,E；与G相邻的灯区为D,H，故将9个灯区分为三类：第一类F,①若先后按下的是F,I两个灯区，则B,G灯区最终仍处于“点亮”状态，共有A2②若先后按下的是A,B,C,③若先后按下的是D,G,H灯区中的两个，则B,G灯区最终仍处于“点亮”状态，共有故答案为：518四、解答题15．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=1,a(1)求A；(2)若B=π4，求【答案】(1)A=(2)3−【分析】（1）根据所给的条件，结合余弦定理，可求cosA的值，再结合角A的取值范围，可得角A（2）利用正弦定理，可求边a，利用三角形内角和求角C，再利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）由a2=又∵b=1,∴∵A∈（2）由正弦定理得a=∵C=π所以sinC=sinπ3−π4∴△ABC的面积S=116．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60∘,PA⊥平面ABCD，E,F分别为线段PB,CD(1)求证：PB⊥平面AEF；(2)求二面角P−BF−A的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)30【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到面AF⊥平面PAB，再由线面垂直的判定定理证明PB⊥平面AEF即可；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBF和平面BFA的法向量，代入空间二面角的余弦公式求解即可；【详解】（1）在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，知△ACD为正三角形，又F为线段CD的中点，则AF⊥CD，即∵PA⊥平面ABCD,AF⊂平面ABCD,∴AF⊥PA，又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,∴AF⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB,∴PB⊥AF，∵PF=BF,E为线段PB的中点，∴PB⊥EF，又AF∩EF=F,AF,EF⊂平面AEF,∴PB⊥平面AEF.（2）如图，以AB,AF,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则B2,0,0设n=x,y,z为平面PBF的法向量，由n令x=3，则y=2,z=3，即易知m=0,0,1为平面∴cos由图可知二面角P−BF−A为锐二面角，故其余弦值为301017．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求椭圆E的标准方程：(2)在x轴上是否存在一点P，使得△PBC为等边三角形？若存在，求OP的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x(2)存在，OP【分析】（1）利用四边形AF1BF2（2）设直线BC的方程为y=kx−2k≠0联立椭圆方程求解出点C的坐标，然后△PBC为等边三角形的几何关系求解出k【详解】（1）∵四边形AF1BF2

由对称性可知，A,B为短轴端点．∴2b=2c=4,b=c=2,a=2∴椭圆E的标准方程为x（2）假设在x轴上存在一点P，满足条件．由对称性，不妨设B0,−2，设直线BC的方程为代入椭圆方程x2+2∴设线段BC中点为Mx0,∴线段BC的中垂线方程为y=−∵△PBC为等边三角形，∴P在线段BC的中垂线上，令y=0，得x=2k1+2k2，即又∵∠PBC=π3，∴tan∴在x轴上存在一点P，使得△PBC为等边三角形，且OP18．已知函数fx=e2x+ax(1)求a；(2)若b≥a，判断fx(3)当x≥0时，fx≥2x【答案】(1)a=−2(2)函数在R上单调递增(3)7−4【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，再结合斜率公式列出等式求解即可；（2）通过二次求导，结合导数与单调性的关系即可判断；（3）由x=0，得b∈R，再由x>0时，原不等式等价于b≥2x3【详解】（1）ff12=又∵切线经过点0,解得a=−2．（2）由（1）知fx=e2x−2x当x<0时，g′x<0,f′x在−∞,0上单调递减，当x>0∴fx在R（3）由题意得e2x−2x①当x=0时，b∈R②当x>0时，原不等式等价于b≥设ℎx=由（2）知，当b=−2时，e2x−2x2−2x>1∴当x∈0,12时，ℎ′x>0，ℎx∴ℎ∴b≥7−4e2，故19．已知an是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前n项和为Sn，a1=1．集合A=Sn∣Sn=2k−1,k∈Z，A中元素个数为m(1)若an+2=an+1(2)若an是公比为偶数的等比数列，证明：an为(3)若m∼t数列an是等差数列，求t【答案】(1)1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8(2)证明见解析(3)2【分析】（1）由m∼t数列的概念即可求解；（2）由等