2025年高中不等式的试题及答案

高中不等式的试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.已知\(a>b\)，那么下列哪个不等式一定成立？

A.\(a^2>b^2\)

B.\(a-b>0\)

C.\(a+b>0\)

D.\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)

2.若\(x\)是实数，那么下列哪个不等式恒成立？

A.\(x^2-2x+1>0\)

B.\(x^2-2x-3>0\)

C.\(x^2+2x+1>0\)

D.\(x^2+2x-3>0\)

3.已知\(a>b>0\)，则下列不等式中错误的是：

A.\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)

B.\(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)

C.\(a^2>b^2\)

D.\(a^3>b^3\)

4.若\(a\)、\(b\)、\(c\)是等差数列，且\(a>b>0\)，则下列不等式中正确的是：

A.\(a^2+c^2>b^2\)

B.\(a^2+c^2<b^2\)

C.\(a^2+b^2>c^2\)

D.\(a^2+b^2<c^2\)

5.已知\(a>b>0\)，则下列不等式中正确的是：

A.\(\log_a2>\log_b2\)

B.\(\log_a2<\log_b2\)

C.\(\log_a3>\log_b3\)

D.\(\log_a3<\log_b3\)

二、填空题（每题5分，共20分）

1.若\(a>b\)，则\(\sqrt{a}\)与\(\sqrt{b}\)的大小关系为______。

2.若\(a>b\)，则\(a^2\)与\(b^2\)的大小关系为______。

3.若\(a>b>0\)，则\(\log_ax\)与\(\log_bx\)的大小关系为______。

4.若\(a>b>0\)，则\(\frac{1}{a}\)与\(\frac{1}{b}\)的大小关系为______。

5.若\(a>b>0\)，则\(\sqrt{a}\)与\(\sqrt[3]{b}\)的大小关系为______。

三、解答题（每题10分，共20分）

1.已知\(a>b>0\)，求证：\(\frac{a^2}{b}>\frac{b^2}{a}\)。

2.已知\(a\)、\(b\)、\(c\)是等差数列，且\(a>b>0\)，求证：\(a^2+c^2>b^2\)。

3.已知\(a>b>0\)，求证：\(\log_ax>\log_bx\)，其中\(x>0\)。

4.已知\(a>b>0\)，求证：\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。

5.已知\(a>b>0\)，求证：\(\sqrt{a}>\sqrt[3]{b}\)。

四、选择题（每题5分，共20分）

6.若\(x>0\)，则下列不等式中恒成立的是：

A.\(x+\frac{1}{x}\geq2\)

B.\(x-\frac{1}{x}\geq2\)

C.\(x+\frac{1}{x}\leq2\)

D.\(x-\frac{1}{x}\leq2\)

7.若\(a\)、\(b\)、\(c\)是等比数列，且\(a>b>0\)，则下列不等式中正确的是：

A.\(abc>0\)

B.\(abc<0\)

C.\(a^3b^3c^3>0\)

D.\(a^3b^3c^3<0\)

8.若\(x>0\)，则下列不等式中恒成立的是：

A.\(x^2+1>2x\)

B.\(x^2-1>2x\)

C.\(x^2+1<2x\)

D.\(x^2-1<2x\)

9.已知\(a>b\)，则下列不等式中错误的是：

A.\(a+c>b+c\)

B.\(a-c>b-c\)

C.\(a+c<b+c\)

D.\(a-c<b-c\)

10.若\(x\)是实数，则下列不等式中恒成立的是：

A.\(x^2+x+1>0\)

B.\(x^2-x+1>0\)

C.\(x^2+x-1>0\)

D.\(x^2-x-1>0\)

五、填空题（每题5分，共20分）

11.若\(x>0\)，则\(\frac{1}{x}+x\)的最小值为______。

12.若\(x>0\)，则\(\frac{x}{1+x}\)的最大值为______。

13.若\(x>0\)，则\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)的最小值为______。

14.若\(x>0\)，则\(\frac{x}{x+1}\)的最小值为______。

15.若\(x>0\)，则\(\frac{x^2}{1+x}\)的最大值为______。

六、解答题（每题10分，共20分）

16.已知\(x>0\)，求证：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\geq\frac{4}{x^2+x+1}\)。

17.已知\(x>0\)，求证：\(\frac{x}{1+x}+\frac{1+x}{x}\geq2\)。

18.已知\(x>0\)，求证：\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\geq\frac{2}{x^2+x+1}\)。

19.已知\(x>0\)，求证：\(\frac{x}{x+1}+\frac{1+x}{x}\geq4\)。

20.已知\(x>0\)，求证：\(\frac{x^2}{1+x}+\frac{1+x}{x^2}\geq2\)。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B。因为\(a>b\)，所以\(a-b>0\)。

2.C。因为\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)，对于所有实数\(x\)，平方总是非负的，所以\((x+1)^2\geq0\)，因此\(x^2+2x+1>0\)。

3.B。因为\(a>b>0\)，所以\(a^2>b^2\)和\(a^3>b^3\)都成立，而\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)也成立，所以错误的是\(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)，因为\(\sqrt{a}\)和\(\sqrt{b}\)的大小关系取决于\(a\)和\(b\)的具体值。

4.A。因为\(a>b>0\)，所以\(a^2>b^2\)，而\(a\)和\(c\)是等差数列中的两项，所以\(a^2+c^2>b^2\)。

5.B。因为\(a>b>0\)，所以\(\log_ax\)是\(x\)的减函数，而\(\log_bx\)是\(x\)的增函数，所以\(\log_ax<\log_bx\)。

二、填空题答案及解析：

1.\(\sqrt{2}\)。因为\(x>0\)，所以\(\frac{1}{x}+x\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{1}{x}+x\)，\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+1\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)，\(f(1)=2\)，所以最小值为\(\sqrt{2}\)。

2.\(\frac{1}{2}\)。因为\(x>0\)，所以\(\frac{x}{1+x}\)可以通过求导找到最大值，即\(f(x)=\frac{x}{1+x}\)，\(f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)，\(f(0)=0\)，所以最大值为\(\frac{1}{2}\)。

3.1。因为\(x>0\)，所以\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)，\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)，\(f(1)=1\)，所以最小值为1。

4.\(\frac{1}{2}\)。因为\(x>0\)，所以\(\frac{x}{x+1}\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，\(f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)，\(f(0)=0\)，所以最小值为\(\frac{1}{2}\)。

5.1。因为\(x>0\)，所以\(\frac{x^2}{1+x}\)可以通过求导找到最大值，即\(f(x)=\frac{x^2}{1+x}\)，\(f'(x)=\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)，\(f(1)=1\)，所以最大值为1。

三、解答题答案及解析：

1.证明：因为\(a>b>0\)，所以\(a^2>b^2\)，两边同时乘以\(b\)得\(a^2b>b^3\)，两边同时除以\(ab\)得\(\frac{a^2}{b}>\frac{b^2}{a}\)。

2.证明：因为\(a\)、\(b\)、\(c\)是等差数列，所以\(c=\frac{a+b}{2}\)，代入\(a^2+c^2\)得\(a^2+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)，展开得\(a^2+\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\)，合并同类项得\(\frac{5a^2+2ab+b^2}{4}\)，因为\(a>b>0\)，所以\(5a^2+2ab+b^2>4b^2\)，所以\(a^2+c^2>b^2\)。

3.证明：因为\(a>b>0\)，所以\(a^2>b^2\)，取对数得\(\log_aa^2>\log_bb^2\)，即\(2>2\)，所以\(\log_ax>\log_bx\)。

4.证明：因为\(a>b>0\)，所以\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)，两边同时乘以\(ab\)得\(b<a\)，所以\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。

5.证明：因为\(a>b>0\)，所以\(\sqrt{a}>\sqrt{b}\)，立方两边得\(a^{3/2}>b^{3/2}\)，即\(a>b\)，所以\(\sqrt{a}>\sqrt[3]{b}\)。

四、选择题答案及解析：

6.A。因为\(x>0\)，所以\(\frac{1}{x}+x\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{1}{x}+x\)，\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+1\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)，\(f(1)=2\)，所以最小值为2。

7.C。因为\(a\)、\(b\)、\(c\)是等比数列，所以\(abc=(a\cdotb\cdotc)^{1/3}>0\)，所以\(abc>0\)。

8.A。因为\(x>0\)，所以\(x^2+1>0\)，而\(2x\)可以取任意正数，所以\(x^2+1>2x\)。

9.C。因为\(a>b\)，所以\(a-c>b-c\)，而\(a+c>b+c\)和\(a-c<b-c\)都是不成立的。

10.A。因为\(x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)，对于所有实数\(x\)，平方总是非负的，所以\((x+\frac{1}{2})^2\geq0\)，因此\(x^2+x+1>0\)。

五、填空题答案及解析：

11.\(\sqrt{2}\)。因为\(x>0\)，所以\(\frac{1}{x}+x\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{1}{x}+x\)，\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+1\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)，\(f(1)=2\)，所以最小值为\(\sqrt{2}\)。

12.\(\frac{1}{2}\)。因为\(x>0\)，所以\(\frac{x}{1+x}\)可以通过求导找到最大值，即\(f(x)=\frac{x}{1+x}\)，\(f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)，\(f(0)=0\)，所以最大值为\(\frac{1}{2}\)。

13.1。因为\(x>0\)，所以\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)，\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)，\(f(1)=1\)，所以最小值为1。

14.\(\frac{1}{2}\)。因为\(x>0\)，所以\(\frac{x}{x+1}\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{x}{x+1}\)，\(f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)，\(f(0)=0\)，所以最小值为\(\frac{1}{2}\)。

15.1。因为\(x>0\)，所以\(\frac{x^2}{1+x}\)可以通过求导找到最大值，即\(f(x)=\frac{x^2}{1+x}\)，\(f'(x)=\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)，\(f(1)=1\)，所以最大值为1。

六、解答题答案及解析：

16.证明：因为\(x>0\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\)，\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=0\)，\(f(0)=2\)，所以最小值为2，即\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\geq\frac{4}{x^2+x+1}\)。

17.证明：因为\(x>0\)，所以\(\frac{x}{1+x}+\frac{1+x}{x}\)可以通过求导找到最小值，即\(f(x)=\frac{x}{1+x}+\frac{1+x}{x}\)，\(f'(x)=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{x^2}\)，令\(f'(x)=