2025届河北省昌黎第一中学高三第三次调研考试数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025届河北省昌黎第一中学高三第三次调研考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．已知等比数列中，，公比，则（

）A． B． C． D．4．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（

）A．5 B．4 C．3 D．25．已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．6．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（）A． B． C． D．8．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．9．已知复数，复数，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则以下命题错误的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则二、多选题10．在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（

）A．为单调递增数列 B．C．为的最大项 D．无最大项11．已知数列中，，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（

）A．是单调递减数列B．的前n项和C．若正整数k满足，则D．存在正整数，使成等差数列三、填空题12．已知复数，则的虚部为．13．已知平面向量，，，若，，则.14．提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以A．U．为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则．四、解答题15．已知数列是等差数列，其前项和为，且，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16．记的内角的对边分别为，若.(1)求角；(2)若，点在线段上，且是线段中点，与交于点，求.17．已知为数列的前n项和，且，.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.18．已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若对，，且在处取得极小值，求的取值范围.19．如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．(1)若，求的值；(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025届河北省昌黎第一中学高三第三次调研考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案BAACBDBDCBC题号11答案BC1．B【分析】求解分式不等式，再由交集运算即可求解；【详解】由易得：即，所以，故选：B2．A【分析】应用复数的乘法及除法计算即可.【详解】已知复数，则.故选：A.3．A【解析】由等比数列的通项公式可计算得出，代入数据可计算得出结果.【详解】由.故选：A.4．C【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值.【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，所以.所以，即，化简得解得：或(舍)故选：C5．B【解析】由转化为，利用叠加法，求得，即可求解.【详解】由，可得，所以，所以.故选：B.【点睛】数列的通项公式的常见求法：1、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；2、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；3、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.6．D【分析】先根据条件变换得到，再根据列式计算求出的值.【详解】由已知得，所以，解得，又，所以.故选：D.7．B【解析】先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案.【详解】因为所以所以数列是等差数列，又所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以所以因为，，且，所以当时，取最大值2.故选：B.【点睛】方法点睛：判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1)定义法：（是常数），则数列是等差数列(2)等差中项法：（），则数列是等差数列；(3)通项公式：(为常数)，则数列是等差数列；(4)前n项和公式：(为常数)，则数列是等差数列.8．D【分析】由题意得出数列，均为等比数列，从而求得与，代入，对分奇偶分类讨论，将问题转化为恒成立问题，结合数列的单调性，即可求得的取值范围.【详解】因为，所以当时，，得，当时，，，两式相减得（常数），所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.因为，则（常数），又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即对恒成立，当为偶数时，，则，即，所以，令，则，因为，所以，则，所以数列是递增数列，则的最小值为，则所以；当为奇数时，，所以，则，因为数列是递增数列，所以的最小值为，所以，所以，综上，实数的取值范围是.故选：D.9．C【分析】根据向量平行的坐标运算公式从而判断A；根据代入运算进而判断B；根据向量垂直的坐标运算公式，结合复数乘法和复数模的运算从而判断C和D.【详解】A选项：易知，，又，则，即，故选项A正确；B选项：当，则，，故选项B正确；C选项：由于，则，，x不恒为0，故选项C错误；D选项：由于，则，，，故，选项D正确.故选：C10．BC【分析】由，，可得，，结合分析可得，，，则为单调递减数列，故选项A错误.选项B正确.，根据单调递减和，可知为的最大项，则选项C正确，选项D错误.【详解】由，因此.又因为则.当时，，则，，则，与题意矛盾.因此.则为单调递减数列，故选项A错误.而，故，选项B正确.又因为为单调递减数列，则，由可知，，，所以当时，，则.当时，，则.因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.故答案为：BC.11．BC【分析】根据给定条件，判断数列为等比数列，求出通项，再逐项判断作答.【详解】数列中，，对于任意的，都有，则取，得，因此数列是首项为，公比为的等比数列，，对于A，，显然的前3项分别为，则不是单调递减数列，A错误；对于B，，B正确；对于C，，于是，解得，C正确；对于D，若存在正整数，使成等差数列，即，整理得，显然均为正整数，则均为偶数，为奇数，矛盾，因此不存在正整数，使成等差数列，D错误.故选：BC12．【分析】由复数的除法运算结合共轭复数的概念即可求解；【详解】，所以，所以的虚部为，故答案为：13．【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.【详解】因为，所以,因为，所以,所以.故答案为：.14．【分析】由题意得到数列从第二项起是等比数列，由题意写出，即可写出当时，数列的的通项公式，然后得到数列的通项公式，从而知道.【详解】由题意可知数列从第2项起，是以为首项，2为公比的等比数列.，，∴当时，，∴，∴，故答案为：.15．(1)(2).【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解；（2）分组求和方法求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，又，，所以，解得，，所以的通项公式.（2）由（1）知，所以.16．(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理可得，即得；（2）利用余弦定理可得，进而可得，然后利用和角公式可得，即得.【详解】（1）∵，∴，即，又，∴；（2）由题可知，，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，，∴.17．(1).(2).【分析】（1）由已知得当时，，即有，从而有数列从第二项起成等比数列，由等比数列的通项公式可求得答案；（2）由（1）得，运用裂项相消法可求得答案.【详解】（1）解：因为，所以当时，，所以，当时，，所以，所以.因为，所以从第二项起成等比数列，所以当时，.所以.（2）解：由（1）得，，所以，所以.所以.18．(1)的单调递减区间为，；单调递增区间为.(2)【分析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；（2）首先由恒成立得出，然后求出，求出的根，根据根的大小分类讨论得出单调性及极值，从而得参数范围．【详解】（1）当时，，定义域为.，令，可得，当变化时，和的变化情况如下：0--0+单调递减单调递减单调递增故函数的单调递减区间为，；单调递增区间为.（2）因为对恒成立，所以对恒成立，显然不恒成立，不合题意，则，解得.令，可得或，当时，，因为，（当且仅当时，）所以函数在上单调递增，无极值，不满足题意；当时，，和的变化情况如下：0+0-0+单调递增单调递减单调递增函数在处取得极小值，满足题意；当时，，和的变化情况如下：0+0-0+单调递增单调递减单调递增函数在处取得极大值，不满足题意.综上，实数的取值范围为.19．(1)(2)证明见解析(3)存在，17【分析】（1）将分别代入即可求解；（2）利用等差数列的定义和绝对值不等式性质先证充分性，再证必要性即可；（3）构造等比数列求出的通项公式，进一步求其前n项和，分n为奇数和偶数两种情况结合数列的单调性，确定的通项，进而确定，再解不等式求解即可.【详解】（1）由题：令则，即，故，得，又，同理可得，